唐爭氣，宋迎春，鄒 勃

(1. 中南大學 地球科學與信息物理學院， 湖南 長沙 410083；2. 湖南城市學院 市政與測繪工程學院, 湖南 益陽 413000)

基坑位移監(jiān)測中帶有未知參數(shù)的濾波算法*

唐爭氣1,2，宋迎春1?，鄒 勃1

(1. 中南大學 地球科學與信息物理學院， 湖南 長沙 410083；2. 湖南城市學院 市政與測繪工程學院, 湖南 益陽 413000)

在基坑邊坡的動態(tài)監(jiān)測中，為了控制幾何觀測異常對形變參數(shù)估計的影響，把基坑邊坡的力學信息看成是一個未知信息，建立了帶有未知參數(shù)的濾波模型，并在固定的觀測窗口中,把未知參數(shù)看成是一個不變的量，利用觀測殘差和狀態(tài)預測殘差來擬合它，并對濾波結果同時進行修正，得到了一個帶有未知參數(shù)的濾波算法.實例說明，利用先驗的幾何、物理信息進行變形監(jiān)測，能有效地提高狀態(tài)參數(shù)估計可靠性.

基坑；變形監(jiān)測；未知參數(shù)；卡爾曼濾波；殘差

基坑邊坡由初始變形發(fā)展到破壞性滑坡，其演變過程是一個非常復雜的過程[1-3]，由于基坑內土體卸載，基坑內外側土壓力的不平衡，支護結構容易產生變形和位移.當支護結構強度和剛度不足的時候，支護樁將會出現(xiàn)傾斜，引起坍塌等嚴重事故.同時，基坑施工過程中的降水措施會引起地下水位的下降，導致坑外土體的固結，使地面沉降出現(xiàn)不均勻沉降.實時跟蹤預測可以不斷跟蹤基坑邊坡動態(tài)變化，及時確定在各種荷載和外力作用下，變形體的形狀、大小及位置變化的空間和時間特征，從而判斷和預報邊坡變形是否失穩(wěn)[4-6].國內外學者已建立了許多動態(tài)的基坑變形觀測模型[7-12]，他們的方法在分析滑坡的變形動態(tài)特征方面取得了大量的成果.然而，在特殊的地理環(huán)境下，數(shù)據(jù)采集的條件受到限制，人們對邊坡的力學特性，相關的幾何、力學參數(shù)認識非常有限，因此，基坑變形觀測動態(tài)分析顯得非常困難，建立的模型常常包含一定程度的模型誤差，從而導致不精確的形變分析結果.在基坑變形觀測中，大地測量學者過多地注重幾何觀測信息，很少關注基坑形變內在的物理原因，難免造成計算結果失真或出現(xiàn)較大的偏差[13-15].因此，將邊坡形變的物理特性與幾何觀測結合建立混合模型，根據(jù)地球物理模型和實測幾何數(shù)據(jù)之間的差異，通過幾何模型計算的位移量和物理模型預測位移量間的差異達到最小的原則來求解形變量，可以更精確地跟蹤基坑邊坡的動態(tài)變化．在本文中，一種把邊坡的幾何約束信息、力學狀態(tài)結合起來的新方法被提出，一些未知的物理信息量作為參數(shù)納入濾波模型，再利用濾波理論，用觀測殘差和狀態(tài)預測殘差來擬合它,從而控制幾何觀測異常對形變參數(shù)估計的影響.

1 基坑土壓力與監(jiān)測濾波模型

土壓力是土體因自重或外荷載作用對支護結構產生的側向壓力，是土與支護結構相互作用的結果，與支護結構的形式、剛度、變位、土與結構的接觸條件以及支護結構受到的約束等有密切關系.土壓力的大小與土體的變形有關，在土體達到破壞狀態(tài)之前，土壓力的大小是難以確定的；在土體達到破壞狀態(tài)時，由于變形土體內各點很難同時進入極限平衡狀態(tài)，土壓力計算也帶有一定程度的不確定性.

圖1 板樁上的土壓力

圖2 主動土體滑裂面

圖3 土條受力分析圖

處于極限狀態(tài)的微分單元體的靜力平衡方程：

由∑X=0和∑Y=0有

pxi=miaxi=Nisinθi-(c1i+Q2i)cosθi

(1a)

pyi=miayi=-Nicosθi-(Q1i+c2i)-

(c1i+Q2i)sinθi+Gi

(1b)

方程 (1) 也可表示為：

Miai=A1iYi+Fi

(2)

這里

對于整個塊體系統(tǒng)，由式(2)可構成如下方程組：

Ma=A1Y+G

(3)

這里，M和A1由Mi和A1i組成，

Y=(N1,N2,…，Ni，…,Q11,…,Q1i,…,

Q21,…，Q2i,…,c11,…,c1i,…,c21,…,c2n)T

為了提高計算精度，我們對參數(shù)Y進行如下變換，即讓 ：Y=Y0+ΔY，這里Y0是Y在邊坡滑體處于極限平衡狀態(tài)下的取值.由于在極限平衡狀態(tài)下，任意塊體的加速度都為0：axi=ayi=0，由式(3)可得：

A1Y0+G0=0

(4)

G0是G在極限平衡狀態(tài)下的取值.由式(3)、式(4)可得：

Ma+A1ΔY=-ΔG

(5)

這里 ΔY=Y-Y0，

ΔG=G-G0=(0,Δm1g,…,0,Δmig,…)

顯然ΔY是表示邊坡滑體的當前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)之間的差別.

其中，X1=(x1,z1,…,xi,zi，…)T

按照剛體的運動方程，剛體的運動從狀態(tài)k轉移到k+1時，其位移和速度按下式變化：

Vk+1=Vk+tak

(6) 除了雨后引起的地下水位變化和地震引起的震動外，在實際工作中，作用在邊坡滑體上的外力一般是保持不變的.因此可以假定ΔG=0 及ΔYk+1=ΔYk.如果外力產生變化，則只要這種變化很小，可以視為狀態(tài)轉移誤差(系統(tǒng)噪聲).根據(jù)這一假設和方程(5)可得：

ΔYk+1=ΔYk

ak+1=M-1A1ΔYk+1+M-1ΔG=M-1A1ΔYk

(7)

由式(6)和式(7)可得狀態(tài)轉移方程：

Xk+1=ΦkXk+Wk=

(8)

模型(8)中考慮了邊坡運動的加速度，但一般情況下邊坡在發(fā)生滑坡的突變之前的滑移過程中，移動的加速度是非常小的，在絕大多數(shù)情況下，加速度如果能達1cm/d2將預示滑坡的發(fā)生，而1cm/d2在運動學上則是非常小，因此，可在模型(8)中刪除加速度項，得到下列模型代替：

(9)

在基坑邊坡監(jiān)測中觀測方程可表示為：

Lk=HkXk+ek

(10)

由于基坑邊塊的物理信息并不充分，我們不能得到sk的具體數(shù)據(jù)，因此，在濾波過程中，把它看作未知輸入信息.用Xk來表示狀態(tài)變量代替(9)中的X′k，由式(9)和式(10)可以得到帶有未知輸入的變形監(jiān)測的濾波模型：

Xk=Φk,k-1Xk-1+sk+Wk

Lk=HkXk+ek

(11)

其中Xk為tk時刻狀態(tài)向量，Φk,k-1為狀態(tài)轉移矩陣，Wk為動力模型噪聲向量，Lk為觀測向量，Hk為設計矩陣，ek為觀測誤差向量.

2 帶有未知輸入的濾波算法

(12)

式(11)中觀測方程相應的誤差方程為：

(13)式中Vk為Lk的殘差向量.假設Wk和ek的協(xié)方差矩陣為ΣWk和Σk.Wk，Wj，ek及ej互不相關.現(xiàn)在，討論動力學模型存在系統(tǒng)誤差的情形，即sk≠0，由式(11)有：

(14)

在無誤差情況下，Xk=Φk,k-1Xk-1，則有

(15)

(16)

(i=1,…,N)

(17)

(19)

(20a)

(20b)

(20c)

(20d)

(20e)

3 實例解算與分析

某基坑周長約350m, 建筑物正負零標高40.5m，

基坑底標高為31.4m，工程重要性等級為二級.基坑設計深度7.6～10.3m，采用放坡+噴錨+鋼管樁進行支護，基坑安全等級為一級，重要性系數(shù)1.1，基坑支護為臨時性支護.根據(jù)總平面圖，在水平與垂直位移監(jiān)測前一周共埋設了3個基準點，基準點設3倍于基坑深度的影響范圍之外，其中編號分別為M1,M2,M3.基坑邊坡頂部的水平和豎向位移監(jiān)測點為共用點，沿基坑坡頂布置，周邊中部、陽角處布置監(jiān)測點.監(jiān)測點水平和豎向間距一般為20～30m，部分地方視情況加密.J1～J15,J8＇為基坑頂觀測點，MG-1-1,MG-1-2,MG-1-3,MG-2-1，MG-2-2,MG-2-3為錨桿應力監(jiān)測點，具體位置見圖4.共計16個水平位移監(jiān)測點,16個沉降監(jiān)測點,6根錨桿拉力監(jiān)測點.水平位移監(jiān)測采用極坐標法觀測.

圖4 監(jiān)測點平面布置圖

沉降觀測采用精密二等水準測量，組成水準控制網，定期對水準點進行校核，防止其本身發(fā)生變化，以保證垂直位移監(jiān)測結果的正確性.全站儀架設于穩(wěn)定基準點上，采用極坐標法觀測，取3次平均值作為初始值.本次觀測值減去前一次的觀測值為本次觀測值位移值，本次觀測值減去原始觀測值為累計位移值.由于全體數(shù)據(jù)的篇幅較大，表1只給出了JC1-112．3點的27期水平位移和沉降觀測數(shù)據(jù)，并利用文中給出的算法進行計算與分析．

表1 JC1-1點水平位移和沉降觀測數(shù)據(jù)(共27期)

本文采用標準卡爾曼濾波算法與本文給出的帶有未知參數(shù)的濾波算法兩種方案進行計算，在帶有未知參數(shù)的濾波算法中，用式(18)對未知參數(shù)進行估計時，其窗口寬度為2，濾波計算公式采用(20).圖5給出了JC1-1點水平位移和垂直沉降的實測圖與標準卡爾曼濾波以及本文算法的效果圖，通過對濾波后的數(shù)據(jù)進行對比，給出了它們與實測值之間誤差曲線圖(見圖6)．

圖5 JC1-1點水平位移和垂直沉降分析圖

Epoch(3day)(a)標準卡爾曼濾波誤差曲線

Epoch(3day)(b) 本文算法誤差曲線

通過對算法的精度分析，得到了下面的結論：

1)影響基坑變形的因素比較多，如基坑所在地的工程地質、 水文和氣候條件以及基坑的內部結構，噴灌的混凝土應力、及溫度、降水等，在建立模型對沉降觀測數(shù)據(jù)處理和分析時，應該考慮這些影響因子，把它們當成狀態(tài)參數(shù)的一部分，如式(8)，然而這些影響因素通常難以獲取，無法納入模型中，在一般的濾波模型中狀態(tài)向量只考慮水平位移和沉降以及它們的速率，對于其它因素比較困難.

2)雖然卡爾曼濾波是一種處理動態(tài)數(shù)據(jù)的有效方法，可以有效處理變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，實時獲得監(jiān)測系統(tǒng)的當前狀態(tài)，對于基坑變形監(jiān)測來說，卡爾曼濾波是一個重要的研究方法.但是，由于模型誤差sk的出現(xiàn)，使得卡爾曼濾波的效率大大地降低了.從圖6可以看出，考慮了系統(tǒng)誤差的濾波算法，精度會更高.

3)在基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，建立準確的位移監(jiān)測模型是非常困難的，需要顧及sk的綜合影響，本文提供的算法并不一定需要清楚地了解sk中的具體成份，在濾波計算的過程中，可對sk進行在線估計，并及時修正狀態(tài)向量的偏差，提高濾波計算的質量.

4 小 結

物理信息常存在于基坑邊坡的動態(tài)監(jiān)測模型中，滑坡的破壞過程隨邊坡內在因素及外在環(huán)境而變化，現(xiàn)有的濾波算法不能夠充分利用這一信息.由于邊坡的力學特性，有關幾何、力學參數(shù)的先驗信息并不完全清楚，在濾波模型中利用它們相當困難，本文給出的帶有未知參數(shù)濾波算法，把這些信息看成是一些未知的信息加入到模型中，并在解算過程中進行在線估計，并及時修正狀態(tài)向量的偏差，可以加強濾波解算結果的可靠性，有效消除或削弱模型誤差的影響.

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Filtering Algorithm with Unknown Parameter for Excavation Deformation Monitoring

TANG Zheng-qi1, 2, SONG Ying-chun1, ZOU Bo1

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South Univ, Changsha, Hunan 410083, China;2. School of Municipal and Surveying Engineering, Hunan City Univ, Yiyang, Hunan 413000, China)

In order to control the influence on deformation parameter estimation in Excavation Deformation Monitoring when geometric observations are anomalous, mechanic information about excavation slope is considered to be unknown information, and a filtering model with unknown parameter is given. In the fixed observation window, unknown parameters do not change with time, which can be fitted with the prediction of observation residuals and residuals. At the same time, algorithm improves the reliability of the state estimations. In a real example, by using the prior geometry and physics of information to deformation monitoring, the given algorithm can significantly improve the reliability of state parameter estimation.

excavation; deformation monitoring; unknown parameter; Kalman filtering; residual error

1674-2974(2015)07-0108-06

2015-01-11

國家自然科學基金資助項目(41474008)，National Natural Science Foundation of China(41474008) ；湖南省教育廳青年課題(12B022)

唐爭氣(1974-)，男，湖南邵陽人，中南大學博士研究生，湖南城市學院副教授

?通訊聯(lián)系人，E-mail: csusyc@qq.com

P258

A