胡萬強(qiáng)

(許昌學(xué)院 電氣工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

基于空間相關(guān)元模型的機(jī)械設(shè)計(jì)優(yōu)化研究

胡萬強(qiáng)

(許昌學(xué)院 電氣工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

摘要：簡(jiǎn)述了全局近似空間相關(guān)元模型的研究歷程，詳細(xì)介紹了空間相關(guān)元模型的建模過程.在二元素框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化中，使用空間相關(guān)元模型為該結(jié)構(gòu)建立一個(gè)有利于計(jì)算機(jī)分析的近似模型，進(jìn)而測(cè)試空間相關(guān)元模型的預(yù)測(cè)能力.仿真結(jié)果證明，這些空間相關(guān)元模型能夠在全局近似優(yōu)化設(shè)計(jì)中產(chǎn)生一個(gè)滿足精度要求的近似結(jié)果.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；全局近似；空間相關(guān)元模型

由于現(xiàn)代機(jī)電產(chǎn)品結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，對(duì)其仿真時(shí)則耗費(fèi)越來越多的計(jì)算機(jī)資源.盡管計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異，計(jì)算速度越來越快，但仍不能滿足工業(yè)對(duì)仿真分析的需求.因此，為了應(yīng)對(duì)工業(yè)發(fā)展的巨大挑戰(zhàn)，在過去近10年中，一種“模型的模型”—元模型應(yīng)運(yùn)而生并得到廣泛應(yīng)用，元模型方法是指利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所產(chǎn)生的空間采樣點(diǎn)來構(gòu)建簡(jiǎn)化近似模型代替復(fù)雜的仿真目標(biāo)模型從而進(jìn)行優(yōu)化分析的一種優(yōu)化方法，該方法促進(jìn)了優(yōu)化和概念搜索的發(fā)展，能在不影響仿真目標(biāo)精度的前提下減少優(yōu)化迭代的次數(shù)，從而減少對(duì)計(jì)算機(jī)資源的消耗[1].

本文的目的，就在于利用元模型理論與算法，通過實(shí)例分析，研究如何通過少量采樣點(diǎn)來構(gòu)造高精度元模型，為工業(yè)中結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化提供一種新的思路與方法.

1空間相關(guān)元模型[3]

通過最大化表達(dá)式得到前面公式中θk的最大似然估計(jì)為

這常常被用來擬合該模型.驗(yàn)證任意θk值建立的插值模型可通過交叉驗(yàn)證或通過額外驗(yàn)證點(diǎn)計(jì)算相關(guān)誤差這兩種方法來實(shí)現(xiàn).

2工程實(shí)例分析

圖1　五桿平面桁架結(jié)構(gòu)

對(duì)于全局近似問題，文章選擇五桿平面桁架結(jié)構(gòu)來測(cè)試驗(yàn)證空間相關(guān)元模型的估計(jì)能力.五桿平面桁架結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要特性參數(shù)：楊氏模量E=7 030.8×107N/m2，密度ρ=27 680.37 N/m3，許用應(yīng)力σa=±1.7577×108N，設(shè)計(jì)變量為每根桿的截面區(qū)域，其定義范圍為

{64.516 mm2

(1)

在滿足五桿平面桁架結(jié)構(gòu)屈服強(qiáng)度和穩(wěn)定性條件的前提下，優(yōu)化目標(biāo)為最小化桁架的承載值.經(jīng)分析可知，其函數(shù)為

(2)

上式(2)中，L=9.144 m，每根桿上的應(yīng)力要小于σa，即：

{-1.757 7×108N<σi<1.757 7×108N}i=1,2,3,4,5.

(3)

經(jīng)計(jì)算，當(dāng)A1=0.002 541 m2，A2=0.000 064 516 m2，A3=0.000 064 516 m2，A4=0.003 592 9 m2，A5=0.000 064 516 m2時(shí)，W的最優(yōu)值為1 984.862 88.下面，文章將利用空間相關(guān)元建模替代公式(1)和公式(3)來重復(fù)這個(gè)結(jié)果.

圖2　元建模策略流程圖

3五桿平面桁架結(jié)構(gòu)仿真

對(duì)上述的五桿平面桁架結(jié)構(gòu)建立的元建模策略如圖2所示.首先，選擇一個(gè)實(shí)例來采樣設(shè)計(jì)空間中的點(diǎn)，然后利用最大最小的拉丁超立方設(shè)計(jì)和隨機(jī)正交矩陣來采樣設(shè)計(jì)空間[4].接下來就是通過調(diào)用近似分析代碼或者仿真程序來實(shí)現(xiàn)對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)的實(shí)際空間采樣，針對(duì)問題中的每一個(gè)響應(yīng)建立一個(gè)元模型，并確定θk的最大似然估計(jì).由此產(chǎn)生的最佳解決方案在元模型中得以驗(yàn)證.

五桿平面桁架問題的49采樣點(diǎn)由隨機(jī)7水平的正交矩陣得到[5,6]，每個(gè)響應(yīng)的負(fù)載值和σi的最大最小值見表1所示.

表1　五桿平面桁架σi值

采樣點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閇0,1]，擬合每個(gè)響應(yīng)空間的相關(guān)元模型的θk值的最大似然估計(jì)值見表2所示.此例中值得注意的是文章建立了自身獨(dú)有的應(yīng)力模型，而不是實(shí)際的限制值.這樣做的目的是可以不必?cái)M合應(yīng)力限制條件，從而減少空間相關(guān)元模型的數(shù)量.

表2　五桿平面桁架θk值的最大似然估計(jì)值

五桿平面桁架的驗(yàn)證結(jié)果見表3所示，除了留一交叉驗(yàn)證均方根誤差，其他驗(yàn)證均為基本隨機(jī)拉丁超立方的2 500個(gè)點(diǎn).平均絕對(duì)誤差和均方根誤差所占空間的百分比效果很理想，但對(duì)于最大絕對(duì)誤差來講，卻又有很大差異，它能夠說明平均絕對(duì)誤差和均方根誤差所占空間的百分比在2%～10%之間.大的差異出現(xiàn)在不可行設(shè)計(jì)區(qū)域，因此需要繼續(xù)驗(yàn)證優(yōu)化，以希望得到更精確的元模型估計(jì).

表3　五桿平面桁架元模型驗(yàn)證結(jié)果

通過繼續(xù)優(yōu)化，得到的相應(yīng)空間相關(guān)元模型得到的最小負(fù)載和應(yīng)力值見表4所示.表中包括空間相關(guān)元模型得到的驗(yàn)證負(fù)載以及上述中的已知最優(yōu)值.

表4　五桿平面桁架元模型優(yōu)化驗(yàn)證結(jié)果

從表中可以看出，獲取的最優(yōu)值是相當(dāng)接近實(shí)際最優(yōu)值的.與實(shí)際優(yōu)化值相比較，估計(jì)最優(yōu)負(fù)載控制在實(shí)際最優(yōu)負(fù)載的-2.23%之內(nèi)，而5個(gè)應(yīng)力值中有3個(gè)控制在0.81%之內(nèi)甚至更好.對(duì)于σ2和σ3的估計(jì)應(yīng)力精度稍差，分別比實(shí)際變化率61.11%和15.24%.幸運(yùn)的是，在最優(yōu)點(diǎn)附近，沒有一個(gè)約束條件是具有約束能力的.

4結(jié)語

在上述五桿平面桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)中，文章成功地建立并使用空間相關(guān)近似模型去獲取非常接近實(shí)際值的估計(jì)最優(yōu)值，從而展示了空間相關(guān)元模型在全局近似中優(yōu)化方面的有效性.所以說，空間相關(guān)元建模是一種值得考慮并有很大研究前景的方法.隨著研究的深入，通過空間相關(guān)函數(shù)的選擇和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的討論，一定能夠很好地改善空間相關(guān)元建模的精度和效率.

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Research on Machine Design Optimization Based on Spatial

Correlation Metamodels

HU Wan-qiang

(SchoolofElectricalEngineering，XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

Abstract:In the paper, the research process of metamodel is described and the modeling process of spatial correlation metamodels is introduced in detail. In the design optimization process of two bar truss structure, spatial correlation metamodels are used to establish an approximation model for computing analysis, and the predictive capability of spatial correlation metamodels is tested. The simulation results show that these spatial correlation metamodels can produce sufficient accuracy for optimization when used as global approximations.

Key words:structural design; global approximation; spatial correlation metamodels

責(zé)任編輯：趙秋宇

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-9824(2015)02-0035-04

作者簡(jiǎn)介：胡萬強(qiáng)(1975—)男，河南澠池人，副教授，碩士，研究方向：機(jī)電設(shè)計(jì)及其控制.

基金項(xiàng)目：河南省教育廳高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A460043)；許昌學(xué)院科研基金項(xiàng)目(2015072)

收稿日期：2014-01-23