董烈乾， 李培明， 張奎， 汪長輝， 祝楊， 王澤

中國石油集團東方地球物理公司國際勘探事業(yè)部， 河北涿州 072751

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基于復(fù)曲波變換的一次波和多次波分離方法

董烈乾， 李培明， 張奎， 汪長輝， 祝楊， 王澤

中國石油集團東方地球物理公司國際勘探事業(yè)部， 河北涿州 072751

多次波壓制方法的研究一直都是地震數(shù)據(jù)處理中非常重要的一個課題.由于常用的多次波匹配方法主要針對多次波模型和實際多次波存在的振幅或相位的差異進行匹配校正，而無法直接校正多次波模型和實際多次波存在時移誤差.本文構(gòu)建了一種復(fù)曲波變換的算法，利用復(fù)曲波變換的時移不變性質(zhì)，通過調(diào)整復(fù)曲波系數(shù)的振幅和相位實現(xiàn)對多次波模型振幅和時移誤差的校正.為了更好地保護有效信號，在一次波和多次波分離前，引入一個非線性屏蔽濾波器，可以事先分離出大部分有效波，然后再將剩余部分數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，在復(fù)曲波域進行剩余一次波和多次波分離.最后通過模型試算和實際資料處理驗證了本文提出的一次波和多次波分離方法的有效性.

多次波壓制； 復(fù)曲波變換； 時移誤差； 屏蔽濾波器

1 引言

由于經(jīng)過SRME多維褶積得到的多次波模型在振幅、時間等動力學特征上與實際多次波存在差異(Verschuur D J, 1992)，因此需要對存在的差異性進行匹配或校正后，才能夠使多次波模型與實際多次波進行直接相減或分離，從而達到消除多次波的目的.目前常用的匹配相減或一次波和多次波分離的方法主要包括：基于誤差能量最小的濾波方法(Wang, 2003; 李學聰, 2010; 李振春, 2011; 董烈乾, 2013a)；基于獨立變量分析(陸文凱, 2004)和聚束濾波的方法(胡天躍, 2002)；基于曲波域的一次波和多次波分離方法(Herrman et al., 2008a；2008b)；模式匹配濾波方法(Spitz S, 1999)；預(yù)測誤差濾波方法(Guitton, 2003; Fomel, 2009; 董烈乾, 2013b)等.基于模式識別匹配濾波方法和預(yù)測誤差濾波方法可以對預(yù)測的多次波模型進行較好匹配，而且容忍度也比較好，但前提是多次波同相軸具有線性和可預(yù)測性，而且當一次波和多次波重疊時，匹配效果不佳；基于誤差能量最小的濾波方法是在時間域或頻率域設(shè)計一個維納濾波器，對多次波模型振幅和相位進行校正；基于獨立分量的方法在一次波和多次波非正交情況下，也可以取得不錯的效果；基于實曲波變換的一次波和多次波分離方法則是根據(jù)一次波和多次波在曲波域被稀疏分解到不同的尺度和方向上，通過一種非線性最優(yōu)化的方法將一次波從原始數(shù)據(jù)中恢復(fù)出來.但上述方法都是針對一次波和多次波模型存在的振幅或相位的差異進行匹配校正，但對于存在時移誤差的情況，上述方法獲得的一次波效果不佳.因此本文構(gòu)建了復(fù)曲波變換的算法，利用復(fù)曲波變換的時移振幅不變和改變復(fù)曲波系數(shù)相位可以改變同相軸相對位置的性質(zhì)設(shè)計了基于復(fù)曲波變換的一次波和多次波分離方法.

2 復(fù)曲波變換的構(gòu)建

對于m維地震數(shù)據(jù)，實曲波變換(RCT)可以表示為

(1)

其中，x1,…,xm表示m維的地震數(shù)據(jù)，表示尺度，R(x1,…,xm)表示實曲波變換函數(shù)表示實曲波系數(shù).

復(fù)曲波變換(CCT)算法和實曲波算法近似相同(Neelamanietal., 2010).首先構(gòu)造信號的實曲波函數(shù)，一對具有相同傾角、位置和頻率，但相互之間存在90°相移的實曲波函數(shù)構(gòu)成了復(fù)曲波函數(shù)的實部和虛部，如圖1所示.則根據(jù)式(1)，m維地震數(shù)據(jù)的復(fù)曲波變換可以表示為：

(2)

圖1 組成復(fù)曲波函數(shù)的兩個存在90°相移的實曲波函數(shù)Fig.1 Two real Curvelet functions with 90° phase shift that compose complex Curvelet function

其中，C(x1,…,xm)表示復(fù)曲波變換函數(shù)表示復(fù)曲波系數(shù).復(fù)曲波變換函數(shù)C(x1,…,xm)的實部和虛部是由兩個不同實曲波函數(shù)R(x1,…,xm)構(gòu)成.

3 復(fù)曲波變換的性質(zhì)

通過復(fù)曲波變換的構(gòu)建過程看出，復(fù)曲波變換和實曲波變換同樣具有信噪分離的特性.但更為重要的一點是，復(fù)曲波變換的特殊構(gòu)造克服了實曲波變換時移敏感性的缺陷.圖2是對一水平同相軸進行實曲波變換和復(fù)曲波變換的示意圖.圖2a為位置在64點的一水平同相軸，2b為向下時移3個位置點(即位置在67)的同相軸，2c和2d分別為2a和2b所對應(yīng)的實曲波變換系數(shù)，可以看出，曲波系數(shù)發(fā)生了很大的變化(中間部分橫線顏色的深淺表示曲波系數(shù)的大小)，2e和2f分別為2a和2b所對應(yīng)的復(fù)曲波變換系數(shù)，可以看出，曲波系數(shù)基本沒有什么變化.圖3a是對圖2a水平同相軸上下時移后，同一尺度、方向和位置的實曲波系數(shù)和復(fù)曲波系數(shù)隨時移誤差的變化.實線為復(fù)曲波系數(shù)隨時移誤差的變化曲線，下三角虛線和虛線分別表示的是實曲波系數(shù)和具有相同傾角、位置但存在90°相移的實曲波系數(shù)隨時移誤差的變化曲線.可以看出即使很小的時間移動，實曲波系數(shù)也會發(fā)生很大的變化，而復(fù)曲波系數(shù)基本保持一致.圖3b為地震數(shù)據(jù)復(fù)曲波系數(shù)的相位隨時移誤差的變化曲線，該曲線近似是線性的，可以利用這種特性，改變相位可以對同相軸進行相應(yīng)的時移.

圖2 實曲波變換和復(fù)曲波變換時移敏感性對比圖(a) 原始圖形； (b) 下移3個位置點后的圖形； (c) 圖形(a)對應(yīng)的RCT系數(shù)； (d) 圖形(b)對應(yīng)的RCT系數(shù)； (e)圖形(a)對應(yīng)的CCT系數(shù)； (f) 圖形(b)對應(yīng)的CCT系數(shù).Fig.2 Time shift sensitivity contrast of RCT and CCT(a) Original data; (b) Data after 3 points downward shift; (c) RCT coefficient of figure (a); (d) RCT coefficient of figure (b); (e) CCT coefficient of figure (a); (f) CCT coefficient of figure (b).

圖3 實曲波變換和復(fù)曲波變換誤差分析(a) 實曲波變換和復(fù)曲波變換系數(shù)隨時移誤差的變化曲線; (b) 復(fù)曲波變換相位隨時移誤差的變化曲線.Fig.3 Error analysis of RCT and CCT(a) Variance curves of RCT′s and CCT′s coefficient with time shift error; (b) Variance curve of CCT′s phase with time shift error

復(fù)曲波變換實部和虛部90°的相移關(guān)系，類似于傅里葉基函數(shù)(exp(-jωt))的實部和虛部(cos(ωt)和sin(ωt))(Ramesh, 2010).傅里葉變化算法中，對某一信號進行Δt時移，這不會對信號的振幅產(chǎn)生任何影響，但相位會變化ωΔt.因此，假如保持信號振幅不變，相位變化ωΔt，則信號在時間域會有Δt的時移.和傅里葉變換理論類似，反射同相軸沿垂直于傾角方向小的時移會引起該反射同相軸所對應(yīng)的復(fù)曲波系數(shù)相位發(fā)生變化，改變復(fù)曲波系數(shù)的相位同樣也會使反射同相軸發(fā)生相應(yīng)的時移.精確來說，如果復(fù)曲波系數(shù)相位改變ε，則該系數(shù)所表征的反射軸會沿振蕩的方向產(chǎn)生ε/ω的時移量，ω是C(x1,…,xm)的中心頻率.圖4為復(fù)曲波系數(shù)相位改變與地震數(shù)據(jù)相對應(yīng)的復(fù)曲波函數(shù)之間的變化關(guān)系.可以看出，隨著相位的變化，與之相對應(yīng)的地震反射沿著垂直于傾角方向相應(yīng)的移動.

圖4 改變復(fù)曲波系數(shù)相位與地震數(shù)據(jù)相對應(yīng)的復(fù)曲波函數(shù)的變化關(guān)系(a) π/2; (b) π/4; (c) 0; (d) -π/4; (e) -π/2.Fig.4 Relationship between CCT coefficient phase and corresponding CCT function

4 基于復(fù)曲波變換的一次波和多次波分離算法

在經(jīng)過全局的振幅匹配校正后，令原始數(shù)據(jù)和模型數(shù)據(jù)復(fù)曲波系數(shù)相減后剩余誤差最小化：

(3)

).

(4)

以多次波模型為輸入模型數(shù)據(jù)為例，則基于復(fù)曲波變換的一次波和多次波分離步驟為：

2) 在給定的{γ,min,γ,max}和{θ,min,θ,max}范圍內(nèi)，最小化式(3)，通過解析法求解最優(yōu)的和即令一未知變量γ已知，求出θ，然后再根據(jù)求解的θ，求解γ；

為更有效的保護有效信號，本文引入了一種非線性屏蔽濾波器φ，該屏蔽濾波器可以事先分離出大部分有效信號，其表達式如下：

(5)

其中，Am,表示預(yù)測多次波模型的振幅，Ao表示原始輸入數(shù)據(jù)的振幅，ε表示加權(quán)因子，n表示控制濾波器平滑程度的參數(shù).該濾波器可以將原始輸入數(shù)據(jù)分為兩部分：包含部分一次波能量的多次波能量φp和完全只包含一次波能量的(1-φ)p.在實際處理時，只是選取φp進行處理，最后將分離的一次波和(1-φ)p相加即得到最終多次波壓制的結(jié)果，該策略可以更好的保持有效波的能量.

5 模型和實際資料試算

首先選取洼陷模型正演產(chǎn)生的炮記錄.圖5a為原始單炮記錄，圖5b為預(yù)測得到的多次波模型.應(yīng)用屏蔽濾波器首先保存大部分一次波能量，如圖5c所示.再將剩余的波場作為輸入的原始波場，與多次波模型進行一次簡單的L2模的匹配相減處理，主要目的是使輸入的原始數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)在振幅量級上相匹配；再利用復(fù)曲波變換進行剩余一次波和多次波分離，本文是直接對一次波模型進行動力學校正(原始波場減去多次波模型后的波場作為模型數(shù)據(jù)輸入)；振幅校正因子的范圍選取的是從0.5到1.5，相位誤差的校正范圍為±3ms，校正分離后的剩余一次波波場如圖5d所示，將圖5c和圖5d相加，得到分離后的一次波波場，圖5f所示.與偽多道匹配方法(圖5e)相比較可以看出，基于復(fù)曲波變換的一次波分離方法能夠很好地將一次波和多次波分離，同時能夠保持一次波基本不受損害，而偽多道的方法仍存在較明顯的多次波殘余.

選取某海上二維測線數(shù)據(jù)進行試算.圖6a為選取的單炮數(shù)據(jù)，可以看出數(shù)據(jù)中廣泛發(fā)育了能量較強的多次波，嚴重地干擾了有效反射波，多次波問題突出，嚴重影響了后續(xù)成像及油氣藏預(yù)測的可靠性.利用本文設(shè)計的一次波和多次波分離方法進行處理，該測試中振幅校正因子的范圍選取的是從0到1.5，相位誤差的校正范圍為±3ms.圖6e和圖6f分別為應(yīng)用偽多道匹配方法和本文基于復(fù)曲波變換的方法得到的一次波結(jié)果對比圖.可以看出，偽多道匹配方法壓制多次波后仍存在多次波殘余，而基于復(fù)曲波變換的一次波分離方法能夠很好地將一次波和多次波分離.圖7為抽取的近偏移距剖面，可以看出本文方法可以更好地壓制中深層的多次波能量，而且可以很好地保持較微弱的有效同相軸，可以為為后續(xù)的處理提供更好的數(shù)據(jù).

6 結(jié)論

由于常規(guī)多次波匹配或分離方法僅僅是針對多次波模型和實際多次波存在的振幅或相位的差異進行校正，而對于存在時移誤差的情況，多次波匹配或分離效果不佳.本文構(gòu)建了一種復(fù)曲波變換的算法，并利用該算法的時移振幅不變和改變復(fù)曲波系數(shù)相位可以改變同相軸相對位置的性質(zhì)，設(shè)計了基于復(fù)曲波變換的一次波和多次波分離方法.該方法通過控制模型數(shù)據(jù)復(fù)曲波系數(shù)的相位對模型數(shù)據(jù)存在的時移誤差進行校正，通過調(diào)整復(fù)曲波系數(shù)的幅值實現(xiàn)對模型數(shù)據(jù)的振幅誤差的校正.為了更好的保持有效信號，在一次波和多次波進行分離前，本文引入了一個非線性屏蔽濾波器，該濾波器可以將事先保存大部分有效波能量，然后再將剩余的部分數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，在復(fù)曲波域進行剩余一次波和多次波分離.模型測試和實際資料處理驗證本文方法較常規(guī)匹配方法更具優(yōu)越性.

圖5 洼陷模型數(shù)據(jù)一次波恢復(fù)對比圖(a) 原始炮記錄; (b) 輸入的多次波模型; (c) 應(yīng)用屏蔽濾波器獲得的一次波; (d) 基于復(fù)曲波變換分離的剩余一次波; (e) 偽多道方法獲得的一次波; (f) 基于復(fù)曲波變換最終獲得的一次波.Fig.5 Contrast diagrams of primary recovery of sunken model data(a) Original shot gather; (b) Multiple model; (c) Preserved primary; (d) Residual primary obtained by CCT-based separation method; (e) Primary obtained by pseudo multi-channel matching method; (f) Primary obtained by CCT-based separation method.

圖6 某海上數(shù)據(jù)一次波恢復(fù)對比圖(a) 原始炮記錄; (b) 輸入的多次波模型; (c) 應(yīng)用屏蔽濾波器獲得的一次波; (d) 基于復(fù)曲波變換分離的剩余一次波; (e) 偽多道方法獲得的一次波; (f) 基于復(fù)曲波變換最終獲得的一次波.Fig.6 Contrast diagrams of primary recovery of ocean data(a) Original shot gather; (b) Multiple model; (c) Preserved primary; (d) Residual primary obtained by CCT-based separation method; (e) Primary obtained by pseudo multi-channel matching method; (f) Primary obtained by CCT-based separation method.

圖7 某海上數(shù)據(jù)共偏移距剖面對比圖(a) 原始近偏移距數(shù)據(jù); (b) 多次波模型數(shù)據(jù); (c) 偽多道方法獲得的一次波數(shù)據(jù); (d) 本文方法獲得的一次波數(shù)據(jù).Fig.7 Contrast diagrams of common-offset section of ocean data(a) Original near-offset data; (b) Multiple model; (c) Primary obtained by pseudo multi-channel matching method; (d) Primary obtained by CCT-based separation method.

致謝 感謝東方地球物理公司中青年科技創(chuàng)新基金項目(11-01-2015)的資助，感謝中國石油大學(華東)地震波傳播與成像課題組對本文提供的幫助，感謝本文匿名評審專家提出的意見和建議.

Dong L Q, Li Z C, Yang S C, et al. 2013a. Non-causal matching filter multiple elimination method based on correlation and iteration.ChineseJ.Geophys. (in Chinese), 56(10): 3542-3551, doi: 10.6038/cjg20131029.

Dong L Q, Li Z C, Yang S C, et al. 2013b. An improved method of surface-related multiple elimination.ProgressinGeophys. (in Chinese), 28(6): 3148-3152, doi: 10.6038/pg20130641.

Fomel S. 2009. Adaptive multiple subtraction using regularized nonstationary regression.Geophysics, 74(1): V25-V33.

Guitton A. 2003. Multiple attenuation with multidimensional prediction-error filters.∥ 73th Annul International Meeting, SEG Expanded Abstracts, 1945-1948.

Herrmann F J, Moghaddam P, Stolk C C. 2008a. Sparsity- and continuity-promoting seismic image recovery with curvelet frames.AppliedandComputationalHarmonicAnalysis, 24(2): 150-173.

Herrmann F J, Wang D L, Hennenfent G, et al. 2008b. Curvelet-based seismic data processing: a multiscale and nonlinear approach.Geophysics, 73(1): A1-A5.

Hu T Y, Wang R Q, Wen S L. 2002. Multiple attenuation of seismic data from South China Sea by using beam-forming filtering method.OGP(in Chinese), 37(1): 18-23.

Li X C, Liu Y K, Chang X, et al. 2010. The adaptive subtraction of multiple using the equipoise multichannel L1-norm matching.ChineseJ.Geophys. (in Chinese), 53(4): 963-973, doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2010.04.021.

Li Z C, Liu J H, Guo C B, et al. 2011. Amplitude-preserved multiple suppression based on expanded pseudo-milti-channel matching.OGP(in Chinese), 46(2): 207-210, 231.

Lu W K, Luo Y, Zhao B, et al. 2004. Adaptive multiple wave subtraction using independent component analysis.ChineseJ.Geophys. (in Chinese), 47(5): 886-891, doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2004.05.021.

Neelamani R, Baumstein A, Ross W S. 2010. Adaptive subtraction using complex-valued curvelet transforms.Geophysics, 75(4): V51-V60.

Spitz S. 1999. Pattern recognition, spatial predictability, and subtraction of multiple events.TheLeadingEdge, 18(1): 55-58.Verschuur D J, Berkhout A J, Wapenaar C P A. 1992. Adaptive surface-related multiple elimination.Geophysics, 57(9): 1166-1177. Wang Y H. 2003. Multiple subtraction using an expanded multichannel matching filter.Geophysics, 68(1): 346-354.

附中文參考文獻

董烈乾, 李振春, 楊少春等. 2013a. 基于相關(guān)迭代的非因果匹配濾波器多次波壓制方法. 地球物理學報, 56(10): 3542-3551, doi: 10.6038/cjg20131029.

董烈乾, 李振春, 楊少春等. 2013b. 一種改進表層多次波壓制方法. 地球物理學進展, 28(6): 3148-3152, doi: 10.6038/pg20130641.

胡天躍, 王潤秋, 溫書亮. 2002. 聚束濾波法消除海上地震資料的多次波. 石油地球物理勘探, 37(1): 18-23.

李學聰, 劉伊克, 常旭等. 2010. 均衡多道1范數(shù)匹配多次波衰減的方法與應(yīng)用研究. 地球物理學報, 53(4): 963-973, doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2010.04.021.

李振春, 劉建輝, 郭朝斌等. 2011. 基于擴展偽多道匹配的保幅型多次波壓制方法. 石油地球物理勘探, 46(2): 207-210, 231.

陸文凱, 駱毅, 趙波等. 2004. 基于獨立分量分析的多次波自適應(yīng)相減技術(shù). 地球物理學報, 47(5): 886-891, doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2004.05.021.

(本文編輯 汪海英)

Primary and multiple separation method based on complex curvelet transform

DONG Lie-Qian, LI Pei-Ming, ZHANG Kui, WANG Chang-Hui, ZHU Yang, WANG Ze

BGPinternational,CNPC,HebeiZhuozhou072751,China

The study of de-multiple methods is a very important in seismic data processing. With increasing difficulties of oil exploration and the enhancement of seismic imaging accuracy, the existence of multiples seriously degrades the signal to noise ratio of seismic data, and interferes the identification of primary waves. Meanwhile, it may also cause some false geological features in seismic sections. Therefore, how to effectively suppress multiple is always a focused topic in seismic exploration.The current multiple suppression methods can be classified into two categories: based on filtering methods and based on prediction-and-subtraction methods. When using wave equation and considering the properties of wave-field propagation, the prediction-and-subtraction methods are suitable for complex seismic data. However, standard matching or subtraction methods can only correct the amplitude or phase errors between the multiple model and actual multiples in the stage of subtraction. As for the misalignment errors, these methods cannot achieve better results. So, a new curvelet transform named complex curvelet transform (CCT) is proposed. Taking advantage of shift invariance property of CCT, we can use the phase and amplitude of the data′s and multiple model′s CCT coefficients to correct misalignment and amplitude errors between the multiple model and actual multiples. In addition, for the purpose of protecting primary waves further, a non-linear masking filter is applied in advance, which can separate most of primary waves firstly, then recover the remaining primary waves using the CCT-based separation method.To demonstrate the validity of the CCT-based separation method, the shot gathers of a concave model are simulated. Firstly, the non-linear masking filter is applied to separate the primary and multiple with partial primary. After doing a simple L2 norm matching to the multiple, the CCT-based separation method is adopted to obtain the residual primary. Combining the residual primary and the primary separated by the non-linear masking filter, the final de-multiple data is obtained. Comparing to the standard matching methods, such as the pseudo multi-channel matching method, the CCT-based separation method can directly correct the amplitude and phase of the multiple model, and protect the primary greatly while suppressing the multiple. The test on the field data also shows the proposed method is applicable and effective.The tests on synthetic and field data show that in the case of misalignment error existence, taking advantage of the properties of shift invariance and amplitude changing with coefficient of CCT, the phase and amplitude of the multiple model can be corrected directly to fit the actual multiple. The application of a non-linear masking filter can protect the primary better while suppressing the multiple. And the new method is proved to be applicable and effective.

Multiple suppression; Complex curvelet transform; Misalignment error; Masking filter

10.6038/cjg20151028.

Dong L Q, Li P M, Zhang K, et al. 2015. Primary and multiple separation method based on complex curvelet transform.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),58(10):3783-3790,doi:10.6038/cjg20151028.

東方地球物理公司中青年科技創(chuàng)新基金項目(11-01-2015)資助.

董烈乾，男，博士，1987年生，工程師，主要從事于地震數(shù)據(jù)高效采集和信噪分離等方面的研究.E-mail:donglieqian@bgpintl.com

10.6038/cjg20151028

P631

2014-06-16，2015-09-13收修定稿

董烈乾， 李培明， 張奎等. 2015. 基于復(fù)曲波變換的一次波和多次波分離方法.地球物理學報，58(10):3783-3790,