王紅茹，由珊珊

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

時滯離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)l2-L∞的濾波

王紅茹，由珊珊

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

針對時滯離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的l2-L∞濾波問題進(jìn)行的研究，通過建立的l2-L∞性能準(zhǔn)則，采用線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)推導(dǎo)出l2-L∞濾波器存在的充分條件，在推導(dǎo)過程中引入附加矩陣，降低了濾波器的保守性.所設(shè)計的濾波器不但保證了濾波誤差系統(tǒng)隨機穩(wěn)定，而且滿足給定的l2-L∞性能指標(biāo).仿真算例表明所設(shè)計的濾波器是可行的.

l2-L∞濾波；時滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式

作為系統(tǒng)和控制的重要問題之一，濾波被廣泛應(yīng)用在狀態(tài)估計中，以測量信號為基礎(chǔ)對系統(tǒng)內(nèi)部的不可測量的信號進(jìn)行估計.眾所周知，經(jīng)典的卡爾曼濾波是處理狀態(tài)估計問題的有效方法，但是卡爾曼濾波需要確定已知的系統(tǒng)模型和外部噪聲信號，當(dāng)不滿足以上兩點時，經(jīng)典卡爾曼濾波就不再適用，這一特點使得研究魯棒濾波問題勢在必行.

另一方面，時滯常常存在于實際的動態(tài)系統(tǒng)中，例如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，通信系統(tǒng)等，同時也是造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和低性能指標(biāo)的來源，帶有時滯馬爾科夫跳躍系統(tǒng)可以更加準(zhǔn)確的描述實際系統(tǒng)的動態(tài)模型，因此研究時滯馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的l2-L∞濾波受到很多學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[1]通過Lyapunov-Krosovski函數(shù)，推導(dǎo)l2-L∞濾波器的存在條件，所針對的系統(tǒng)是時變延遲帶有部分未知轉(zhuǎn)移概率的連續(xù)馬爾科夫跳躍系統(tǒng).文獻(xiàn)[2]對于離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，采用時滯分割技術(shù)，建立時滯依賴條件，保證濾波誤差系統(tǒng)隨機穩(wěn)定，所設(shè)計的濾波器降低了保守性.文獻(xiàn)[3]對于時滯連續(xù)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)設(shè)計了指數(shù)l2-L∞全階濾波器，保證了濾波誤差系統(tǒng)的均方穩(wěn)定.

本文研究時滯離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的l2-L∞濾波問題，引入了附加矩陣，使得Lyapunov矩陣與系統(tǒng)矩陣的乘積項解耦，降低了保守性，并推導(dǎo)出l2-L∞性能準(zhǔn)則，應(yīng)用LMI技術(shù)得到了濾波器存在的充分條件.所設(shè)計的濾波器不但保證了濾波誤差系統(tǒng)隨機穩(wěn)定，而且滿足給定的l2-L∞性能指標(biāo).數(shù)值仿真表明所設(shè)計的方法是可行的.

1 問題描述

考慮下面時滯馬爾科夫跳躍系統(tǒng)：

(1)

(2)

其中:AFi，BFi，CFi為所設(shè)計的濾波器的參數(shù)矩陣.

(3)

則噪聲信號ω(k)到估計誤差e(k)的z傳遞函數(shù)為

(4)

定義1：濾波誤差系統(tǒng)(3)在ω(k)=0時，若在任意初始狀態(tài)下，滿足

則稱系統(tǒng)(3)隨機穩(wěn)定.

本文所要研究的問題是在給定系統(tǒng)(1)，設(shè)計濾波器(2)，使得濾波誤差系統(tǒng)(3)在零初始條件下隨機穩(wěn)定且滿足

‖e‖ε∞<γ‖ω‖2

(5)

即滿足l2-L∞擾動衰減水平.

2 l2-L∞濾波器設(shè)計

在給出濾波器的設(shè)計方法之前，首先考慮一下濾波誤差系統(tǒng)(3)的l2-L∞性能準(zhǔn)則，給出下列結(jié)論.

2.1 l2-L∞性能準(zhǔn)則

引理1：考慮系統(tǒng)(1)和濾波器(2)，那么濾波誤差系統(tǒng)(3)隨機穩(wěn)定的充分條件為存在矩陣Pi∈R2n×2n>0，Q∈Rn×n>0，滿足如下線性矩陣不等式：

(6)

下面給出一個與引理1等價且滿足濾波誤差系統(tǒng)(3)具有一定的l2-L∞擾動衰減水平的l2-L∞性能判據(jù).

(7)

(8)

其中：K=[I0]

證明：應(yīng)用Schur補引理[4]式(6)等價于式(9)

(9)

為了建立l2-L∞性能準(zhǔn)則，首先選取Lyapunov-Krosovski函數(shù)如下：

(10)

下面建立l2-L∞性能準(zhǔn)則，設(shè)l2-L∞性能指標(biāo)為，假設(shè)在零初始條件下，即當(dāng)V[ξ(0)θ0]=0，性能指標(biāo)表示為：

根據(jù)選取的Lyapunov-Krosovski函數(shù)，可以得到E[ΔV(k)]的表達(dá)式如下：

ξT(k)KTQKξ(k)-ξT(k-d)KTQKξ(k-d)

將代入并展開之后，可以進(jìn)一步得到：

因此可以繼續(xù)計算l2-L∞性能指標(biāo)J如下：

而eT(k)e(k)-γ2ξT(k)Piξ(k)

則eT(k)e(k)<γ2ξT(k)Piξ(k)

2.2 l2-L∞濾波器設(shè)計

基于引理1，給出使得濾波誤差系統(tǒng)(3)隨機穩(wěn)定，且保證滿足給定的l2-L∞性能指標(biāo)的濾波器(2)存在的充分條件.

(11)

(12)

濾波器參數(shù)矩陣為

(13)

證明：應(yīng)用Schur補引理式(7)等價于式(14)

(14)

(15)

其中Vi∈Rn×n是任意可逆矩陣，為方便起見，可以定義Vi=I.做如下變量替換：

Si=ZiUiVi

則可獲得式(12)和式(11).

3 數(shù)值算例

考慮具有兩個模態(tài)的時滯離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，參數(shù)矩陣如下：

模態(tài)1：

L1=[1 0.9 0.2 0.5]

模態(tài)2：

L2=[0.2 0.4 0.6 0.3]

仿真時，常數(shù)時滯d=2，ω(k)為幅值不大于0.5的隨機變量，假設(shè)系統(tǒng)初始模態(tài)θ0=1，按如下模態(tài)轉(zhuǎn)換概率：

p11=0.3 ，p12=0.7，p21=0.6，p22=0.4.

θk隨機的在兩個模態(tài)之間變換.

應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱，求解不等式(11)和(12)，得到最優(yōu)擾動衰減水平和濾波器參數(shù)矩陣如下：γ=3.4907

CF2=[-0.9644 -0.1621 -0.3100

-0.1692]

圖1可以看出，馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的模態(tài)轉(zhuǎn)換，在模態(tài)1和模態(tài)2下，計算出兩組濾波器的參數(shù)矩陣AF1，BF1，CF1和AF2，BF2，CF2.由圖2看出，濾波器的狀態(tài)估計誤差趨近于0，證明本文方法得到的l2-L∞濾波器是可行的.

圖1 馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的模態(tài)

圖2 狀態(tài)估計誤差

4 結(jié) 語

本文研究的是時滯離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的l2-L∞濾波問題，利用建立的l2-L∞性能準(zhǔn)則，給出相應(yīng)的濾波器設(shè)計方法，所設(shè)計的濾波器不但保證濾波誤差系統(tǒng)隨機穩(wěn)定，而且滿足給定的l2-L∞性能指標(biāo).在濾波器的設(shè)計中，引入附加矩陣，降低了保守性.仿真結(jié)果表明了本文方法的可行性.

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Study onl2-L∞filtering for Markov jump systems with time-delays

WANG Hong-ru, YOU Shan-shan

(School of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

The problem ofl2-L∞filter design for discrete-time system with Markov jump was investigated and al2-L∞performance criteria was proposed to guarantee the filtering error systems to be stochastically admissible in this paper. The sufficient conditions for the existence ofl2-L∞filter were presented based on the proposed performance criteria. The problem of filter design was converted into a parameter optimization problem with linear matrix inequality (LMI) constraint. A numerical example was provided to illustrate the effectiveness of the proposed method.

l2-L∞filtering; time-delay systems; LMI

2014-02-26.

王紅茹(1969-)，女，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：人工免疫網(wǎng)絡(luò)理論及應(yīng)用、動態(tài)系統(tǒng)的魯棒故障診斷、動態(tài)系統(tǒng)的魯棒控制、魯棒濾波及模型降階等.

TP13

A

1672-0946(2015)01-0050-06