黃浦博，尉 宇，2

(1.武漢科技大學(xué) 武漢430070；2.華中科技大學(xué) 武漢430047）

1 引言

盲源分離（blind source separation,BSS）的提出起源于“雞尾酒會(huì)（cocktail party）”，即從若干觀測到的混合信號中恢復(fù)出無法直接觀測的各個(gè)獨(dú)立原始信號的過程，是信號處理中一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的課題?！懊ぁ敝竷蓚€(gè)方面：源信號未知；混合系統(tǒng)未知。源信號的未知因素導(dǎo)致了數(shù)學(xué)模型很難建立，于是對盲源的分離便順其自然。對盲源分離的實(shí)質(zhì)性研究最早開始于Jutten和Herault[1]兩位學(xué)者。之后Sorouchyari和Comon[2]在Signal Processing上發(fā)表了關(guān)于該研究的文章。在工程實(shí)際中應(yīng)用盲源信號分離時(shí)，絕大部分假設(shè)信號是線性混疊，但實(shí)際上，當(dāng)信號通過傳感器時(shí)很可能會(huì)發(fā)生非線性畸變，信號常常是非線性的。早期Hyvarinen[3]和Pajunen[4]對非線性混合模型解的唯一性問題進(jìn)行了討論。國內(nèi)對盲源分離的研究起步比較晚，但近幾年得到大力的發(fā)展。盲源分離方法已形成三大主流，即ICA、NMF[5]和SCA。目前對盲源分離的研究是很有意義的，盲源分離廣泛運(yùn)用于很多技術(shù)中，如語音信號分離與識(shí)別、數(shù)據(jù)通信與陣列信號處理、圖像處理與識(shí)別和地學(xué)空間信息處理。非線性盲源分離的解決方法可以歸納為以下兩類：運(yùn)用自組織映射提取信號中的非線性分量的方法；基于假定非線性混合模型的方法。其中包括基于粒子群優(yōu)化算法、基于自然梯度算法和基于稀疏成分分析算法等。本文采用螢火蟲群優(yōu)化 （glowworm swarm optimization,GSO）算法來研究非線性盲源分離問題。

2 非線性信號盲分離模型

相比于線性變換模型，非線性變換模型更適用于實(shí)際。本文采用Burel[6]兩層感知器結(jié)構(gòu)的非線性模型。

設(shè)有m個(gè)源信號，有m個(gè)觀測信號。源信號s（t）=[s1,s2,s3,…,sm]T和觀測信號x（t）=[x1,x2,x3,…,xm]T之間關(guān)系表示如下：

其中,xi表示為：

其中，s（t）=[s1,s2,s3,…,sm]T為m個(gè)源信號構(gòu)成的m×1維向量，x（t）=[x1,x2,x3,…,xm]T是m×1維 觀 測 數(shù) 據(jù) 向 量；m×m維矩陣A稱為信號混合矩陣。F=[f1,f2,f3,…,fm]T是可逆的非線性變換矩陣。該模型為非線性混合[7]與分離模型。

如圖1所示，該系統(tǒng)分為兩部分：混合與分離?；旌喜糠纸M成：混合信號矩陣A線性混合，獨(dú)立非線性失真函數(shù)F=[f1,f2,f3,…,fm]T；分離系統(tǒng)組成：gi每一個(gè)通道的獨(dú)立非線性反變換和W分離矩陣。輸出信號yi（t）表示為：

這種數(shù)據(jù)的表示可寫成矩陣的形式。

圖1 非線性混合與分離模型

一般而言，非線性混合信號模型是將非線性問題根據(jù)某種規(guī)則轉(zhuǎn)化為線性。非線性最大的難度在于參數(shù)的估計(jì)。這因?yàn)榭臻g內(nèi)存在大量的局部最優(yōu)化問題。為解決這個(gè)問題，先后出現(xiàn)了用RBF（radial basis function，徑向基函數(shù)）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法等群智能優(yōu)化算法，取得了較好的結(jié)果。本文擬采用基于優(yōu)化的螢火蟲群算法解決盲源分離問題。該算法具有操作簡單、宜于并行處理、頑健性強(qiáng)等特點(diǎn)。

3 基于螢火蟲群優(yōu)化算法的非線性盲分離

3.1 螢火蟲群優(yōu)化算法簡介

螢火蟲群優(yōu)化算法是群智能優(yōu)化算法的一種新思路。已有較多相關(guān)的介紹與研究。該算法在解決連續(xù)型最優(yōu)化問題方面表現(xiàn)出了良好的性能。在GSO算法中，每一只螢火蟲分布在二維空間中，空間中螢火蟲本身有螢光，每個(gè)螢火蟲都有各自的視覺范圍，即決策域半徑。螢火蟲的位置越好，熒光素值越高，螢火蟲亮度越大，此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值越接近所需結(jié)果，說明螢火蟲亮度與自己所處位置有關(guān)。空間中，較亮的鄰居擁有較高的吸引力吸引附近螢火蟲往自己方向移動(dòng)，螢火蟲會(huì)在決策域半徑內(nèi)，根據(jù)一定的概率選擇方向，并飛向鄰居。不僅如此，決策域半徑范圍的大小會(huì)根據(jù)鄰居密度的不同而受到影響，從而更新螢火蟲決策域半徑。密度較低，螢火蟲的決策半徑會(huì)加大，擴(kuò)大范圍，便于尋找更多的鄰居；密度較高，則相對地會(huì)縮小。GSO算法的目標(biāo)是為了達(dá)到種群尋優(yōu)。解空間的每一個(gè)解被視為自然界中的螢火蟲，初始解隨機(jī)分布在搜索空間內(nèi)，如同螢火蟲隨機(jī)出現(xiàn)在規(guī)定范圍內(nèi)。依照螢火蟲的移動(dòng)方式，解空間內(nèi)每只螢火蟲按規(guī)則移動(dòng)。移動(dòng)后更新螢火蟲各參數(shù)，通過每次更新，最終使得大量螢火蟲聚集在熒光素較高的螢火蟲周圍，找到多個(gè)極值點(diǎn)，達(dá)到目標(biāo)。

群體在優(yōu)化過程中，每次迭代都由4部分組成：熒光素更新、移動(dòng)概率更新、位置更新、動(dòng)態(tài)決策域半徑更新。如下是GSO算法的基本步驟描述。

（1）初始階段

初始化時(shí)，螢火蟲解個(gè)體隨機(jī)均勻地散布在解空間內(nèi)，并且每只螢火蟲擁有相同的熒光素和感知半徑。在搜索空間內(nèi)隨機(jī)生成i（i=1,…,n）只螢火蟲，且所有螢火蟲都帶有熒光素l0，動(dòng)態(tài)決策域r0。

（2）熒光素更新

螢火蟲的熒光素更新規(guī)則如下：

其中，ρ為熒光素衰減因子，介于（0,1），（1-ρ）為亮度衰減率，控制過去經(jīng)驗(yàn)比重。γ為比例常數(shù)，控制此回合搜索解的經(jīng)驗(yàn)比重。J（xi（t））代表的是在t回合第i個(gè)螢火蟲所處位置xi（t）對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值，li（t）代表第t回合第i只螢火蟲的熒光素值。螢火蟲的熒光素更新等于螢火蟲的當(dāng)前適應(yīng)度值減去隨時(shí)間衰減的螢火蟲素值。每一次螢火蟲移動(dòng)完畢，下一次開始前，螢火蟲熒光素完成更新。

取目標(biāo)函數(shù)值倒數(shù)的目的是因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)求極小，目標(biāo)函數(shù)越小的螢火蟲，其亮度就越亮。計(jì)算亮度后，螢火蟲與螢火蟲之間在區(qū)域決策半徑內(nèi)以自己的亮度作為溝通的方式，從中挑選一個(gè)鄰居，以此移動(dòng)到較好的群中心位置上。

（3）尋找螢火蟲i的鄰居j

螢火蟲比較自身決策域半徑內(nèi)鄰居的熒光素的大小選擇飛行方向，尋找熒光素比自己高的鄰居。

||xj（t）-xi（t）||表示t時(shí)刻第i只螢火蟲的鄰居集合。0<（t）≤rs，是螢火蟲j與i的歐幾里得距離。為螢火蟲個(gè)體i在t時(shí)刻的感知半徑。其中，j∈Ni（t）。

（4）移動(dòng)概率更新

螢火蟲移動(dòng)規(guī)則如下：

其中，移動(dòng)方向由鄰居集合中螢火蟲熒光素值決定。Pij（t）表示t時(shí)刻第i只螢火蟲向鄰居集合中第j只螢火蟲移動(dòng)的概率。

（5）位置更新

設(shè)移動(dòng)步長為b（b>0），第i只螢火蟲由移動(dòng)概率Pij（t）選擇其移動(dòng)方向移向鄰域內(nèi)個(gè)體j，即輪盤賭法則。第i只螢火蟲的位置更新規(guī)則如下：

（6）動(dòng)態(tài)決策域半徑更新

螢火蟲群優(yōu)化算法采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)領(lǐng)域決策范圍。規(guī)則如下：

其中，rs為螢火蟲感知范圍，rid（t）表示t時(shí)刻第i只螢火蟲的決策范圍，β表示領(lǐng)域變化率，ni表示個(gè)體領(lǐng)域集內(nèi)包含的螢火蟲數(shù)目閾值。

（7）判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)

若達(dá)到，則停止并輸出結(jié)果，否則，轉(zhuǎn)向步驟（2）。

3.2 改進(jìn)螢火蟲優(yōu)化算法

GSO算法執(zhí)行到后期時(shí)，會(huì)出現(xiàn)很多情況。比如，結(jié)果很快會(huì)陷入局部最優(yōu)、求解精度不高、螢火蟲個(gè)體在峰值附近出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象等。為了改進(jìn)算法，之前提出了很多方法，如最佳螢火蟲分布算法，在一開始便使得螢火蟲個(gè)體的位置最佳，在原算法的基礎(chǔ)上有效改進(jìn)結(jié)果；自適應(yīng)變步長螢火蟲群優(yōu)化算法，從搜索過程中改變螢火蟲移動(dòng)步長，此算法動(dòng)態(tài)調(diào)整步長，處理好全局尋優(yōu)能力和尋優(yōu)精度之間的關(guān)系。

本文也是從算法中期對螢火蟲群進(jìn)行人工處理。人為將該群體放入鏡子擋板，此時(shí)從視覺上看，螢火蟲群體數(shù)量大，有效改善了螢火蟲群的布局，豐富了螢火蟲個(gè)體的多樣性，豐富的群體多樣性改善了求解精度不高的問題。加入擋板后的螢火蟲群體中，個(gè)體由于附近的熒光素強(qiáng)度改變，決策域半徑改變，移動(dòng)概率更新，相應(yīng)的位置也會(huì)更新，使得螢火蟲群體跳出局部最優(yōu)，個(gè)體重新搜索。本文將該現(xiàn)象稱為“擋板效應(yīng)”。采用該方式的GSO算法稱為“BGSO”算法。該優(yōu)化算法的重點(diǎn)在于，當(dāng)完成一次基本GSO算法后計(jì)算得到評價(jià)函數(shù)值，再加入“擋板效應(yīng)”，更新評價(jià)函數(shù)值，并比較兩次評價(jià)函數(shù)值的大小，保留最優(yōu)的函數(shù)值。下次重復(fù)該步聚，直到完成最大迭代次數(shù)，并輸出結(jié)果。

當(dāng)遍歷一次后，在群體中加入人工擋板，用表達(dá)式表示為：

本文中ti∈[-1,1]，取m=4,此時(shí)迭代出來的結(jié)果互不相關(guān)。在原GSO算法中，群體適應(yīng)度值差別大，在尋優(yōu)過程中可能還有很少的個(gè)體保留下來。加入“擋板效應(yīng)”的GSO算法，即BGSO算法，豐富了種群多樣性，一定程度上抑制了GSO算法易陷入局部解的發(fā)生，提高了求解精度。

3.3 評價(jià)函數(shù)

對于盲源分離的評價(jià)函數(shù)可以有很多種形式，比如互信息最小化、信息傳輸最大化和負(fù)熵最大化等。本文采用互信息作為評價(jià)函數(shù)。

可以看出，I（y）=0時(shí)，說明yi相互獨(dú)立。式（10）中H（yi）的計(jì)算需要估計(jì)yi的分布密度函數(shù)。對H（yi）的計(jì)算常用Edgeworth展開或者Gram-Charlie展開。由于Edgeworth展開在訓(xùn)練時(shí)存在發(fā)散問題，這里采用Gram-Charlier展開，其每一分量的熵H（yi）只與它的三階累積量和四階累積量有關(guān)：

為了使式（11）的期望值為0，方差為1，其在計(jì)算前需要對信號進(jìn)行中心化和白化處理。中心化是減去信號中的均值矢量，從而使其成為零均值變量；然后對觀測矢量進(jìn)行線性變換得到新矢量，即白化。其各分量不相關(guān)且方差為1。這里采用I（y）的倒數(shù)作為評價(jià)函數(shù)，以此增強(qiáng)各隨機(jī)變量之間的獨(dú)立性。當(dāng)評價(jià)函數(shù)得到最大值時(shí)，說明各個(gè)信號之間最接近獨(dú)立。

J（xi（t））即式（4）中的適應(yīng)度函數(shù)。式（12）中如果I（y）=0，說明各個(gè)信號之間獨(dú)立。仿真時(shí)，I（y）越小，則越接近所需要結(jié)果，此時(shí)J（xi（t））也就越大。當(dāng)J（xi（t））取最大值時(shí)，即全局最優(yōu)解。

圖2 BGSO算法流程

3.4 算法的應(yīng)用

非線性混合分離系統(tǒng)中，各個(gè)通道的非線性參數(shù)空間相互獨(dú)立。令非線性參數(shù)空間的螢火蟲群為G=[G1，G2，…，Gn]，Gj=[gj1，gj2，…，gjp]。非線性函數(shù)與源信號的概率密度函數(shù)有關(guān)，但由于實(shí)際的源信號概率密度未知，因此一般根據(jù)不同分布情況采用不同的非線性函數(shù)。

基于BGSO算法的非線性盲源分離實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟1讀取源信號。

步驟2初始化非線性去混合函數(shù)參數(shù)。隨機(jī)產(chǎn)生去混合函數(shù)參數(shù)G=[G1，G2，…，Gn]，Gj=[gj1，gj2，…，gjp]。

步驟3對yi（t）進(jìn)行中心化和白化處理。按式（10）計(jì)算評價(jià)函數(shù)。

·若某個(gè)螢火蟲的評價(jià)函數(shù)值優(yōu)于其歷史最優(yōu)評價(jià)函數(shù)值，則記當(dāng)前為歷史最優(yōu)值，同時(shí)該位置為歷史最優(yōu)位置。

·尋找當(dāng)前各子群內(nèi)最優(yōu)和總?cè)簝?nèi)部最優(yōu)。

·當(dāng)子群內(nèi)歷史最優(yōu)螢火蟲位置趨近于無變化時(shí)，在螢火蟲內(nèi)部使用“擋板效應(yīng)”。

所有Sim(Kei，Kej)|?i，j[1，2，…，n]構(gòu)成一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系，也可表現(xiàn)為一個(gè)對稱的相似度矩陣：

步驟4參數(shù)更新。對于非線性參數(shù)，按照改進(jìn)螢火蟲優(yōu)化算法更新螢火蟲熒光素、決策域半徑、位置和適應(yīng)度函數(shù)。

步驟5若達(dá)到最大迭代次數(shù)，則停止，并輸出結(jié)果。否則轉(zhuǎn)至步驟3。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

本次采用兩個(gè)語音信號、一個(gè)LFM雷達(dá)信號和一個(gè)高斯白噪聲來驗(yàn)證算法的有效性。根據(jù)所得混合信號，隨機(jī)產(chǎn)生混合矩陣A，并求得中心化和白化矩陣O。

選取的混合函數(shù)分別選為：

螢火蟲個(gè)體數(shù)量n=40，最大迭代次數(shù)i_max=2 000。結(jié)合基本螢火蟲算法，對參數(shù)初始化。ρ=0.4,γ=0.6,β=0.08,nt=5,s=0.03,l0=5。隨機(jī)產(chǎn)生螢火蟲初始位置xi（0）,初始步長si（0）。連續(xù)迭代不變化次數(shù)閾值Maxstep=20，并且規(guī)定最佳適應(yīng)度變化率小于1/1 000,認(rèn)為無變化。源信號圖和中心化以及白化后的混合信號和分離信號如圖3～圖5所示。

求得的性能矩陣P=W·g（f（O·A））=y-1·S如下：

分離矩陣W如下：

圖3 原信號s（t）

圖4 混合信號x（t)

圖5 分離信號y（t）

從性能矩陣中的數(shù)值可以看出，每一行都有一個(gè)數(shù)值遠(yuǎn)大于其他數(shù)值（例如，第一行第二列遠(yuǎn)大于該行其他數(shù)值）。而在盲源分離的算法研究中，性能指標(biāo)常常運(yùn)用交錯(cuò)誤差表示。如下：

P的性能誤差EP=0.976 1。性能矩陣受到了非線性混合函數(shù)的影響，但誤差不大。另一方面證明了信號分離效果較好。

然而，在盲源分離中，分離輸出信號yi與源信號si的相關(guān)系數(shù)也可以作為一個(gè)盲源分離算法的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。定義如下：

分離信號i與源信號j由于誤差不可能完全分離，ξij的值只能接近于1；而當(dāng)該值趨近于0或者距離1較遠(yuǎn)時(shí)，則說明分離并未完成。將分離元素與源信號元素代入式（18）中，可得ξij=0.894 3，該結(jié)果接近1。由分析可知，分離結(jié)果非常接近源信號，可說明效果理想，分離完成。

在使用BGSO算法的過程中，不同的螢火蟲子群對搜索成功率和達(dá)到最優(yōu)路徑的平均代數(shù)有影響。一般采用3～4個(gè)子群數(shù)的效果較好。子群之間重疊的螢火蟲個(gè)數(shù)對成功率和達(dá)到最優(yōu)路徑的平均代數(shù)也有影響。重疊過多，易導(dǎo)致局部收斂；重疊太少，會(huì)導(dǎo)致迭代次數(shù)和時(shí)間的增加。由此看來對于空間維度較高的情況將使得搜索時(shí)間大大增加。

5 結(jié)束語

本文采用螢火蟲群算法進(jìn)行非線性混疊信號盲分離，并在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，采用鏡面反射的原理，運(yùn)用到螢火蟲優(yōu)化算法中，較好地使結(jié)果得到改進(jìn)，精確度得到提高。改進(jìn)的方式需要讓算法遍歷一次后重新更新，步驟較為復(fù)雜。如何將步驟簡化，并將結(jié)果與其他算法相比較，將是下一步需要做的工作。

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6 Burel G.Blind separation of sources:a nonlinear neural algorithm.Neural Network,1992,5（6）:937～947

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