王建梅,苗克軍,徐俊良,李璞

?

非均勻載荷下厚壁圓筒穩(wěn)態(tài)蠕變應力的計算

王建梅,苗克軍,徐俊良,李璞

厚壁圓筒是工程中的重要結構,廣泛應用于化工、核電、軍工、冶金等領域[1],長期在高溫(0.3Tm以上,Tm為熔點)和復雜載荷下工作時需要考慮蠕變過程[2]。關于在均勻載荷下穩(wěn)態(tài)蠕變應力的求解問題,Naumenko等分析了蠕變對厚壁圓筒平面應力的影響[3],Boyle基于von Mises屈服準則,得到了厚壁圓筒的等效應力解析解[4]。然而,在工程中經常遇到的是非均勻載荷的情況[5]。關于厚壁圓筒在非均勻載荷下的彈性問題的應力求解,吳慶良等采用復變函數(shù)法計算了外表面承受非均勻載荷作用時厚壁圓筒的平面應力[6],鄭俊德等利用應力函數(shù)法獲得了厚壁圓筒的應力解析解[7]。上述研究雖然給出了一些厚壁圓筒平面應力的解析求解方法,但均未考慮在蠕變條件下受非均勻載荷厚壁圓筒的應力求解問題,且國內尚無相關文獻介紹這方面的研究。

本文以厚壁圓筒為研究對象,利用多維應力下穩(wěn)態(tài)蠕變的基礎理論與厚壁圓筒平面應力的計算方法,推導出一類在外邊界固定、內邊界受非均勻載荷情況下的穩(wěn)態(tài)蠕變應力計算公式,提出了一種多維應力蠕變的計算方法,應用所得公式分析了工程中油膜軸承襯套的蠕變應力,并以蠕變試驗為基礎,模擬了襯套的蠕變過程。

1 理論計算

1.1 算法推導

為計算承受非均勻內壓的厚壁圓筒的穩(wěn)態(tài)蠕變應力,本文主要考慮第二階段的蠕變,即穩(wěn)態(tài)蠕變。在穩(wěn)態(tài)蠕變階段,不考慮溫度對蠕變應力的影響時,彈性力學中的平衡方程、協(xié)調方程、幾何方程、邊界方程等仍然適用[8]。同時,假設圓筒處于平面應力狀態(tài),即σz=0,對厚壁圓筒的中間截面進行應力分析。

設定一個內半徑為a、外半徑為b的厚壁圓筒,其外邊界(r=b)固定,內邊界(r=a)受到非均勻徑向壓力p(θ)的作用,計算模型如圖1所示。

圖1 厚壁圓筒計算模型示意圖

(1)

式中:am為與壓力相關的系數(shù);m和n為整數(shù),且m≤n。

邊界條件為

(2)

式中:ur和vθ為位移分量。

根據幾何形狀和邊界載荷選取應力函數(shù)[9]

(3)

式中:Am、Bm、Cm和Dm為未知參數(shù)。

σr、σθ和τrθ為應力分量,表達式為

(4)

將式(3)代入式(4)得

(5)

對于多維穩(wěn)態(tài)蠕變應力分析,將等效應力和等效蠕變分別定義為多維應力下的應力分量和蠕變應變分量,以諾頓穩(wěn)態(tài)蠕變公式為基礎,得到如下穩(wěn)態(tài)蠕變的平面應力應變關系[10]

(6)

將式(5)代入式(6)得

(7)

幾何方程[9]為

(8)

將式(7)代入式(8),并對前兩項積分,得

(9)

式中:f1(θ)和f2(r)-∫f1(θ)dθ是積分常量。

將式(9)代入式(8)中的第3個式子,根據位移單值條件得

(10)

將式(10)代入式(9),并將邊界條件代入式(5)和式(9),得

(11)

式中

Am={3a2+m[-5a2mb2+3a2b2mm-3b2m+2(1+

m)]am}/{2(1+m)[15a2+4mb2+15a2b2+4m+

2a2mb2m+2(9a2+8b2)+9a2mb2m(a2-b2)2m2]}

(12)

Bm={a2+mb2[15a2+2mm-9a2b2m(-m+m2)+

b2m+2(16+9m2)]am}/{2(-m+m2)[15a2+4mb2+

15a2b2+4m+2a2mb2m+2(9a2+8b2)+

9a2mb2m(a2-b2)2m2]}

(13)

Cm={3a2+mb2m[5b2+2m+3a2mb2(1-m)+

3a2m+2m]am}/{2(-1+m)[15a2+4mb2+15a2b2+4m+

2a2mb2m+2(9a2+8b2)+9a2mb2m(a2-b2)2m2]}

(14)

Dm={a2+mb2+2m[-15a2b2mm-9a2m+2(m+

m2)+a2mb2(16+9m2)]am}/{2(m+m2)·

[15a2+4mb2+15a2b2+4m+2a2mb2m+2(9a2+

8b2)+9a2mb2m(a2-b2)2m2]}

(15)

將式(12)～式(15)代入式(5),可得非均勻內壓下厚壁圓筒的穩(wěn)態(tài)蠕變應力分量

(16)

1.2 非均勻載荷下厚壁圓筒的蠕變應力分析

當機械零部件的溫度超過材料的蠕變溫度時,均應按照蠕變設計準則來確定設計用的許用應力,本文采用第四強度理論[10-11]進行判斷。設計中應使零部件的最大工作應力滿足如下關系式

(17)

式中:[σ]c為蠕變許用應力,由不同零部件的工作要求決定。厚壁圓筒的最大蠕變應力應該滿足式(17)。

由式(16)可以看出,各應力分量由余弦函數(shù)疊加得到,考慮到每一疊加項的蠕變分布規(guī)律類似,且疊加不改變蠕變應力的分布規(guī)律,故只取其疊加項中的第一項進行分析。

考慮到上述計算模型中影響穩(wěn)態(tài)蠕變應力的主要幾何參數(shù)有厚壁圓筒的外半徑b和內半徑a以及任意一點處的半徑r,因此,設定K為厚壁圓筒外半徑與內半徑之比:K=b/a。均勻選擇厚壁圓筒的10個位置(a≤r≤b),得到其在不同K值下的蠕變應力,如圖2所示。

(a)a≤r≤(5a+3b)/8

(b)(a+b)/2≤r≤b圖2 不同K值下厚壁圓筒的蠕變應力分布

由圖2a可知,當r≤(5a+3b)/8時,半徑越小,則蠕變應力隨著K值增大呈現(xiàn)出的先增大后減小的趨勢越明顯。由圖2b可知:隨著K值增大,蠕變應力在半徑r=(a+b)/2處近似線性遞減;當r>(a+b)/2時,半徑越大,則蠕變應力隨著K值的增大而減小的速率變得越緩慢。當K值一定時,隨著半徑的增大,厚壁圓筒的蠕變應力逐漸降低,說明最大蠕變應力出現(xiàn)在內邊界上;厚壁圓筒的最大蠕變應力隨著K值的增加呈現(xiàn)出先增大后減小的規(guī)律,在K=1.58時蠕變應力最大。

2 油膜軸承襯套的蠕變應力計算

油膜軸承最薄弱的零件就是襯套中的巴氏合金,蠕變是其失效的一種形式[12]。油膜軸承襯套在工作過程中長期承受油膜壓力與高溫的作用,會產生微觀蠕變,導致對油膜軸承的潤滑性能和壽命產生不可忽略的負面影響,因此,軸承中巴氏合金的蠕變不可忽略[13]。工程中油膜軸承襯套的外邊界是固定的,內邊界承載區(qū)120°范圍內承受徑向非均勻油膜壓力的作用。選擇某工況下襯套內邊界軸向承受油膜壓力最大的中間截面,截面內周向油膜壓力可用余弦函數(shù)表示

(18)

式中:poil(θ)為油膜軸承襯套內壁所受的徑向油膜壓力,MPa;θ為與水平方向的夾角;bm為油膜壓力相關系數(shù),其值見表1。襯套內半徑為110 mm,外半徑為128 mm,K=1.16。

表1 油膜壓力相關系數(shù)

將油膜軸承襯套的相關參數(shù)代入式(16)與式(17)中,得到其承載區(qū)的蠕變應力分布,如圖3所示。

圖3 油膜軸承襯套的蠕變應力分布

由圖3可知:在周向,襯套的蠕變應力隨著周向節(jié)點坐標的增加呈現(xiàn)先增大后減小的形態(tài)分布;在徑向,襯套的蠕變應力隨著半徑的增大而減小。這表明,襯套所受載荷越大的區(qū)域,蠕變應力也越大。

3 蠕變試驗

3.1 試驗過程

采用有限元分析軟件ANSYS求解蠕變時,所需的蠕變參數(shù)由單軸蠕變拉伸試驗確定[14]。為求得襯套內壁材料的蠕變參數(shù),針對襯套內壁材料的性能要求,在原有WDW-E100D型電子式萬能試驗機的基礎上,設計了一套滿足國家標準[15]要求的蠕變試驗設備,增加了應變測量、加熱、保溫和控溫的功能。試驗所用試件如圖4所示,試驗設備如圖5所示。選擇13 MPa-60 ℃、18 MPa-60 ℃和20 MPa-60 ℃ 3種工況進行蠕變試驗,根據蠕變試驗數(shù)據繪制3種工況下的蠕變速率曲線,如圖6所示,根據蠕變試驗結果計算的穩(wěn)態(tài)蠕變速率值見表2。

圖4 蠕變試驗試件

圖5 蠕變試驗設備

載荷/MPa131820穩(wěn)態(tài)蠕變速率/10-10s-10 9722 8134 444

圖6 蠕變速率曲線

3.2 諾頓穩(wěn)態(tài)蠕變本構方程

利用ANSYS計算穩(wěn)態(tài)蠕變的諾頓公式為

(19)

不考慮溫度變化對蠕變應力的影響,即c3=0,則式(19)變?yōu)?/p>

(20)

對式(20)兩邊取對數(shù),得

(21)

圖7 等效蠕變速率與等效蠕變應力的關系

4 有限元模擬

根據油膜軸承襯套的實際尺寸,采用ANSYS建立二維模型。為提高求解精度,應用隱式蠕變算法,選擇單元求解能力強且支持隱式蠕變算法的PLANE183單元,將諾頓蠕變系數(shù)輸入ANSYS中?？紤]襯套的實際受載情況,外邊界施加周向與徑向位移約束,內邊界承載區(qū)120°范圍內施加徑向載荷。ANSYS求解結果如圖8所示。

圖8 承載區(qū)蠕變應力云圖

由圖8可知:襯套周向的應力隨著載荷的增大而增大;在襯套承受的最小油膜壓力處,蠕變應力接近于0,表明在油膜壓力為0的地方,襯套基本不存在蠕變;在承受最大油膜壓力處,蠕變應力最大,襯套蠕變最明顯;蠕變應力隨著半徑的增大而減小,表明襯套在非承載區(qū)的蠕變不明顯。模擬結果與第2節(jié)中本文方法所得結果一致。

選定r為110、120 mm,θ為60°、90°分別對應的4個位置,采用本文方法與有限元方法對蠕變應力進行計算,結果對比如圖9所示。

(a)r=110 mm

(b)r=120 mm

(c)θ=60°

(d)θ=90°圖9 本文方法與有限元方法計算的蠕變應力對比

由圖9a和9b可知,本文方法與有限元方法計算的周向蠕變應力基本相同;由圖9c和9d可知,本文方法與有限元方法計算的徑向蠕變應力吻合較好。有限元方法較本文方法計算的結果略大,隨著半徑的增加,本文方法與有限元方法計算結果的誤差逐漸減小。本文方法與有限元方法計算結果的最大誤差在r=110 mm、θ=90°的位置,在此位置本文方法求得的蠕變應力為0.090 88 MPa,有限元方法求得的蠕變應力為0.094 43 MPa,二者的相對誤差僅為3.9%,表明本文方法能夠滿足工程的實際需求。

5 結 論

(1)本文推導出了非均勻載荷下厚壁圓筒的穩(wěn)態(tài)蠕變應力計算公式,計算了油膜軸承襯套在承受油膜壓力時的蠕變應力;提出了一種新的多維蠕變應力求解方法,可以為多維蠕變應力解析求解提供理論依據。

(2)根據蠕變試驗數(shù)據得到了諾頓穩(wěn)態(tài)蠕變本構方程,并利用所得參數(shù)模擬了襯套的蠕變應力。本文方法的計算結果與模擬結果吻合,證實了本文方法的精確性,精度符合工程實際需求。

(3)得到了不同外內徑比K下厚壁圓筒的蠕變應力及其分布,證實最大蠕變應力發(fā)生在厚壁圓筒內邊界最大受力處,厚壁圓筒的最大蠕變應力隨著壁厚的增加呈現(xiàn)出先增大后減小的規(guī)律,且當K=1.58時蠕變應力最大。這一結論可望為工程中厚壁圓筒的結構設計提供理論參考。

[1] LIANG Yaping, WANG Huizhen, REN Xingmin. Analytical solution for spatially axisymmetric problem of thick-walled cylinder subjected to different linearly varying pressures along the axis and uniform pressures at two ends [J]. Science in China: Series G Physics, Mechanics and Astronomy, 2008, 51(1): 98-104.

[2] ALTENBACH H, GORASH Y, NAUMENKO K. Steady-state creep of a pressurized thick cylinder in both the linear and the power law ranges [J]. Acta Mechanica, 2008, 195(1/2/3/4): 263-274.

[3] NAUMENKO K, ALTENBACH H, GORASH Y. Creep analysis with a stress range dependent constitutive model [J]. Archive of Applied Mechanics, 2009, 79(6/7): 619-630.

[4] BOYLE J T. The creep behavior of simple structures with a stress range-dependent constitutive model [J]. Archive of Applied Mechanics, 2012, 82(4): 495-514.

[5] WU Qingliang, Lü Aizhong, GAO Yongtao, et al. Stress analytical solution for plane problem of a double-layered thick-walled cylinder subjected to a type of non-uniform distributed pressure [J]. Journal of Central South University, 2014, 21(5): 2074-2082.

[6] 吳慶良, 呂愛鐘. 一類非均布荷載作用下厚壁圓筒平面問題的應力解析解 [J]. 工程力學, 2011, 28(6): 6-10, 18. WU Qingliang, Lü Aizhong. Stress analytical solution for plane problem of a thick-walled cylinder subjected to a type of non-uniform distributed pressures [J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(6): 6-10, 18.

[7] 鄭俊德, 張艷秋, 王文軍, 等. 非均勻載荷下套管強度的計算 [J]. 石油學報, 1998, 19(1): 119-123. ZHENG Junde, ZHANG Yanqiu, WANG Wenjun, et al. Calculation of casing strength under nonuniform loading [J]. Acta Petrolei Sinica, 1998, 19(1): 119-123.

[8] 穆霞英. 蠕變力學 [M]. 西安: 西安交通大學出版社, 1989: 60-83.

[9] 徐芝綸. 彈性力學 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 55-63.

[10]平修二. 金屬材料的高溫強度理論設計 [M]. 郭廷瑋,李安定, 徐介平, 譯. 北京: 科學出版社, 1983: 259-265.

[11]機械設計手冊編委會. 機械設計手冊: 第5卷 [M]. 3版. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2004: 31-33.

[12]SIMMONS T E, CONTARINI A, GIANNI N. 油膜軸承變形和壓力分析 [J]. 鋼鐵, 2009, 44(3): 93-96. SIMMONS T E, CONTARINI A, GIANNI N, et al. Deflection and pressure analysis of oil film bearings [J]. Iron and Steel, 2009, 44(3): 93-96.

[13]王建梅, 薛亞文, 馬立新, 等. 蠕變對巴氏合金ZChSnSb11-6力學性能和顯微組織的影響 [J]. 中國有色金屬學報, 2014, 24(10): 2513-2518. WANG Jianmei, XUE Yawen, MA Lixin, et al. Influence of creep on mechanical properties and microstructures of Babbitt alloy ZChSnSb11-6 [J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals, 2014, 24(10): 2513-2518.

[14]GLADIUS L, SHAW K M. Creep constitutive model and component lifetime estimation: the case of niobium-modified 9Cr-1Mo steel weldments [J]. Journal of Materials Engineering and Performance, 2011, 20(7): 1310-1314.

[15]中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會. GB/T 2039—2012 金屬材料單軸拉伸蠕變試驗方法 [S]. 北京: 中國標準出版社, 2012.

(編輯 葛趙青)

(太原科技大學教育部重型機械工程技術研究中心,030024,太原)

根據多維應力下穩(wěn)態(tài)蠕變的基礎理論,采用應力函數(shù)法推導出一類外邊界固定、內邊界受非均勻載荷的厚壁圓筒穩(wěn)態(tài)蠕變應力計算公式;分析了不同外內徑比K下厚壁圓筒的蠕變應力和應力分布情況,證實最大蠕變應力發(fā)生在厚壁圓筒內邊界最大受力處,厚壁圓筒的最大蠕變應力隨著壁厚的增加呈現(xiàn)出先增加后減小的規(guī)律,且當K=1.58時蠕變應力最大。應用所得計算公式,針對工程中油膜軸承襯套因承受油膜壓力而發(fā)生的蠕變問題進行了蠕變應力解析求解。通過蠕變拉伸試驗,得到了襯套內壁材料的諾頓穩(wěn)態(tài)蠕變本構方程,并根據蠕變系數(shù),利用有限元分析軟件ANSYS計算了襯套的蠕變應力。最后,比較了上述2種方法得到的蠕變應力,表明文中給出的計算方法與有限元方法所得結果吻合,驗證了該解析算法的正確性,從而可以為厚壁圓筒的結構設計和多維蠕變應力解析求解提供理論依據。

厚壁圓筒;穩(wěn)態(tài)蠕變應力;非均勻載荷;蠕變試驗;諾頓本構方程;有限元;油膜軸承襯套

Steady-State Creep Stress Calculation of Thick-Walled Cylinder under Non-Uniform Load

WANG Jianmei,MIAO Kejun,XU Junliang,LI Pu

(Heavy Machinery Engineering Research Center of Ministry of Education, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

Based on the basic theory of steady-state creep under multi-dimensional stress state, a steady-state creep stress calculation formula of thick-walled cylinder with fixed outer boundary was derived by the stress-function method under non-uniform internal pressure. The creep stress and stress distribution of several kinds of thick-walled cylinder were analyzed, which showed that the maximal creep stress occurred in the area with the largest stress on the inner boundary of the thick-walled cylinders, increased first and then decreased with the wall thickness, and the largest creep stress was produced when the ratio of outer diameter to internal diameter is 1.58. According to the formula, the steady-state creep stress of oil-film bearing bushing subject to a non-uniform oil-film pressure was analyzed, and the creep process was simulated by using the finite element software in ANSYS, where the creep parameters were obtained based on creep tensile test. Calculation results of the above two methods were analyzed, and the results obtained by the proposed method were coincident well with those by finite element method. This research may provide a theoretical guidance for the structural design of thick-walled cylinders and the analytical calculation of multi-dimensional creep stress.

thick-walled cylinder; steady-state creep stress; non-uniform load; creep test; Norton constitutive equation; finite element method; oil-film bearing bushing

2015-01-14。 作者簡介:王建梅(1972—),女,教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51205269);山西省自然科學基金資助項目(2012011018-2);山西省回國留學人員科研資助項目(2013-093)。

時間:2015-06-17

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150617.0902.001.html

10.7652/xjtuxb201509002

TH123

A

0253-987X(2015)09-0008-06