魏瀟然,耿國華,張雨禾

(西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127)

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·信息科學(xué)·

八叉樹空間結(jié)構(gòu)投影的射線物體求交方法

魏瀟然,耿國華,張雨禾

(西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127)

為了提高光線投射算法中射線與物體求交速度,提出一種利用八叉樹空間結(jié)構(gòu)在視平面上投影的射線快速求交方法。算法構(gòu)造平行于視平面的八叉樹空間結(jié)構(gòu),將每個(gè)八叉樹葉子包圍盒沿視點(diǎn)方向投影在視平面上,將視平面劃分成若干投影區(qū)域。在射線與包圍盒求交時(shí),根據(jù)射線落在視平面上的位置,確定其所屬投影區(qū)域,求出與該射線相交的包圍盒。實(shí)驗(yàn)表明該算法對(duì)傳統(tǒng)的光線投射算法效率有較大提升。

射線求交；投影；八叉樹；光線投射

光線投射是圖形學(xué)中的常用繪制技術(shù)之一,在體繪制中有著廣泛的應(yīng)用。利用光線投射進(jìn)行繪制的計(jì)算開銷較大,妨礙了其應(yīng)用效率。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和理論分析可知,這些繪制計(jì)算中開銷的絕大部分用于光線與構(gòu)造場(chǎng)景的圖元的求交計(jì)算。為此,人們研究了大量的技術(shù)來加快求交計(jì)算,其中,通過建立一定的空間組織結(jié)構(gòu)來加速線面求交是這方面的主要研究內(nèi)容之一。大量的空間組織結(jié)構(gòu)被應(yīng)用在線面求交中,如基于物體劃分的層次包圍盒[1]、基于空間劃分的均勻網(wǎng)格[2-3]、八叉樹[4]、k-d 樹[5-6],以及結(jié)合這兩種劃分方式的混合結(jié)構(gòu)[7]等。這些結(jié)構(gòu)各有特點(diǎn),需要根據(jù)所處理場(chǎng)景的特點(diǎn)及繪制任務(wù)進(jìn)行相應(yīng)的選用,沒有哪一種能最優(yōu)地處理各種場(chǎng)景。

一般加速空間結(jié)構(gòu)中通常采用包圍盒結(jié)構(gòu)劃分三維場(chǎng)景,首先用射線與包圍盒求交,之后再用射線與包圍盒內(nèi)圖元求交。本文選取八叉樹空間結(jié)構(gòu),針對(duì)射線求交過程中大量射線與包圍盒求交計(jì)算進(jìn)行了優(yōu)化,將包圍盒在視平面上的投影,將射線與包圍盒求交計(jì)算轉(zhuǎn)換為射線在屏幕上的投影區(qū)域的求交計(jì)算,減少了射線求交的計(jì)算量。

1 八叉樹投影的射線求交算法原理

首先對(duì)本文出現(xiàn)的一些術(shù)語進(jìn)行定義:視點(diǎn)定義為o,視點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0);屏幕所在平面定義為視平面,視平面原點(diǎn)為視點(diǎn)在視平面的投影點(diǎn),沿屏幕長寬邊分別定義視平面的u方向和v方向,u和v方向正交;八叉樹結(jié)構(gòu)最外層對(duì)整個(gè)三維場(chǎng)景的包圍盒稱為八叉樹外包圍盒;八叉樹某一葉子節(jié)點(diǎn)上表面所屬平面與八叉樹外包圍盒相交,相交區(qū)域稱為八叉樹的一個(gè)截面,如圖1所示。

視點(diǎn)發(fā)出的射線定義為r(t)=o+td,其中o代表射線出發(fā)點(diǎn),t代表光線沿z軸行駛距離,d為光線的方向向量,l1為視點(diǎn)到視平面的距離。

圖1 術(shù)語說明Fig.1 Terminology illustraion

光線投射原理如圖2所示,從視點(diǎn)發(fā)出射線到視平面的每個(gè)像素,穿過視平面到達(dá)場(chǎng)景數(shù)據(jù)中,對(duì)相交圖元進(jìn)行采樣,并進(jìn)一步計(jì)算該圖元的顏色信息,從而完成繪制過程。

圖2 光線投射原理圖Fig.2 Principle of ray casting

本文算法對(duì)這射線圖元求交過程進(jìn)行了優(yōu)化,在原有的八叉樹空間加速結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,將八叉樹每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒投影到屏幕上,形成一組投影區(qū)域;射線落在屏幕上一點(diǎn),得到該落點(diǎn)所屬的投影區(qū)域?qū)?yīng)的葉子節(jié)點(diǎn),射線穿過該葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒;若落點(diǎn)屬于多個(gè)投影區(qū)域,則落點(diǎn)對(duì)應(yīng)多個(gè)葉子節(jié)點(diǎn),射線按照這些葉子節(jié)點(diǎn)與視點(diǎn)的距離,依次穿越這些葉子節(jié)點(diǎn)。

下面對(duì)原理進(jìn)行相關(guān)證明:

證明1 若長方體包圍盒平行于視平面,其上表面在視平面上投影為長方形。

本文構(gòu)建一個(gè)平行于視平面的八叉樹外包圍盒,以垂直于視平面方向?yàn)榘瞬鏄渫獍鼑懈叻较?視平面上u，v軸方向?yàn)榘瞬鏄渫獍鼑虚L、寬方向。

如圖3所示,A2B2C2D2為八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒的一個(gè)上表面,A1B1C1D1區(qū)域?yàn)锳2B2C2D2沿視點(diǎn)方向向視平面的投影。

|A1B1|=

|A2B2|=

可知|A1B1|/|A2B2|=l1/l2,同理可證|B1C1|/|B2C2|=l1/l2,|C1D1|/|C2D2|=l1/l2,|D1A1|/|D2A2|=l1/l2。

A2B2C2D2為長方形,故A1B1C1D1也是一個(gè)長方形,并且與A2B2C2D2長寬成比例,比例為l1∶l2。

故葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒上表面在視平面上投影為長方形,并且投影長方形的長寬跟上表面所屬平面到視點(diǎn)的距離成比例。

圖3 葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒上表面在屏幕投影Fig.3 Top surface of the leaf bounding volume projection on the screen

證明2 八叉樹葉子包圍盒投影區(qū)域連續(xù)性

圖4a和圖4b所示為八叉樹一葉子包圍盒上下表面到屏幕投影。計(jì)算當(dāng)八叉樹空間中任意一點(diǎn)V1(x0,y0,z0)沿z軸移動(dòng)δc至V2(x0,y0,z0+δc)時(shí),V1和V2點(diǎn)在投影視平面上的位置U1和U2。

根據(jù)射線公式V1(x0,y0,z0)=o+z0d1,V2(x0,y0,z0+δc)=o+(z0+δc)d2,得到d1=(x0/z0,y0/z0,1),d2=(x0/(z0+δc),y0/(z0+δc,1),V1,V2在視平面的投影U1,U2可以根據(jù)射線公式求得

U1(u0,v0,l1)=o+l1d1=

U2(u1,v1,l1)=o+l1d2=

通過該公式可知,下層一點(diǎn)與上層同位置點(diǎn)(x,y坐標(biāo)相同)在投影面位移為

δU=U1-U2=

l1*(δc*x0,δc*y0,0)/z0*(z0+δc)。

(1)

八叉樹空間結(jié)構(gòu)中一點(diǎn)沿z軸變化時(shí),位移后投影點(diǎn)(u,v)可以計(jì)算如下

(u,v)=l1*(x0,y0)/z0+

(2)

根據(jù)該公式可得g(u)=(x0/y0)v,g(u)為線性方程,故八叉樹任一點(diǎn)V(x0,y0,z0)沿z軸移動(dòng),其投影屏幕上的投影點(diǎn)U(u,v)以(x0/y0)的比例向原點(diǎn)以線性連續(xù)方式移動(dòng)。

八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒可以看做由上表面所有點(diǎn)沿z軸方向向下移動(dòng)一定距離生成。由于八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)上表面在視平面的投影是一個(gè)長寬分別平行于u軸和v軸的長方形,若視平面原點(diǎn)在上表面投影內(nèi)部,則上表面上所有點(diǎn)沿z軸向下移動(dòng)的投影均向原點(diǎn)移動(dòng),整個(gè)包圍盒的其他點(diǎn)投影均在上表面內(nèi)部,如圖4a所示,此時(shí)投影區(qū)域連續(xù)。若原點(diǎn)不在上表面內(nèi)部,上表面中x/y最大最小點(diǎn)的投影必在其兩個(gè)頂點(diǎn)處。八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)上平面任意一點(diǎn)在該包圍盒范圍內(nèi)向下移動(dòng),其投影均在其上下表面頂點(diǎn)圍成的多邊形內(nèi),如圖4b所示。連接上下表面對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)后形成的區(qū)域?yàn)榘鼑性谝暺矫嫔系耐队?該區(qū)域連續(xù)。

若視點(diǎn)發(fā)出的射線落在投影區(qū)域內(nèi)，則該射線與該八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)存在交點(diǎn)。

圖4 八叉樹葉子包圍盒上下表面到屏幕投影Fig.4 Surface of the leaf bounding volume projection on the screen

下面對(duì)投影區(qū)域的快速計(jì)算法方法進(jìn)行說明:

設(shè)i為葉子包圍盒深度,視點(diǎn)到視平面距離為l1,視點(diǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)上平面距離為l2。由該葉子節(jié)點(diǎn)深度計(jì)算得到該葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒長寬高分別為a，b，c,利用射線公式計(jì)算出八叉樹最上截面上任意一葉子節(jié)點(diǎn)上表面左下角點(diǎn)在屏幕上投影坐標(biāo)U0(u0,v0),上表面在視平面的投影長寬為a*(l1/l2),b*(l1/l2),可知上表面4頂點(diǎn)坐標(biāo);下表面在視平面投影長寬為a*(l1/(l2+c/2i)),b*(l1/(l2+c/2i))。上下表面在視平面上的投影長寬比為(l2+c/2i)/l2,故根據(jù)上層投影長方形的長寬可以計(jì)算得到下層投影長方形的長寬。

利用公式1,由上表面左下角點(diǎn)投影坐標(biāo)計(jì)算在下表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),之后根據(jù)下表面投影長方形的長寬快速計(jì)算投影長方形4頂點(diǎn)。之后根據(jù)上下表面的八個(gè)投影頂點(diǎn)即可迅速計(jì)算出其所圍成的投影區(qū)域。

2 八叉樹投影的射線求交算法實(shí)現(xiàn)

本算法實(shí)現(xiàn)分為兩部分,第一部分為八叉樹空間結(jié)構(gòu)初始化及八叉樹葉子包圍盒投影圖預(yù)計(jì)算,可以細(xì)分為構(gòu)造八叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、八叉樹葉子包圍盒的視平面投影區(qū)域計(jì)算和生成投影區(qū)域圖;第二部分為射線圖元求交,根據(jù)投影圖求出與射線相交的包圍盒,再求出包圍盒內(nèi)與射線相交的圖元。

2.1 構(gòu)造八叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

本文算法采用緊八叉樹空間結(jié)構(gòu),劃分的步驟為:

1) 根據(jù)第1節(jié)所述,構(gòu)造長寬平行于視平面的u,v軸,高垂直于視平面的場(chǎng)景外接包圍盒,計(jì)算出該包圍盒的最小Vmin和最大Vmax,通過計(jì)算Vmin和Vmax得到中間矢量Vinter,Vinter=(Vmax+Vmin)/2;

2)通過Vmin，Vmax，Vinter對(duì)場(chǎng)景包圍盒進(jìn)行八等分,獲得8個(gè)子包圍盒;

3)循環(huán)判斷是否有與子包圍盒相交的面片,如果沒有則刪除該包圍盒,如果有則獲得指向相交面片集的指針;

4)判斷是否達(dá)到停止剖分條件,如果沒有則繼續(xù)向下剖分8個(gè)子包圍盒;

5)滿足停止剖分條件后,將該節(jié)點(diǎn)記錄為八叉樹葉子節(jié)點(diǎn),并記錄該節(jié)點(diǎn)層次數(shù)。

終止條件采用兩條件共同約束,1)當(dāng)前包圍盒內(nèi)葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)少于閾值N時(shí)停止劃分，2)當(dāng)八叉樹層次超過M層時(shí)停止劃分。

在構(gòu)造完成后對(duì)八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行排序編號(hào),以便在后續(xù)投影圖中確定射線進(jìn)入八叉樹包圍盒的順序。

編號(hào)方法如下:

1)首先從八叉樹的最上層截面開始排序,因?yàn)樵摻孛嬖谌魏吻闆r下都存在一點(diǎn)在包圍盒中距離視點(diǎn)最近,求出視點(diǎn)在該層上的投影點(diǎn),尋找距離該投影點(diǎn)最近的葉子包圍盒節(jié)點(diǎn);

2)依照該截面其他包圍盒距該包圍盒的距離排序,同樣距離情況下,深度較深的葉子包圍盒排序在先;

3)尋找下一待排序截面。首先求出所有未排序葉子節(jié)點(diǎn)中上層z坐標(biāo)最大,該葉子包圍盒的上表面為下一待排序截面;然后獲取該截面所包含的所有葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒,對(duì)新求出的截面所有葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒以步驟2)方法進(jìn)行排序,序號(hào)在之前排序順序后累加;

4)重復(fù)步驟3),直到所有葉子節(jié)點(diǎn)均排序完成。

圖5所示為八叉樹一截面的順序編碼,葉子包圍盒0為與視點(diǎn)最接近的包圍盒。利用該方法編號(hào)后,一條光線穿過一組包圍盒時(shí),先進(jìn)入的包圍盒編號(hào)必然會(huì)小于后進(jìn)入的包圍盒。

圖5 包圍盒排序編號(hào)Fig.5 Sorting of the bounding volume

2.2 計(jì)算八叉樹葉子包圍盒到屏幕投影

結(jié)合第1節(jié)中投影八叉樹的性質(zhì)和投影區(qū)域的快速計(jì)算方法,采用以下步驟,可以迅速求出八叉樹所有葉子包圍盒到屏幕的投影:

1)計(jì)算任意葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒上表面左下角點(diǎn)在屏幕的投影,之后根據(jù)該包圍盒深度,求出該包圍盒長寬高,根據(jù)第一節(jié)中節(jié)推論計(jì)算出上表面在視平面上的投影;

2)根據(jù)葉子包圍盒的高算出和以葉子包圍盒上表面的投影,結(jié)合第1節(jié)中的上下表面長寬比例公式及位移公式,計(jì)算得到下表面的投影區(qū)域;

3)若視平面原點(diǎn)在上表面投影區(qū)域內(nèi),則葉子包圍盒投影區(qū)域?yàn)樯线吤嫱队皡^(qū)域,如圖4a右圖;否則,連接上、下表面對(duì)應(yīng)的四頂點(diǎn),并求外接多邊形,可以得到葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒在屏幕的投影區(qū)域,如圖4b右圖;

4)求該葉子的相鄰葉子節(jié)點(diǎn)的投影平面,利用1)中求得出的端點(diǎn)坐標(biāo),尋找這些端點(diǎn)的其他葉子包圍盒,之后按照步驟1)～3)求出其投影區(qū)域。

最終，自上而下生成所有葉子包圍盒的投影。

2.3 生成投影區(qū)域圖

由于每個(gè)葉子包圍盒都對(duì)應(yīng)了一塊投影區(qū)域,整個(gè)八叉樹空間結(jié)構(gòu)會(huì)存在非常多的葉子包圍盒投影區(qū)域,故需要對(duì)這些投影區(qū)域作進(jìn)一步整合,以加快后續(xù)的求交運(yùn)算。

可以將若干投影區(qū)域組成一張投影圖?，F(xiàn)舉例說明兩類投影圖組成方式,其中投影圖中坐標(biāo)與視平面坐標(biāo)保持一致:

方式1 將所有葉子包圍盒的投影區(qū)域組成一副圖像,以葉子包圍盒的編號(hào)對(duì)每個(gè)投影區(qū)域編號(hào),若多個(gè)葉子包圍盒的投影區(qū)域存在相交,則將這些包圍盒的標(biāo)號(hào)全部賦予相交區(qū)域。該方法使用起來比較直接,只需保存一幅圖像,適合用在葉子包圍盒數(shù)量較少的場(chǎng)景。

方式2 將同截面的葉子包圍盒的投影區(qū)域組成一副圖像,以葉子包圍盒的編號(hào)對(duì)每個(gè)投影區(qū)域編號(hào),若多個(gè)葉子包圍盒的投影區(qū)域存在相交,則將這些包圍盒的標(biāo)號(hào)全部賦予相交區(qū)域。該方式存儲(chǔ)一組圖像,射線求交時(shí)從上到下的順序遍歷所有圖像,即可求出所有相交圖元。該方式適合用在葉子包圍盒數(shù)量較多的場(chǎng)景。

2.4 光線投射算法中的射線圖元求交

光線投射算法需要求出射線穿越的圖元。利用2.3節(jié)生成投影區(qū)域圖判定射線與包圍盒是否相交,之后再求出與射線相交的圖元信息,本文采用方式二生成的多幅投影區(qū)域圖進(jìn)行求交判斷,具體步驟如下:

1)首先獲取光線與視平面的交點(diǎn),之后依次搜索投影圖,獲取包含該交點(diǎn)的所有投影區(qū)域,并按區(qū)域中包含的葉子包圍盒編號(hào)由小到大順序記錄。

2)根據(jù)編號(hào)獲取每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)包圍盒,計(jì)算包圍盒中與射線相交的圖元。

獲取這些交點(diǎn)信息后,對(duì)交點(diǎn)圖元的色彩和透明度進(jìn)行采樣,并用色彩合成算子進(jìn)行色彩的累計(jì),獲取該點(diǎn)最終色彩。

按上述方法依次獲取所有所有點(diǎn)的繪制,完成數(shù)據(jù)的繪制。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文算法所采用的實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下:CPU采用Intel(R)Core(TM)i7X980,顯卡采用NVIDIAQuadro4000,內(nèi)存為16GB。

實(shí)驗(yàn)取不同射線數(shù)分別進(jìn)行了測(cè)試,并對(duì)同一模型八叉樹結(jié)構(gòu)用多種深度分割進(jìn)行了反復(fù)測(cè)試,最優(yōu)深度為繪制速度最快時(shí)八叉樹的深度，表1中僅列舉最優(yōu)深度時(shí)的測(cè)試信息,實(shí)驗(yàn)比較了傳統(tǒng)八叉樹包圍盒算法下繪制速度與使用本文算法的繪制速度。本文所用數(shù)據(jù)如圖6所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.6 Experiment data

表1 傳統(tǒng)光線投射算法和本文算法繪制時(shí)間對(duì)比Tab.1 The contrast of rendering time of traditional ray casting and the algorithm in this paper

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：①利用本文算法,最優(yōu)層次數(shù)增加。這是由于射線包圍盒求交的運(yùn)算量減少,使得可以劃分更深層次的八叉樹,相應(yīng)的包圍盒內(nèi)的平均圖元數(shù)也減少,使得在求包圍盒內(nèi)與射線相交的圖元時(shí)計(jì)算量減少;②在光線跟蹤數(shù)量增加的情況下,算法效率有了提升,這主要是由于投影區(qū)域之間存在關(guān)聯(lián)性,編碼時(shí)可有效利用這些關(guān)聯(lián)性,減少了計(jì)算量;③本文算法所使用的平均繪制時(shí)間為傳統(tǒng)算法的47.6%,實(shí)驗(yàn)證明算法可以有效的提升射線圖元求交及光線投射算法的速度。

4 結(jié) 語

本文提出了一種射線與包圍盒求交的快速算法,與已有求交方法相比,算法對(duì)八叉樹空間結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)先計(jì)算八叉樹葉子節(jié)點(diǎn)包圍盒在屏幕上的投影,再利用投影圖進(jìn)行求交運(yùn)算,減少了包圍盒與射線求交的計(jì)算,將算法應(yīng)用到光線投影中,取得了良好的效果。如何將該算法用在光線跟蹤等其他渲染算法中可以作為下一步研究重點(diǎn)。該算法可以推廣到k-d樹,均勻網(wǎng)格等其他加速空間結(jié)構(gòu)中,這同樣也是未來將拓展的工作。

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(編 輯曹大剛)

A ray intersection method based on octree spatial structure′s projection

WEI Xiao-ran, GENG Guo-hua, ZHANG Yu-he

(Information and Science College, Northwest University， Xi′an 710127， China)

In order to improve ray intersection with the object speed in ray casting. Proposed a fast ray intersection method using octree spatial structure′s projection on the viewing plane. Constructed an octree spatial structure parallel to the viewing plane, then project octree leaves′ bounding volume along the viewing direction to the viewing plane, viewing plane is divided into lots of blocks of the projection area. In the ray intersection with the bounding volume, the ray falls on the viewing plane, determining its respective projection area, and then finding the ray intersects the bounding volume. Experimental results show that the algorithm can speed up the efficiency of the ray intersection compared with the traditional method.

ray intersection; projection; octree; ray casting

2014-11-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61373117)

魏瀟然，男，博士生，陜西咸陽人，從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)、3D打印等研究。

TP391

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-03-006