郭士禮， 冀孟恩， 朱培民， 李修忠

1 河南工程學(xué)院資源與環(huán)境學(xué)院， 鄭州 451191 2 河南高速公路試驗(yàn)檢測有限公司， 鄭州 450121 3 中國地質(zhì)大學(xué)地球物理與空間信息學(xué)院， 武漢 430074 4 黃淮學(xué)院建筑工程學(xué)院， 河南 駐馬店 463000

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多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型及其探地雷達(dá)波場特征研究

郭士禮1,2,3， 冀孟恩2， 朱培民3， 李修忠4*

1 河南工程學(xué)院資源與環(huán)境學(xué)院， 鄭州 451191 2 河南高速公路試驗(yàn)檢測有限公司， 鄭州 450121 3 中國地質(zhì)大學(xué)地球物理與空間信息學(xué)院， 武漢 430074 4 黃淮學(xué)院建筑工程學(xué)院， 河南 駐馬店 463000

瀝青混凝土是由骨料、瀝青膠漿、空氣按照一定的體積百分比混合而成的多相非勻質(zhì)混合物，其骨料、瀝青膠漿和空氣的體積不等、形狀各異、介電特性不同、空間位置隨機(jī)分布，具有明顯的多相、離散、隨機(jī)介質(zhì)特征.本文基于隨機(jī)介質(zhì)模型理論，(1)測量與統(tǒng)計(jì)了介電常數(shù)在典型瀝青混凝土芯樣空間上的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征；(2)估算了瀝青混凝土介質(zhì)的自相關(guān)函數(shù)及其特征參數(shù)(自相關(guān)長度、自相關(guān)角度等)，確定其隨機(jī)介質(zhì)類型；(3)提出了量化約束下的多相離散隨機(jī)介質(zhì)建模算法，以混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)為基礎(chǔ)，構(gòu)建了不同粗糙度因子的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型；(4)構(gòu)建了不同空隙率的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型，正演模擬與對比分析了探地雷達(dá)波在均勻介質(zhì)、連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)和多相離散隨機(jī)介質(zhì)中的傳播特征.結(jié)果表明：多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型不僅描述了瀝青混凝土的多相、離散與空間隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征，而且進(jìn)一步描述了其各組成物質(zhì)體積百分比，能更全面、準(zhǔn)確地描述瀝青混凝土的介質(zhì)特征，同時(shí)也為描述其他類似材料或介質(zhì)提供了新的方法和途徑；在多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型中，探地雷達(dá)波散射強(qiáng)烈，隨機(jī)、無序傳播的散射波相互疊加干涉，形成了明顯的隨機(jī)擾動和“噪聲”，致使異常體反射波扭曲變形、不連續(xù)，降低了探地雷達(dá)回波的信噪比和分辨率.研究探地雷達(dá)波的隨機(jī)擾動特征與多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型參數(shù)之間的關(guān)系，將為定量評價(jià)多相離散隨機(jī)介質(zhì)的屬性參數(shù)提供參考和幫助.

隨機(jī)介質(zhì); 多相離散; 特征參數(shù); 重構(gòu); 波場特征

1 引言

探地雷達(dá)方法具有高分辨率、高效率、連續(xù)、無損等優(yōu)點(diǎn)，已成為淺層結(jié)構(gòu)勘探領(lǐng)域最重要的物探方法之一，尤其是在公路工程、建筑工程等淺層工程質(zhì)量無損檢測工作中發(fā)揮了重要作用(Saarenketo and Scullion，2000；Maierhofer，2003；Alani et al., 2013；黃忠來和張建中，2013).我國高速公路結(jié)構(gòu)層通常采用瀝青混凝土面層加半剛性基層的形式，當(dāng)探地雷達(dá)應(yīng)用于公路結(jié)構(gòu)層厚度檢測與病害(如裂縫、脫空、不均勻沉降、疏松等)調(diào)查時(shí)，通常將公路結(jié)構(gòu)層材料簡化為均勻介質(zhì)或?qū)訝罹鶆蚪橘|(zhì)，并由此建立相應(yīng)的公路工程質(zhì)量探地雷達(dá)檢測理論與資料處理解釋方法(盧成明等，2007).而實(shí)際的公路結(jié)構(gòu)層材料(如瀝青混凝土、水泥穩(wěn)定碎石等)是由多種物質(zhì)按照一定的體積百分比組合而成的多相非勻質(zhì)混合物(蔡迎春，2008).以瀝青混凝土為例，它是由骨料、瀝青膠漿、空氣按照一定的體積百分比混合而成的多相非均質(zhì)混合物，其骨料、瀝青膠漿和空氣的體積不等、粒徑多尺度、幾何形狀各異、電磁性質(zhì)不同，位置在空間上隨機(jī)分布(吳豐收，2009；丁亮等，2012)，具有明顯的多相、離散、隨機(jī)介質(zhì)特性.自然界廣泛存在的多孔介質(zhì)通常也是多相離散隨機(jī)介質(zhì)(Cai and Yu, 2011).高頻電磁波在多相離散隨機(jī)介質(zhì)中傳播時(shí)，會發(fā)生散射，造成大量的不相干波至，致使接收波形也具有相應(yīng)的隨機(jī)特征(Jiang et al., 2013；戴前偉和王洪華，2013).尤其是路用探地雷達(dá)天線的主頻較高，探測波長較短(約為最大粒徑的3～5倍)，散射相對較大，使得介電特性在介質(zhì)空間上隨機(jī)分布引起的波場變化被相對放大，將十分明顯地影響高頻電磁波的傳播.因此，對于高頻電磁波來說，瀝青混凝土的物性參數(shù)變化劇烈，電磁散射嚴(yán)重，無法簡化為均勻介質(zhì)，而應(yīng)依據(jù)電磁參數(shù)在瀝青混凝土空間上具有多相、離散、隨機(jī)分布的特征，建立更符合其實(shí)際情況的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型，數(shù)值模擬探地雷達(dá)波在其中的傳播特征，為提高探地雷達(dá)探測分辨率、改進(jìn)數(shù)據(jù)處理方法，以及定量解釋工程材料介質(zhì)屬性提供理論基礎(chǔ)和科學(xué)依據(jù)，具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值.

作者采用鉆孔取芯法獲取了一些瀝青混凝土芯樣，利用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測量其主要組成物質(zhì)的介電常數(shù)，得到其介電常數(shù)空間分布圖，研究介電常數(shù)在芯樣空間上的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征；然后，結(jié)合瀝青混凝土各組成物質(zhì)的體積百分比，提出了嚴(yán)格量化約束下的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法，構(gòu)建與瀝青混凝土實(shí)際情況更相符的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型，正演模擬與對比分析探地雷達(dá)波在均勻介質(zhì)模型、連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型與多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型中的波場特征.

2 隨機(jī)介質(zhì)模型理論

多相離散隨機(jī)介質(zhì)可運(yùn)用隨機(jī)介質(zhì)模型理論來刻畫.隨機(jī)介質(zhì)模型理論將介質(zhì)的物性參數(shù)作為空間隨機(jī)變量，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法描述其空間隨機(jī)分布特征.隨機(jī)介質(zhì)模型大致可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩種類型，平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型由自相關(guān)函數(shù)、自相關(guān)長度、自相關(guān)角度、均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量表征(徐濤等，2007).高斯型(Ergintav and Canitez，1997；趙迎月等，2013)、指數(shù)型(Ikelle et al., 1993)和混合型(奚先和姚姚，2002；Jiang et al., 2013)橢圓自相關(guān)函數(shù)被廣泛用于構(gòu)造隨機(jī)介質(zhì)模型，不同的自相關(guān)函數(shù)適用于不同的地質(zhì)特征；在隨機(jī)介質(zhì)中，自相關(guān)長度描述非均勻異常在不同方向上的平均尺度，自相關(guān)角度描述非均勻異常的走向，均值描述隨機(jī)介質(zhì)的平均特性，標(biāo)準(zhǔn)差描述隨機(jī)介質(zhì)的離散程度.

平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型假定介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特征為常量，存在許多局限性，不能完整地描述各種復(fù)雜、非平穩(wěn)的實(shí)際介質(zhì).奚先和姚姚(2005)提出一種由空間變化的自相關(guān)函數(shù)(局部自相關(guān)函數(shù))構(gòu)造非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型的新方法，該方法通過在水平方向和垂直方向上選擇局部自相關(guān)長度，構(gòu)建各種不同形式的非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型.研究表明：非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型能更加靈活地描述各種復(fù)雜、非均勻的實(shí)際介質(zhì).高斯型、指數(shù)型和混合型二維非平穩(wěn)橢圓自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式如下：

高斯型橢圓自相關(guān)函數(shù)：

(1)

指數(shù)型橢圓自相關(guān)函數(shù)：

(2)

混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)：

上述二維非平穩(wěn)橢圓自相關(guān)函數(shù)描述了局部自相關(guān)函數(shù)R(x′,y′,x1,y1)在大尺度上隨空間坐標(biāo)(x′,y′)緩慢變化.在二維非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)中，全局坐標(biāo)和局部坐標(biāo)之間的關(guān)系如圖1所示.

圖1 二維非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)中全局坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的關(guān)系Fig.1 Relationship between global coordinate and local coordinate

在非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型中，局部自相關(guān)長度a=a(x′,y′)、b=b(x′,y′)和方向角θ=θ(x′,y′)隨空間坐標(biāo)(x′,y′)緩慢變化，a=a(x′,y′)、b=b(x′,y′)和θ=θ(x′,y′)分別表示點(diǎn)(x′,y′)處隨機(jī)介質(zhì)在x、y方向上的自相關(guān)長度和自相關(guān)角度.對比上述公式，可以看出混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)不僅綜合了指數(shù)型(r=1)與高斯型(r=0)橢圓自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)，而且通過粗糙度因子r能進(jìn)一步拓展其模擬實(shí)際隨機(jī)介質(zhì)的類型和范圍(郭乃川等，2012).

由于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)介質(zhì)模型描述的介質(zhì)物性參數(shù)在空間上連續(xù)地隨機(jī)變化，故又稱為連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型.多相離散隨機(jī)介質(zhì)的物性參數(shù)不僅在空間上具有多相、離散和隨機(jī)分布特征，而且其各組成物質(zhì)滿足一定的體積百分比，因此上述連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型難以完整地描述多相離散隨機(jī)介質(zhì)，必須依據(jù)瀝青混凝土物性參數(shù)的空間隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征和各組成物質(zhì)體積百分比，改進(jìn)隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法，才能構(gòu)建更符合瀝青混凝土實(shí)際情況的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型.

3 瀝青混凝土的隨機(jī)介質(zhì)特性分析與模型參數(shù)估算

3.1 介電常數(shù)在瀝青混凝土空間上的分布特征

介電常數(shù)是分析電磁波與介質(zhì)相互作用的基礎(chǔ)參數(shù)，統(tǒng)計(jì)、掌握介電常數(shù)在瀝青混凝土空間上的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征，是重構(gòu)瀝青混凝土介質(zhì)模型的基礎(chǔ).

作者鉆取了豫西某高速公路瀝青混凝土中面層芯樣，對其進(jìn)行橫向切割，得到7 cm×7 cm的二維橫切片，如圖2a所示.采用E5071C型矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(吳俊軍等，2011)，多次測量其骨料、瀝青在0.5～2 GHz頻段內(nèi)的相對介電常數(shù)，取其均值，作為骨料和瀝青的相對介電常數(shù)值，分別為εr=8.2、εr=2.8.由于瀝青膠漿在瀝青混凝土中的含量較少，分布零散，無法直接測量其介電常數(shù)，因此，本文依據(jù)瀝青膠漿中瀝青和礦粉的體積百分比及其介電常數(shù)，采用復(fù)折射率模型(Birchak et al., 1974)估算其等效介電常數(shù)為εr=5.44.

依據(jù)瀝青混凝土的骨料、瀝青膠漿和空氣在照片中灰度級的不同，應(yīng)用圖像閾值分割技術(shù)將骨料、瀝青膠漿與空氣分割出來，賦予其相應(yīng)的介電常數(shù)，得到瀝青混凝土的介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)，如圖2b所示.

基于介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)，可以統(tǒng)計(jì)出各組成物質(zhì)的體積百分比(如骨料率Pg=77.86%、瀝青膠漿率Pj=21.70%、空隙率Pk=0.43%)，統(tǒng)計(jì)出相對介電常數(shù)的均值εmv=7.5694、標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.2175等空間隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征.

3.2 自相關(guān)函數(shù)及其特征參數(shù)的估算方法

自相關(guān)函數(shù)是體現(xiàn)隨機(jī)介質(zhì)空間分布特征和決定隨機(jī)介質(zhì)類型(Klime?，2002；劉永霞等，2007)的重要參數(shù).由維納-辛欽定理可知，介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)的功率譜與其自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換對，由此可先計(jì)算介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)的功率譜，再對其進(jìn)行二維傅里葉逆變換，得到其自相關(guān)函數(shù)圖像，然后進(jìn)行歸一化與二值化處理，提取

圖2 瀝青混凝土二維橫向切片照片(a)及其介電常數(shù)空間分布圖(b)Fig.2 Transverse profile of asphalt concrete (a) and its permittivity in spatial distribution image (b)

自相關(guān)函數(shù)在不同方向上的自相關(guān)長度、自相關(guān)角度等特征參數(shù).

(1) 介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)的功率譜

介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)的功率譜可用下式計(jì)算(BalboaandGrzywacz，2003；AminandSubbalakshmi，2007):

(4)

(4)式中

(5)

式中，kx、ky分別為介電常數(shù)空間分布圖x、y方向的空間頻率，M、N分別為介電常數(shù)空間分布圖x、y方向的采樣點(diǎn)數(shù).

(2)εr(x,y)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Rε ε(x,y)

根據(jù)維納-辛欽定理，介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)的自相關(guān)函數(shù)Rε ε(x,y)是其功率譜Γ(kx,ky)的二維傅里葉逆變換,即

Rε ε(x,y)=IFFT2(Γ(kx,ky)),

(6)

介電常數(shù)空間分布圖εr(x,y)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)Rε ε(x,y)如圖3所示.

(3)歸一化自相關(guān)函數(shù)

(4)提取自相關(guān)函數(shù)的特征參數(shù)

對于線性歸一化后的自相關(guān)函數(shù)，其自相關(guān)長度為最大值1衰減至e-1的距離(Zhang and Sundararajan，2006).因此可將自相關(guān)函數(shù)值大于等于e-1的賦值為1，小于e-1的賦值為零(圖5)，以方便提取自相關(guān)函數(shù)在x、y方向上的自相關(guān)長度a、b和自相關(guān)角度θ等特征參數(shù).

依據(jù)上述統(tǒng)計(jì)與估算方法，可得到介電常數(shù)空間分布圖(圖2b)的空間隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征、自相關(guān)函數(shù)特征參數(shù)、各組成物質(zhì)體積百分比等多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型參數(shù)，如表1所示.

表1 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型參數(shù)Table 1 Model parameters of multiphase discrete random medium

4 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法與實(shí)例

4.1 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法

圖5中的自相關(guān)函數(shù)形狀近似于橢圓.我們計(jì)算了大量瀝青混凝土切片的自相關(guān)函數(shù)，其形狀均近似于橢圓，因此，我們認(rèn)為瀝青混凝土的自相關(guān)函數(shù)近似于橢圓自相關(guān)函數(shù).用于構(gòu)造隨機(jī)介質(zhì)模型的橢圓自相關(guān)函數(shù)主要有高斯型、指數(shù)型和混合型，

圖3 自相關(guān)函數(shù)圖像Fig.3 Auto correlation function image

圖4 歸一化自相關(guān)函數(shù)圖像Fig.4 Auto correlation function image after normalization

圖5 二值化自相關(guān)函數(shù)圖像(圖b為圖a虛線內(nèi)部分) Fig.5 Auto correlation function image after binary-conversion (figure b is the area bounded by dotted line in figure a)

鑒于混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)可以通過粗糙度因子r進(jìn)一步拓展其模擬實(shí)際隨機(jī)介質(zhì)的類型和范圍，本文以混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)建多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型.

依據(jù)介電常數(shù)在瀝青混凝土空間上的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征量及其自相關(guān)函數(shù)特征參數(shù)，同時(shí)結(jié)合瀝青混凝土各組分的體積百分比，改進(jìn)連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法，建立能準(zhǔn)確描述工程材料電磁參數(shù)空間隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征和各組成物質(zhì)體積百分比量化約束的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法.多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型的具體建模方法如下：

(1) 依據(jù)上述介電常數(shù)空間分布圖自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)長度a、b與自相關(guān)角度θ等特征參數(shù)的估算結(jié)果，選擇合適的粗糙度因子r，對混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)RM(x,y)進(jìn)行二維傅立葉變換，得到隨機(jī)過程功率譜RM(kx,ky).

(2) 生成隨機(jī)信息.用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成在[0,2π)區(qū)間均勻分布的獨(dú)立二維隨機(jī)場φ(kx,ky).

(3) 生成隨機(jī)功率譜函數(shù).根據(jù)隨機(jī)過程理論，隨機(jī)過程功率譜RM(kx,ky)與二維隨機(jī)場φ(kx,ky)的乘積就是隨機(jī)功率譜函數(shù).

(4) 對隨機(jī)功率譜函數(shù)進(jìn)行二維傅立葉逆變換，求得隨機(jī)擾動.

(5) 對隨機(jī)擾動的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行規(guī)范化，獲得以RM(x,y)為自相關(guān)函數(shù)、具有指定均值和標(biāo)準(zhǔn)差的連續(xù)型二維隨機(jī)介質(zhì)模型.

(6) 確定多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型參數(shù)的局部尺寸R，設(shè)瀝青混凝土中的骨料體積百分比為Pg，空氣體積百分比為Pk，則瀝青膠漿體積百分比為Pj=1-Pg-Pk，及骨料、瀝青膠漿和空氣的相對介電常數(shù)ε1=8.2、ε2=5.44、ε3=1.以R×R為局部區(qū)域分割模型.進(jìn)入第一個(gè)局部區(qū)域.

(7) 按照模型值的大小，依次從大到小腐蝕局部區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)，把網(wǎng)格點(diǎn)的值賦值為ε1，并判斷該局部區(qū)域內(nèi)是否滿足骨料體積百分比Pg，滿足則轉(zhuǎn)入步驟(8)，否則重新執(zhí)行步驟(7).

(8) 按照模型值大小，依次從小到大腐蝕局部區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)，將該網(wǎng)格點(diǎn)的值賦值為ε3，然后判斷是否滿足空氣體積百分比Pk，不滿足重新執(zhí)行(8)，滿足則轉(zhuǎn)入下一個(gè)局部區(qū)域，執(zhí)行(7)、(8)，直至所有局部區(qū)域都滿足骨料率Pg和空隙率Pk.

(9) 循環(huán)遍歷整個(gè)模型，將所有模型值不是ε1或ε3的網(wǎng)格點(diǎn)賦值為ε2.至此，獲得骨料體積百分比為Pg、空氣體積百分比為Pk、瀝青膠漿體積百分比為Pj，且骨料、空氣具有自組織結(jié)構(gòu)的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型.

以表1中的瀝青混凝土介電常數(shù)空間分布統(tǒng)計(jì)特征量(均值、標(biāo)準(zhǔn)差)與自相關(guān)函數(shù)特征參數(shù)(自相關(guān)長度、自相關(guān)角度)為模型參數(shù)，基于粗糙度因子r=2.5的混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)上述建模方法中的步驟(1)—(5)，建立連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型，如圖6所示.在圖6的基礎(chǔ)上，結(jié)合各組成物質(zhì)體積含量百分比，根據(jù)上述建模方法中的步驟(6)—(9)，建立既描述瀝青混凝土介電常數(shù)空間隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征，又符合其體積百分比量化約束的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型，如圖7所示.圖7較好地體現(xiàn)了瀝青混凝土組織結(jié)構(gòu)的特征，即骨料起骨架作用，瀝青膠漿起膠結(jié)填充作用.

圖6 連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型Fig.6 Continuous random medium model

圖7 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型Fig.7 Multiphase discrete random medium model

以表1中的介電常數(shù)空間分布統(tǒng)計(jì)特征量、各組成物質(zhì)含量百分比以及自相關(guān)函數(shù)特征參數(shù)為模型參數(shù)，依次改變混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)中粗糙度因子r的大小，建立粗糙度因子r=0、0.1、0.2…5的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型.部分多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型如圖8所示.從圖8中可以看出，當(dāng)其他模型參數(shù)固定不變時(shí)，混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)的粗糙度因子r越小，其生成的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型值越分散；粗糙度因子r越大，多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型值聚集效應(yīng)越好.隨著粗糙度因子r的不斷變大，其生成的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型的聚集效應(yīng)越好，相當(dāng)于骨料的粒徑越大.為了比較上述多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型與瀝青混凝土介電常數(shù)空間分布圖(圖2b)之間的相似程度，本文估算了上述多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型的自相關(guān)函數(shù)及其特征參數(shù)，并計(jì)算了它們與介電常數(shù)空間分布圖自相關(guān)函數(shù)之間的相關(guān)系數(shù).相關(guān)系數(shù)隨粗糙度因子r的變化曲線如圖9所示.

從圖9中可以看出，當(dāng)粗糙度因子r=2.5時(shí)，其多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型的自相關(guān)函數(shù)圖像與瀝青混凝土自相關(guān)函數(shù)圖像之間的相關(guān)系數(shù)最大、相關(guān)性最好、相似性最大.故，本文將粗糙度因子r=2.5的混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)作為瀝青混凝土介電常數(shù)空間分布圖對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式.

4.2 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模實(shí)例

依據(jù)上述介電常數(shù)在瀝青混凝土空間上的統(tǒng)計(jì)

圖8 粗糙度因子對多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型的影響(a) 粗糙度因子r=1; (b) 粗糙度因子r=2; (c) 粗糙度因子r=3; (d) 粗糙度因子r=4.Fig.8 Impact of roughness factor on multiphase discrete random medium models

特征量、自相關(guān)函數(shù)特征參數(shù)、混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)粗糙度因子的估算結(jié)果，依據(jù)多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法，可以建立任意體積百分比的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型.下面以不同空隙率的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型為例進(jìn)行介紹.

空隙率是指空氣在瀝青混凝土中的體積百分比，它是影響路面使用壽命和變形性能的最重要因素.對于公路瀝青混凝土路面，其油石比相對穩(wěn)定(鐘燕輝等，2007)，當(dāng)空隙率不斷增大時(shí)，其骨料與瀝青膠漿的體積百分比成比例減小.以表1中的介電常數(shù)空間分布統(tǒng)計(jì)特征(均值、標(biāo)準(zhǔn)差)與自相關(guān)函數(shù)特征參數(shù)(自相關(guān)長度、自相關(guān)角度)為模型參數(shù)，基于混合型橢圓自相關(guān)函數(shù)(粗糙度因子r=2.5)，建立空隙率分別為2%、4%、6%、8%的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型(圖10)，表2給出了不同空隙率的多相離散隨機(jī)介質(zhì)中各組成物質(zhì)的體積百分比.

圖10 不同空隙率的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型(a) 空隙率=2%; (b) 空隙率=4%; (c) 空隙率=6%; (d) 空隙率=8%.Fig.10 Multiphase discrete random medium models with different porosity

表2 不同空隙率的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型各組成物質(zhì)體積百分比Table 2 Volume fractions of composition of multiphase discrete random medium models with different porosity

5 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型的正演模擬

5.1 多相離散隨機(jī)介質(zhì)與均勻介質(zhì)的正演模擬分析

為了研究探地雷達(dá)波在多相離散隨機(jī)介質(zhì)中的傳播特征，本文基于時(shí)域有限差分方法對多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型(空隙率=4%)及其均值對應(yīng)的均勻介質(zhì)模型進(jìn)行探地雷達(dá)正演模擬.模型網(wǎng)格總數(shù)為500×600，空間網(wǎng)格步長為0.1 cm，模型上部區(qū)域?yàn)榭諝饨橘|(zhì)，厚度為10 cm；模型中部區(qū)域?yàn)槎嘞嚯x散隨機(jī)介質(zhì)或其對應(yīng)的均勻介質(zhì)，厚度為40 cm，中間有一寬度為0.5 cm的垂向裂縫，裂縫的頂、底端距上、下介質(zhì)分界面均為15 cm；模型下部區(qū)域?yàn)榫鶆驘o耗介質(zhì)(εr=9)，厚度為10 cm.GPR波脈沖激勵(lì)源的中心頻率為1500 MHz.圖11為探地雷達(dá)波在多相離散隨機(jī)介質(zhì)和均勻介質(zhì)中3 ns時(shí)刻的波場快照.可以看出，在多相離散隨機(jī)介質(zhì)中，探地雷達(dá)波散射強(qiáng)烈，隨機(jī)、無序傳播的散射波相互疊加，致使裂縫頂、底端的反射波扭曲變形、不連續(xù)，不易辨識；而在均勻介質(zhì)中，探地雷達(dá)波未發(fā)生散射，波形比較規(guī)則，裂縫頂、底端的反射波清晰可見.

圖11 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型(a)與均勻介質(zhì)模型(b)的波場快照圖Fig.11 Wave field snapshots of multiphase discrete random medium model (a) and homogeneous medium model (b)

圖12 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型和均勻介質(zhì)模型正演模擬剖面圖Fig.12 GPR profiles of multiphase discrete random medium model and homogeneous medium model

為便于對比分析，本文將多相離散隨機(jī)介質(zhì)和均勻介質(zhì)正演模擬結(jié)果放在同一個(gè)剖面圖中，如圖12所示.圖中0～50 cm為多相離散隨機(jī)介質(zhì)正演模擬剖面圖，其具有明顯的隨機(jī)擾動和“噪聲”，裂縫頂、底端反射波雙曲線不易辨識，下層界面反射波同相軸扭曲變形、不連續(xù)且振幅較弱.這源于探地雷達(dá)波在多相離散隨機(jī)介質(zhì)中發(fā)生了散射，部分散射波返回地面，為接收天線接收，降低了探地雷達(dá)回波的信噪比和分辨率；圖中51～100 cm為均勻介質(zhì)正演模擬剖面圖，其裂縫頂、底端繞射波雙曲線清晰可見，下層界面反射波同相軸清晰平直、振幅較強(qiáng).

5.2 連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)與多相離散隨機(jī)介質(zhì)的正演模擬分析

與連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型相比，多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型不僅描述了瀝青混凝土空間上的多相、離散與隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征(如自相關(guān)函數(shù)、均值、標(biāo)準(zhǔn)差等)，而且進(jìn)一步描述了各組成物質(zhì)的體積百分比，因此，能更全面、準(zhǔn)確地描述瀝青混凝土這類復(fù)雜的多相離散隨機(jī)介質(zhì).以表2為建模參數(shù)，構(gòu)建連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型及其對應(yīng)的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型，模擬與分析探地雷達(dá)波在連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)和多相離散隨機(jī)介質(zhì)中的傳播特征.正演模擬參數(shù)設(shè)置與5.1節(jié)的相同，僅將模型中部區(qū)域更換為連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型或多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型.圖13為探地雷達(dá)波在連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)和多相離散隨機(jī)介質(zhì)中3 ns時(shí)刻的波場快照.圖14為連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)和多相離散隨機(jī)介質(zhì)正演模擬剖面，圖中0～50 cm為連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)的正演模擬剖面圖，51～100 cm為多相離散隨機(jī)介質(zhì)的正演模擬剖面圖.

從圖13、14中可以看出，(1)探地雷達(dá)波在連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)和多相離散隨機(jī)介質(zhì)中均發(fā)生了散射，隨機(jī)傳播的散射波相互疊加，形成了隨機(jī)擾動和“噪聲”，致使裂縫頂、底端反射波發(fā)生了扭曲變形，介質(zhì)分界面反射波同相軸錯(cuò)斷、不連續(xù)； (2)與多相離散隨機(jī)介質(zhì)相比，探地雷達(dá)波在連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)中的散射更強(qiáng)烈，產(chǎn)生的隨機(jī)擾動更大、“噪聲”更強(qiáng)、異常體反射波扭曲變形更大.

圖13 連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型(a)與多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型(b)的波場快照圖Fig.13 Wave field snapshots of continuous random medium model (a) and multiphase discrete random medium model (b)

圖14 連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型和多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型正演模擬剖面圖Fig.14 GPR profiles of continuous random medium model and multiphase discrete random medium model

在瀝青混凝土探地雷達(dá)實(shí)測資料解釋中，通常將這種由于多相離散隨機(jī)介質(zhì)的非均勻性造成的隨機(jī)擾動當(dāng)作“噪聲”進(jìn)行處理，無形中放棄了大量的、潛在的、有價(jià)值的信息.研究和利用這些信息，相信能提高探地雷達(dá)的分辨能力，以分辨出更多的材料屬性信息和隱蔽病害信息.

6 結(jié)論

本文將瀝青混凝土視作多相離散隨機(jī)介質(zhì)，通過芯樣，研究了其介電常數(shù)在空間上的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征，估算了其自相關(guān)函數(shù)及其特征參數(shù)，提出了量化約束的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法，建立了不同空隙率的多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型，正演模擬與對比分析了探地雷達(dá)波在均勻介質(zhì)模型、連續(xù)型隨機(jī)介質(zhì)模型與多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型中的波場特征，得到以下結(jié)論：

(1) 瀝青混凝土的介電常數(shù)在空間上具有多相、離散、隨機(jī)分布特征，是典型的多相離散隨機(jī)介質(zhì)，其自相關(guān)函數(shù)近似于橢圓自相關(guān)函數(shù)；

(2) 本文提出了多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型建模算法，建模結(jié)果表明：多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型不僅描述了介電常數(shù)在瀝青混凝土空間上的多相、離散和隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)特征，而且又與其各組成物質(zhì)的體積百分比相符，能更全面、準(zhǔn)確地描述瀝青混凝土這種復(fù)雜的非均勻混合物介質(zhì)類型，同時(shí)該模型也為描述其他類似材料或介質(zhì)提供了新的方法和途徑；

(3) 探地雷達(dá)波在多相離散隨機(jī)介質(zhì)中傳播時(shí)存在強(qiáng)烈的散射現(xiàn)象，隨機(jī)、無序傳播的散射波相互干涉疊加，致使接收波形也具有相應(yīng)的隨機(jī)擾動特征和“噪聲”，研究探地雷達(dá)回波隨機(jī)擾動特征與多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型參數(shù)之間的關(guān)系，將為定量評價(jià)多相離散隨機(jī)介質(zhì)屬性參數(shù)提供參考和幫助.

致謝 感謝兩位評審專家對本論文的認(rèn)真審閱及建設(shè)性修改意見.

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(本文編輯 胡素芳)

Study on multiphase discrete random medium model and its GPR wave field characteristics

GUO Shi-Li1,2,3, JI Meng-En2, ZHU Pei-Min3, LI Xiu-Zhong4*

1CollegeofResourceandEnvironment,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China2HenanHighwayTestDetectionCo.,Ltd,Zhengzhou450121,China3InstituteofGeophysicsandGeomatics,ChinaUniversityofGeosciences,Wuhan430074,China4CollegeofArchitectureEngineering,HuanghuaiUniversity,ZhumadianHenan463000,China

Asphalt concrete is a type of multiphase, heterogeneous mixture. It is composed of aggregate, asphalt mortar and air with different volume fraction. Aggregate, asphalt mortar and air usually have different sizes, shapes, dielectric properties, and distribute randomly in space. Asphalt concrete has typical features of multiphase, discreteness and randomness. Scattering waves appear when high-frequency electromagnetic waves propagate in such medium. Thus, asphalt concrete cannot be simplified as homogeneous medium, but as multiphase discrete random medium and construct models based on the statistical characteristics of spatial random distribution of dielectric constant and volume fraction of each component of asphalt concrete, and study the propagation characteristics of high-frequency ground penetrating radar wave in such model by numerical simulation.This paper is based on random medium theory, (1) we measured the dielectric constants of the asphalt concrete samples, and computed the statistical characteristics (such as mean values, standard deviations) of spatial random distribution of dielectric constants and the volume fraction of each component; (2) we calculated the autocorrelation function of asphalt concrete based on Wiener-Khintchine theorem, and extracted its characteristic parameters (such as autocorrelation length, autocorrelation angle), and then classified the type of random media; (3) we developed the modeling algorithm of multiphase discrete random medium under quantization constrain, and constructed multiphase discrete random medium model based on intermixed elliptic autocorrelation function. Additionally, we studied the propagation characteristics of ground penetrating radar wave in multiphase discrete random medium model and compared the model with homogeneous medium model and continuous random medium model using numerical simulation.The calculated results show that the autocorrelation functions of a large number of asphalt concrete sections are approximate to ellipsoidal autocorrelation functions, which provide the foundation for using random medium theory to describe asphalt concrete. The multiphase discrete random medium model that is built by the modeling algorithm presented in this paper not only describes the statistical characteristics of spatial random distribution of asphalt concrete, but also describe the volume fractions of its composition when compare with homogeneous model and continuous random medium model. For multiphase discrete random medium model and continuous random medium model, ground penetrating radar wave has strong scattering phenomenon. Random and disorderly scattering waves overlie and interfere with each other, which resulting random perturbations and noise in received waves. The reflected waves from anomalous body are with distortion and discontinuity and reduce the signal to noise ratio and resolution of ground penetrating radar data. When multiphase discrete random medium model and continuous random medium model have the same given model parameters, ground penetrating radar waves have stronger scattering in continuous random medium model.The study reveals that the multiphase discrete random medium model can describe asphalt concrete more comprehensive and precise than homogeneous medium model and continuous random medium model. The multiphase discrete random medium model also provides a new way for studying similar media or materials. The radar profile is more consistent with the field measured data, and more conducive to guide the interpretation of the ground penetrating radar profile data. In the future, we will construct some multiphase discrete random medium models with different porosity parameters to study its effective permittivity and wave field features through numerical simulations, and explore the relations between the permittivity and wave field for quantitative interpretation of porosities of asphalt concrete for ground penetrating radar.

Random medium; Multiphase discrete; Model parameters; Reconstruction; Wave field characteristics

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A170005)，河南工程學(xué)院博士基金(D2014008)與河南省科技重點(diǎn)攻關(guān)項(xiàng)目(112102310648)聯(lián)合資助.

郭士禮，男，1982年生，博士，講師，2013年7月博士畢業(yè)于中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)地球物理與空間信息學(xué)院，現(xiàn)任教于河南工程學(xué)院資源與環(huán)境學(xué)院，主要從事探地雷達(dá)理論與應(yīng)用方面的教學(xué)與研究工作.E-mail：guo_ccnu@qq.com

*通訊作者李修忠，男，1964年生，博士，教授，主要從事工程質(zhì)量無損檢測理論與方法研究.E-mail：hhxylxz@163.com

10.6038/cjg20150813.

10.6038/cjg20150813

P631

2014-12-02，2015-06-28收修定稿

郭士禮， 冀孟恩， 朱培民等. 2015. 多相離散隨機(jī)介質(zhì)模型及其探地雷達(dá)波場特征研究.地球物理學(xué)報(bào)，58(8):2779-2791,

Guo S L, Ji M E, Zhu P M, et al. 2015. Study on multiphase discrete random medium model and its GPR wave field characteristics.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(8):2779-2791,doi:10.6038/cjg20150813.