肖　強，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

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肖強，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

[摘要]研究了h時標(biāo)上包含有限分布時滯的基于吸引/排斥函數(shù)的群聚模型.基于Lyapunov穩(wěn)定性方法和時標(biāo)理論，研究了集群的穩(wěn)定性，證明了所有個體在有限時間會聚集到一個有限區(qū)域.最后，給出了一些模擬結(jié)果來驗證結(jié)果的有效性.

[關(guān)鍵詞]集群；時滯；聚集行為；h時標(biāo)

0引言

近年來，有益于協(xié)作群聚行為和多個體集群行為的研究成為了一個熱點[1-4].研究中基本的問題是如何根據(jù)個體之間的相互作用來建模和分析集群行為，很久以來生物學(xué)家們致力于理解和建立群聚模型[5-6].普遍的理解是集群行為是基于個體間長距離相互吸引和短距離相互排斥相互作用的結(jié)果[1].Gazi等研究了個體一階連續(xù)運動模型[7]，證明了所有個體在有限時間內(nèi)會形成一個群聚體，并給出了群聚體一個顯式的界.他們用的一般方法是將個體看做一個粒子并通過相互作用來研究集群行為[8].然而，由于個體間的交流存在時間延遲，使得系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為，如發(fā)散性和穩(wěn)定性等，因此將分布時滯考慮到模型中是很重要的.文獻(xiàn)[9]考慮了基于同步分布控制方法的離散一維和二維群聚結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[10]提出了在合適的環(huán)境中帶有交流時滯的群聚模型，并且得到了穩(wěn)定性結(jié)果.文獻(xiàn)[11]描述了自治飛行器的編隊控制策略.

群體中過去的行為對現(xiàn)在有著很大的影響，而且這種影響因其復(fù)雜性難以刻畫，在一段時間內(nèi)成為研究中一個難點.分布時滯能很好地刻畫和量化這些時滯本質(zhì)的影響，分布時滯不僅影響著群體最終群聚半徑范圍的大小，而且決定著群聚形成的時間.本文介紹了時標(biāo)上時滯群聚模型，分析了合適條件下集群行為和群聚的動力學(xué)性質(zhì)，并給出了群聚模型的一些模擬結(jié)果.

1預(yù)備知識

本節(jié)中，給出一些關(guān)于時標(biāo)的基本概念和一些引理，它們均可以在文獻(xiàn)[12]中找到.

定義1[12]令f:T→R,t∈Tk，則滿足以下條件的fΔ，即對任意ε>0，存在t的鄰域U，有：,?s∈U,則稱它為f在t處的Δ-導(dǎo)數(shù).若fΔ(t)在所有t∈Tk均存在，則稱f是Δ-可微的.

引理1[12]對任意給定的時標(biāo)T和函數(shù)f(t)，若f∈Crd且t∈Tk，則(t).

引理2[12]對任意給定的時標(biāo)T和函數(shù)p(t)，若p(t)∈R，那么ep(t,t0)是以下初值問題的唯一解：yΔ=p(t)y,y(t0)=1,t∈T,其中：T.

引理3[12]對任意給定的時標(biāo)T，若函數(shù)y(t),f(t)∈Crd且p(t)∈R+.則對于所有的t∈T，yΔ(t)≤p(t)y(t)+f(t)，蘊含著y(t)T.

2群聚模型

本節(jié)中考慮的是n維歐式空間中M個個體組成的群體，每個個體抽象成一個點.個體的運動是由以下在時標(biāo)上帶有有限分布時滯的微分方程控制：

(1)

3主要結(jié)論

假設(shè)1核函數(shù)滿足：kij(t)=kji(t),?t∈[0,hq0],?i,j=1,2,…,M.

注2核函數(shù)實際上是一個權(quán)重函數(shù)，過去不同的時間與不同的位置對現(xiàn)在時刻有著不同的影響，核函數(shù)量化著這些影響.許多函數(shù)都可以成為核函數(shù)，例如k12(t)=e-t,k23(t)=1/t等.

為研究時滯群聚模型的穩(wěn)定性，使用了文獻(xiàn)[9]提供的穩(wěn)定性概念.

(2)

4數(shù)值模擬

[參考文獻(xiàn)]

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(責(zé)任編輯馬建華英文審校黃振坤)

(School of Science,Jimei University,Xiamen 361021,China)

Abstract:In this paper,a swarm model based on attraction/repulsion functions with finite-distributed delays onhtime scale was investigated.The stability of the swarm based on Lyapunov stability method and theory of time scales was studied.It was shown that all the members of the swarm will eventually gather into a bounded region in finite time.In the end,simulation results were presented to illustrate the effectiveness of our results.

Key words:swarm;time delays;collective behavior;htime scale

[中圖分類號]O 193

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1007-7405(2015)06-0470-05

[作者簡介]肖強(1989—)，男，碩士生，從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面研究.通信作者：黃振坤(1977—)，男，教授，碩導(dǎo)，從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方向研究,E-mail:hzk974226@jmu.edu.cn.

[基金項目]國家自然科學(xué)基金資助項目(61573005，11361010)；福建省自然科學(xué)基金資助項目(2012J06001)

[收稿日期]2015-01-16[修回日期]2015-03-20