李建華，于懷勇，雷 明，吳衍記

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京100074)

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諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路建模與仿真

李建華，于懷勇，雷 明，吳衍記

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京100074)

諧振式光子晶體光纖陀螺；PI控制器；相對頻率噪聲；隨機(jī)游走系數(shù)

0 引言

隨著武器裝備系統(tǒng)的發(fā)展，特別是在小型化飛航導(dǎo)航、高精度常規(guī)武器等領(lǐng)域，對小型化下高精度光纖陀螺提出了新的需求，迫切需要一種新型的小體積、高精度光纖陀螺產(chǎn)品。諧振式光纖陀螺原理上利用長度僅為幾米至十幾米的光纖諧振腔就可以實(shí)現(xiàn)很高的精度[1]，成為光纖陀螺小型化、高精度方向發(fā)展的潛力方案之一，也引起了研究者的廣泛關(guān)注。但國內(nèi)外研究單位三十幾年的研究表明：非線性克爾噪聲、熱致偏振耦合噪聲及光源相對頻率噪聲等因素嚴(yán)重制約了諧振式光纖陀螺的技術(shù)發(fā)展，其性能還不能滿足應(yīng)用需求[2-3]。

隨著光子晶體光纖技術(shù)的發(fā)展，諧振式光子晶體光纖陀螺越來越受到人們的重視，為抑制非線性克爾噪聲與熱致偏振耦合噪聲提供了一條嶄新的技術(shù)途徑。目前，國外光子晶體光纖陀螺研究的代表單位是美國Honeywell公司、Northrop Grumman公司、Standford大學(xué)等，其中Honeywell公司和Northrop Grumman公司將諧振式光子晶體光纖陀螺列到光纖陀螺中長期發(fā)展規(guī)劃中，作為小型化下實(shí)現(xiàn)高精度光纖陀螺的主要技術(shù)方案[4]。

在非線性克爾噪聲與熱致偏振耦合噪聲受到抑制的情況下，光源相對頻率噪聲成為制約諧振式光子晶體光纖陀螺精度的主要因素，對隨機(jī)游走系數(shù)造成嚴(yán)重影響。為有效地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和精度指標(biāo)，引入PI控制器設(shè)計(jì)回路控制系統(tǒng)，PI控制器在控制領(lǐng)域有著最廣泛的應(yīng)用[5]。本文通過設(shè)計(jì)PI控制器的控制參數(shù)，對環(huán)路模型進(jìn)行仿真與優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，通過對檢測帶寬的設(shè)計(jì)，對相對頻率噪聲進(jìn)行抑制，以減小隨機(jī)游走系數(shù)，提高諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)的檢測精度，最終對不同精度諧振式光子晶體光纖陀螺設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

1 基本原理

諧振式光子晶體光纖陀螺的檢測原理為光學(xué)Sagnac效應(yīng)，主要是通過敏感順、逆時(shí)針兩方向的頻率差Δf來實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)角速度Ω檢測[6]。諧振頻率差Δf正比于旋轉(zhuǎn)角速度，表示為

(1)

其中，D為環(huán)形諧振腔的直徑，n為光纖折射率，λ為輸入光的工作波長。

圖1給出了諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)框圖。諧振式光子晶體光纖陀螺必須鎖定順、逆時(shí)針至少一個(gè)方向傳播的光波，使其始終處于諧振狀態(tài)。在逆時(shí)針方向上，光束通過分束器C1進(jìn)入光子晶體光纖環(huán)形諧振腔，再通過耦合器C4由光電探測器PD1進(jìn)行檢測，進(jìn)而由伺服回路驅(qū)動(dòng)光源中心頻率的改變，使其鎖定在諧振腔逆時(shí)針諧振頻率上；同理，在順時(shí)針方向上，光束從諧振腔輸出之后通過耦合器C3，由光電探測器PD2轉(zhuǎn)化為電信號，并在第二個(gè)相敏解調(diào)器中進(jìn)行解調(diào)。解調(diào)器輸出的信號通過與光源的光波頻率進(jìn)行比較，給出了諧振腔相對于慣性空間旋轉(zhuǎn)的幅值和方向。

圖1 諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)框圖Fig.1 The structure of resonatorphotonic crystal fiber optical gyro

2 陀螺環(huán)路模型建立

2.1 陀螺環(huán)路理想狀態(tài)模型

為便于系統(tǒng)分析，需建立諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路模型，順時(shí)針和逆時(shí)針方向環(huán)路結(jié)構(gòu)相似，可以進(jìn)行同等等效。理想情況下，在順時(shí)針(CW)環(huán)路模型中，可以將光束頻率調(diào)制及經(jīng)過諧振腔到光電探測器輸出的過程等效為增益KCW，將解調(diào)(DM)電路的增益等效為K1，將低通濾波器(Filter)等效為一階慣性環(huán)節(jié)。根據(jù)以上分析，建立諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路簡化模型，如圖2所示。

圖2 諧振式光子晶體光纖陀螺順時(shí)針理想環(huán)路模型Fig.2 The ideal clockwise loop model ofresonator photonic crystal fiber optical gyro

在諧振式光子晶體光纖陀螺工作的過程中，光源發(fā)出的激光(中心頻率為f0)經(jīng)過相位調(diào)制器之后，耦合進(jìn)入環(huán)形諧振腔，形成順時(shí)針方向上的諧振光束。順時(shí)針方向的光波在環(huán)形諧振腔中環(huán)繞多次傳輸之后，由光電探測器轉(zhuǎn)化成電信號輸出。鎖相放大器對光電探測器輸出的電信號進(jìn)行解調(diào)，解調(diào)輸出信號作為反饋回路的誤差信號，將光源的中心頻率調(diào)節(jié)為f0+KMIF(KM為激光器頻率調(diào)制系數(shù)，IF為控制激光器頻率的反饋電流信號)。只要存在解調(diào)輸出信號，反饋伺服將一直運(yùn)行，直到光源的中心頻率鎖定在諧振腔順時(shí)針方向的諧振頻率上達(dá)到環(huán)路的平衡狀態(tài)。根據(jù)上述順時(shí)針工作機(jī)理的分析，順時(shí)針環(huán)路開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

(2)

式中，KL=KMKCWK1稱為環(huán)路增益，τ為濾波器時(shí)間常數(shù)?？梢钥闯鲋C振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)為一典型的慣性系統(tǒng)。對于諧振式光子晶體光纖陀螺，雖然能夠有效抑制非線性克爾噪聲與熱致偏振耦合噪聲，但光源的相對頻率噪聲會(huì)嚴(yán)重影響隨機(jī)游走系數(shù)，從而降低陀螺對旋轉(zhuǎn)角速率的測量精度[4]。

2.2 陀螺相對頻率噪聲環(huán)路抑制模型

(3)

其中，G為環(huán)路系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅值，Sf為激光光源的初始頻率噪聲功率譜密度。Sf由洛倫茲激光線性光譜的半高全寬(FWHM)Δν決定

(4)

由式(3)與式(4)可得

(5)

系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅值是頻率的函數(shù)。對于一階環(huán)路來說，頻率每降低十倍頻程，環(huán)路增益會(huì)增加20dB，相應(yīng)的頻率噪聲會(huì)隨著頻率的降低而減小。單純的慣性環(huán)節(jié)無法消除階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差[7]，也就無法較好地抑制相對頻率噪聲。因此，需要通過設(shè)計(jì)PI控制器提高系統(tǒng)的型別，來抑制可控頻率噪聲功率譜密度，此時(shí)順時(shí)針環(huán)路新的模型如圖3所示。

圖3 諧振式光子晶體光纖陀螺順時(shí)針環(huán)路相對頻率噪聲抑制模型Fig.3 The relative frequency noise control model of resonator photonic crystal fiber optical gyro clockwise loop

圖3中PI控制器的數(shù)學(xué)描述為

(6)

式中，u(t)為控制器輸出信號；e(t)=x(t)-o(t)為系統(tǒng)誤差信號，x(t)為系統(tǒng)輸入信號，o(t)為系統(tǒng)輸出信號；Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)。通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)Kp可以降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，而Ti決定積分作用強(qiáng)弱，積分環(huán)節(jié)能起到提高系統(tǒng)無差度的作用。因此，可以通過調(diào)節(jié)PI控制器的系數(shù)Kp和Ti來控制頻率響應(yīng)的幅值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對可控頻率噪聲功率譜密度的控制。

PI控制器的傳遞函數(shù)可以表示為

(7)

此時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表示為

(8)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及開環(huán)幅頻響應(yīng)的值為：

(9)

(10)

式中，定義K=KPKL為新的環(huán)路增益。加入PI控制器之后，系統(tǒng)由慣性系統(tǒng)變?yōu)槎A系統(tǒng)，提高了系統(tǒng)的型別[7]。

3 環(huán)路模型仿真與優(yōu)化

在模型仿真的過程中關(guān)鍵是PI控制器參數(shù)的選取，包括比例和積分兩個(gè)環(huán)節(jié)的參數(shù)Kp和Ti。從PI控制器對環(huán)路的影響考慮，PI參數(shù)選擇應(yīng)該滿足超調(diào)量較小、帶寬較大的原則，超調(diào)量也不能太小，否則會(huì)增大系統(tǒng)阻尼影響響應(yīng)時(shí)間，故超調(diào)量一般選取為5%～15%[7]。

對于二階系統(tǒng)，跟據(jù)式(9)可求得無阻尼振蕩頻率ωn和阻尼比ξ：

(11)

(12)

阻尼比ξ與超調(diào)量σP之間的表達(dá)式為

(13)

控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性可以由閉環(huán)傳遞函數(shù)得出，并且可以寫成

(14)

其中，A(ω)為閉環(huán)幅頻特性。由式(8)可知開環(huán)傳遞函數(shù)中含有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)，則閉環(huán)幅頻特性在ω=0處的值為A(0)=1。當(dāng)閉環(huán)幅頻特性降至0.707A(0)時(shí)，對應(yīng)的角頻率ωb為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬[7]。此時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的值為

(15)

系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如圖4所示，通過對頻率響應(yīng)的分析可知，系統(tǒng)帶寬分別為39.1kHz、38.3kHz、37.4kHz、36.7kHz、36.1kHz、35.6kHz，可知隨著超調(diào)量的增加，系統(tǒng)帶寬越來越小，諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)能夠獲得大帶寬，帶寬越大，響應(yīng)時(shí)間越小，預(yù)示著系統(tǒng)有較小的響應(yīng)時(shí)間；系統(tǒng)的相角裕度分別為69°、67°、63°、59°、57°、55°，可見隨著超調(diào)量的增加，系統(tǒng)的相角裕度越來越小，相角裕度是控制系統(tǒng)的重要指標(biāo)，反映閉環(huán)系統(tǒng)遠(yuǎn)離臨界穩(wěn)定狀態(tài)的程度，通常要求大于30°，故該諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)能夠得到較大的相角裕度。

圖4 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)示意圖Fig.4 Magnitude response of the system

設(shè)計(jì)的諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)帶寬和相角裕度均能滿足要求，可以用閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，進(jìn)一步檢驗(yàn)系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖5所示，在不同的參數(shù)下諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)都能很好地跟蹤上階躍響應(yīng)，響應(yīng)時(shí)間為1.3×10-4s(±3%)；系統(tǒng)的超調(diào)量越來越大，從8%增加到17%，超調(diào)量過大會(huì)造成陀螺的偽轉(zhuǎn)動(dòng)，使檢測精度降低。綜上可知，當(dāng)將超調(diào)量設(shè)定為5%進(jìn)行仿真時(shí)系統(tǒng)的性能最優(yōu)，此時(shí)K=1.68，Ti=2.5×10-5s，得到的帶寬為39.1kHz，且響應(yīng)時(shí)間為1.24×10-4s，超調(diào)量為最小的8%，環(huán)路無震蕩，滿足諧振式光子晶體光纖陀螺系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)要求。

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)示意圖Fig.5 Step response of the system

獲得理想閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)之后，進(jìn)行檢測帶寬的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對隨機(jī)游走系數(shù)的控制，通過推導(dǎo)得到隨機(jī)游走系數(shù)與檢測帶寬及可控頻率噪聲功率譜密度之間的關(guān)系為

(16)

其中，ωf為檢測帶寬。因此，利用式(5)、式(10)、式(16)計(jì)算可得系統(tǒng)檢測帶寬與隨機(jī)游走系數(shù)之間的關(guān)系如圖6所示。

圖6 檢測帶寬與隨機(jī)游走系數(shù)關(guān)系圖Fig.6 The relationship bwtweendetecting bandwidth and RWC

4 結(jié)論

本文對諧振式光子晶體光纖陀螺環(huán)路模型進(jìn)行了仿真與優(yōu)化，并進(jìn)行檢測帶寬的設(shè)計(jì)，得到如下結(jié)論：

1)通過對相對頻率噪聲的分析，將經(jīng)典控制理論運(yùn)用于諧振式光子晶體光纖陀螺模型中，引入PI控制器，與理想情況下的一階慣性環(huán)節(jié)構(gòu)成反饋控制回路；

2)經(jīng)過優(yōu)化PI參數(shù)，得到諧振式光子晶體光纖陀螺模型的系統(tǒng)帶寬為39.1kHz，響應(yīng)時(shí)間為1.24×10-4s，超調(diào)量為8%，滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的要求；

3)將仿真得到的結(jié)果應(yīng)用于諧振式光子晶體光纖陀螺模型中，根據(jù)諧振式光子晶體光纖陀螺性能指標(biāo)的要求，通過檢測帶寬的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)不同精度諧振式光子晶體光纖陀螺，當(dāng)檢測帶寬小于15Hz，諧振式光子晶體光纖陀螺精度滿足戰(zhàn)術(shù)級陀螺的要求，當(dāng)檢測帶寬小于3Hz，諧振式光子晶體光纖陀螺精度滿足導(dǎo)航級陀螺的要求。

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Modeling and Simulation of Resonator Photonic Crystal Fiber Optical Gyro Structure Based on Multi-source

LI Jian-hua，YU Huai-yong，LEI Ming，WU Yan-ji

(Beijing Institute of Automatic Control Equipment，Beijing 100074，China)

Resonator photonic crystal fiber optical gyro； PI controller； The relative frequency noise； The random walk coefficient

2015 - 04 - 09；

2015 - 04 - 28。

李建華(1990 - )，男，碩士，主要從事光纖陀螺的研究。

TP273

A

2095-8110(2015)05-0058-05