葛懂林，付東翔，朱衛(wèi)云

(上海理工大學(xué) 光電工程與計(jì)算機(jī)學(xué)院，上海 200093)

變風(fēng)空調(diào)(Variable Air Volume，VAV)系統(tǒng)因具有節(jié)能、靈活、舒適，改擴(kuò)建方便以及噪聲低等優(yōu)點(diǎn)，在如今的民用領(lǐng)域和工業(yè)生產(chǎn)中得到廣泛關(guān)注，成為國(guó)內(nèi)外大中型中央空調(diào)發(fā)展的主流［1］。雖然變風(fēng)量空調(diào)具有上述優(yōu)點(diǎn)，但其本身具有的多變量，強(qiáng)耦合和時(shí)滯等特性，給變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行帶來(lái)了困難。當(dāng)多個(gè)回路同時(shí)工作，回路間的相互耦合以及干擾導(dǎo)致變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)不容易穩(wěn)定。因此，消除或弱化變風(fēng)量空調(diào)間的相互耦合變得具有實(shí)際意義。采用常規(guī)方法，例如對(duì)角線解耦，對(duì)變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)進(jìn)行解耦控制，雖取得了一定的控制效果［2］，但由于變風(fēng)空調(diào)的多變量特性，使得解耦方法過(guò)于頻繁，計(jì)算量加大。隨著過(guò)程控制系統(tǒng)日益復(fù)雜和多變，耦合現(xiàn)象也越發(fā)頻繁，所以對(duì)于多變量解耦的可實(shí)現(xiàn)性要求越來(lái)越高，既要滿足變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，也要使得解耦方法盡量簡(jiǎn)化。

常規(guī)的解耦控制方法分為靜態(tài)解耦方法、動(dòng)態(tài)解耦方法、解耦控制器等［3－4］。雖這類(lèi)方法有著這各自的優(yōu)點(diǎn)，但由于變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)的復(fù)雜多變，解耦效果并不讓人滿意。文中基于靜態(tài)解耦的思路，采用一種改進(jìn)的方法，修正解耦控制器，使得對(duì)于存在擾動(dòng)的變風(fēng)空調(diào)解耦后具有更強(qiáng)的魯棒性。首先通過(guò)變風(fēng)量空調(diào)的機(jī)理，建立空調(diào)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;然后通過(guò)解耦器的設(shè)計(jì)方法對(duì)空調(diào)系統(tǒng)(MIMO)進(jìn)行解耦，成為沒(méi)有耦合或耦合較弱的單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)［5－6］;最后對(duì)解耦后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)PID 控制器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證該方法的可行性。

1 變風(fēng)量空調(diào)的分析與數(shù)學(xué)模型

為了更好地對(duì)變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)進(jìn)行控制，首先分析變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)參數(shù)間的耦合關(guān)系。

(1)對(duì)于變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)，房間溫度不僅受到送風(fēng)量的影響，同時(shí)也受到送風(fēng)溫度的影響［7］。(2)同樣，送風(fēng)溫度不僅受到冷凍水流量的影響，同時(shí)受到送風(fēng)量的影響。(3)空調(diào)管道中的靜壓不僅僅受到風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速的影響，同樣受到送風(fēng)量的影響。

因此，完整的變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)包括了3 個(gè)控制回路:房間送風(fēng)量——房間室溫控制回路;冷凍水流量——送風(fēng)溫度控制回路;風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速——靜壓控制回路。且這3 個(gè)控制回路間存在著耦合干擾，如圖1 所示。

圖1 變風(fēng)空調(diào)耦合模型

變風(fēng)量空調(diào)的輸入量為:房間送風(fēng)量u1，冷凍水流量u2以及風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速u(mài)3;則輸入向量U=［u1u2u3］T。

變風(fēng)量空調(diào)的輸出量為:房間溫度y1，送風(fēng)溫度y2以及靜壓點(diǎn)靜壓y3;則輸出向量為Y=［y1y2y3］T。

所組成的傳遞函數(shù)矩陣為

1.1 房間溫度控制回路

根據(jù)空調(diào)區(qū)域的熱平衡方程［8］，得到

其中，C1是房間的熱容，單位kJ/℃;c 是空氣比熱容，單位kJ/(kg℃);ρ 是空氣密度，單位kg/m3;G 是房間送風(fēng)量，單位m3/s;Q 是空調(diào)房間熱負(fù)荷，單位kW;tr和ts是室內(nèi)溫度和送風(fēng)溫度，單位℃，對(duì)上式在其工作點(diǎn)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略二階以上的項(xiàng)，進(jìn)行線性化處理，得到

對(duì)式(3)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

在設(shè)定工況下，其中房間溫度設(shè)定值tr0=26 ℃;送風(fēng)溫度設(shè)定值ts0=16 ℃;房間送風(fēng)量設(shè)定值G0=0.6 m3/s;

1.2 送風(fēng)溫度控制回路

根據(jù)表冷器能量轉(zhuǎn)換平衡方程［9］，得到

其中，Mh是表冷器的質(zhì)量;Ch，Ca，Cw分別為表冷器，空氣和水的比熱容;Ga和Gw分別為空氣的流量和冷凍水的流量;θa.in和θa.out分別為空氣的進(jìn)口溫度和出口溫度;θw.in和θw.out分別為冷凍水的進(jìn)口溫度和出口溫度;Ga.f是新風(fēng)流量;θa.f和θa.b為新風(fēng)溫度和回風(fēng)溫度。

假設(shè)表冷器溫度θh=θa.out，對(duì)上式在其工作點(diǎn)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略二階以上的項(xiàng)，進(jìn)行線性化處理，得到

對(duì)式(5)進(jìn)行拉普拉斯變換，得

在設(shè)計(jì)工況下，其中送風(fēng)溫度設(shè)定值θa.out0=16 ℃;冷凍水進(jìn)口溫度設(shè)定值θw，in0=7 ℃;冷凍水出口溫度設(shè)定值θw.out0=7 ℃;空氣流量設(shè)定值Ga0=14 m3/s;冷凍水流量設(shè)定值Gw0=0.03 m3/s。求得:

時(shí)間常數(shù)T=MhCh/Ga0Ca=36 s;冷凍水流量調(diào)節(jié)增益系數(shù)送風(fēng)量調(diào)節(jié)增益系數(shù)

1.3 風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制回路

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，得到風(fēng)機(jī)壓頭和風(fēng)機(jī)風(fēng)量以及風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系式

其中，P 是風(fēng)機(jī)壓頭;Q 是風(fēng)機(jī)風(fēng)量;N 是風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速;P0是風(fēng)機(jī)設(shè)計(jì)壓頭;Q0是風(fēng)機(jī)設(shè)計(jì)風(fēng)量;n0是風(fēng)機(jī)額定轉(zhuǎn)速。

對(duì)式(9)在其工作點(diǎn)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略二階以上的項(xiàng)，進(jìn)行線性化處理，得到

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到

在設(shè)計(jì)工況下，其中靜壓點(diǎn)靜壓設(shè)定值P0=2 523 Pa;風(fēng)機(jī)風(fēng)量設(shè)定值Q0=15.3 m3/s;風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)定值n0=1 367 rpm。求得風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)增益系數(shù)b1=4.96;風(fēng)機(jī)流量調(diào)節(jié)增益系數(shù)b2=－123.5。

綜上，求得變風(fēng)量空調(diào)的傳遞函數(shù)矩陣G11=－16.7/(528s+1)+2.58/［(528s+1)(36s+1)］=［2.58－16.7(36s+1)］/［(528s+1)(36s+1)］;G12=－1238/［(528s+1)(36s+1)］;G13=0;G21=2.58/(36s+1);G22= －1238/(36s +1);G31=－123.5;G32=0;G33=4.96。

對(duì)于空調(diào)區(qū)域熱量傳遞的時(shí)滯項(xiàng)τ 的測(cè)定，國(guó)內(nèi)外做了大量的測(cè)定工作。文中這里引用［11］的測(cè)定結(jié)果，得到傳遞函數(shù)中的時(shí)滯項(xiàng)τ 與時(shí)間常數(shù)T 的關(guān)系為

所以得到的傳遞函數(shù)

2 變風(fēng)量空調(diào)的解耦控制

考慮如圖2 所示的變風(fēng)空調(diào)控制系統(tǒng)。

圖2 變風(fēng)空調(diào)控制系統(tǒng)

圖中，G 是過(guò)程傳遞函數(shù)矩陣，表示變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng);D 是解耦控制器傳遞函數(shù)矩陣;C 是控制器的對(duì)角傳遞函數(shù)矩陣，其對(duì)角元素為SISO 系統(tǒng)PID 控制器傳遞函數(shù)。

加入解耦器控制D 后，使得傳遞函數(shù)GD 對(duì)角化，實(shí)現(xiàn)解耦。所以，如何求解解耦器D 的矩陣表達(dá)式成為關(guān)鍵。

文中給出一種改進(jìn)的解耦控制器D 的選擇策略，使得解耦控制器滿足變風(fēng)量空調(diào)解耦的設(shè)計(jì)目的，同時(shí)盡量滿足解耦后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

理論依據(jù)

矩陣G 的伴隨矩陣，記作adj(G)，可以得到

其中，Gji是G 的代數(shù)余子式。根據(jù)

使得系統(tǒng)GD 為對(duì)角矩陣的所有矩陣D 可分解為G的伴隨矩陣和矩陣K 的乘積。得到

令K=I，D=adj(G)。從式(14)中，可得到解耦器矩陣列項(xiàng)中的公共因子可通過(guò)對(duì)K 相應(yīng)對(duì)角元素的逆項(xiàng)來(lái)消除。因D=adj(G)×K 是最終可行的，所以對(duì)K 中包含不可執(zhí)行元素，例如反向延遲，也是可行的。所以文中通過(guò)對(duì)K 相應(yīng)對(duì)角元素乘以時(shí)間延遲的逆項(xiàng)，消除解耦器列中的最小延遲。

同樣，可通過(guò)K 消去解耦器列的零極點(diǎn)，為避免極點(diǎn)的消除帶來(lái)的高頻特性，有時(shí)需要額外給K 加一個(gè)低通濾波器。

最后為避免系統(tǒng)獲得過(guò)大的增益以及便于后續(xù)的PID 控制器設(shè)計(jì)，對(duì)解耦器矩陣乘以det－1［G(0)］。

對(duì)于上述分析的變風(fēng)量空調(diào)模型

采用上述方法進(jìn)行解耦設(shè)計(jì)，根據(jù)式(15)，可得

根據(jù)上述步驟，對(duì)K 的相應(yīng)對(duì)角元素乘以時(shí)間延遲的逆消去解耦器列的最大公共延遲，同時(shí)K 的相應(yīng)對(duì)角元素乘以包含零極點(diǎn)項(xiàng)的逆消去解耦器列的公共項(xiàng)。修正得到

最后對(duì)解耦器乘以det－1［G(0)］，得到

3 仿真實(shí)驗(yàn)

對(duì)于文中上述變風(fēng)空調(diào)數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)G，采用Matlab 中的Simulink 模塊進(jìn)行仿真。為表現(xiàn)變風(fēng)空調(diào)中耦合的存在和干擾性。文中在房間溫度回路控制中加入了幅值為－1 ～+1 的隨機(jī)干擾，采樣時(shí)間間隔為500 s。

首先對(duì)空調(diào)模型傳遞函數(shù)G 不進(jìn)行解耦，直接進(jìn)行PID 控制，在設(shè)定房間溫度為26 ℃，送風(fēng)溫度為16 ℃，風(fēng)機(jī)靜壓差值為Δ30 Pa 的情況下，仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)的PID 控制

圖3 中，未解耦的變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)，雖然只在房間溫度控制回路上加入了隨機(jī)干擾，但由于系統(tǒng)耦合的存在，送風(fēng)溫度控制回路以及風(fēng)機(jī)靜壓控制回路同樣受到擾動(dòng)的影響。雖然PID 控制器進(jìn)一步弱化了其影響效果，但并未消除干擾和耦合的存在。

對(duì)于上述變風(fēng)空調(diào)模型傳遞函數(shù)，采用文中給出的方法以及求得到的解耦控制器D，在同樣的條件下進(jìn)行仿真，得到仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 變風(fēng)空調(diào)的改進(jìn)對(duì)角線解耦

圖4 中，采用了解耦控制器進(jìn)行解耦后，對(duì)系統(tǒng)的輸出跟蹤較圖3 有更好的動(dòng)態(tài)性能以及魯棒性。同時(shí)房間溫度控制回路中的隨機(jī)干擾對(duì)送風(fēng)溫度控制回路以及風(fēng)機(jī)靜壓控制回路的干擾情況基本不存在。仿真結(jié)果表明，變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)中的耦合已被消除。

對(duì)上述系統(tǒng)，文中采用傳統(tǒng)的簡(jiǎn)化解耦進(jìn)行解耦控制，求得簡(jiǎn)化解耦控制器矩陣為

在同樣的條件下進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖5 所示。

圖5 變風(fēng)空調(diào)的簡(jiǎn)化解耦

圖5 中，雖然簡(jiǎn)化解耦同樣消除了房間溫度控制回路中隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)送風(fēng)溫度控制回路和風(fēng)機(jī)靜壓控制回路的干擾和耦合，但其解耦后控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能卻不如圖4 采用的改進(jìn)的對(duì)角線解耦方法。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中基于對(duì)變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)機(jī)理的分析建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)變風(fēng)空調(diào)中存在的耦合，采用的一種改進(jìn)對(duì)角線解耦方法，使得解耦的控制系統(tǒng)具有更好的動(dòng)態(tài)性能，并對(duì)建立數(shù)學(xué)模型的變風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。同時(shí)與未解耦的系統(tǒng)和采用簡(jiǎn)化解耦的系統(tǒng)分別進(jìn)行了比較，仿真結(jié)果說(shuō)明該方法的可行性以及有效性。

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