張本輝 石愛國 蔡 烽 王 驍 周 波

(1.海軍大連艦艇學(xué)院航海系 大連 116018)(2.海軍大連艦艇學(xué)院基礎(chǔ)部 大連 116018)

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基于mNLS方程的周期波群非線性演化數(shù)值模擬研究

張本輝1石愛國1蔡 烽1王 驍1周 波2

(1.海軍大連艦艇學(xué)院航海系 大連 116018)(2.海軍大連艦艇學(xué)院基礎(chǔ)部 大連 116018)

論文基于控制深水復(fù)波包絡(luò)演化的修正的四階非線性薛定諤方程(mNLS)建立模型,利用離散時(shí)間步長的虛擬頻譜方法(split-step pseudospectral method)進(jìn)行求解,模擬了周期波群的非線性演化,對(duì)演化過程中復(fù)包絡(luò)幅值、波面位移、譜成分能量以及模態(tài)值的變化進(jìn)行分析。結(jié)果表明:該模型可以有效地模擬周期波群的非線性演化。

四階非線性薛定諤方程; 虛擬頻譜方法; 數(shù)值模擬; 周期波群

Class Number O175; TP391

1 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)和綜合國力的顯著提高,國家海外利益的不斷拓展,國家對(duì)海洋的關(guān)注程度也越來越大。與此同時(shí),伴隨著中國海軍逐步從近海走向深藍(lán),我海軍維護(hù)海洋權(quán)益的使命日益繁重。在我國海軍“走出去”的過程中,海浪環(huán)境深刻地影響艦艇的航行和作戰(zhàn)效能,因此如何更加準(zhǔn)確地把握遠(yuǎn)洋海區(qū)風(fēng)浪環(huán)境的特點(diǎn)和規(guī)律,對(duì)我海軍戰(zhàn)斗力的生成具有顯著作用。

目前,從流體力學(xué)基本方程出發(fā),對(duì)于深水波浪數(shù)值模擬方法大多是基于線性海浪模型。近些年來大量的外海觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)已經(jīng)反復(fù)證明,實(shí)際的海浪是非線性的,其主要表現(xiàn)有這樣幾個(gè)方面:波高的非瑞利分布、雙峰乃至多峰海浪譜的大量存在、波浪變形及破碎以及海浪的非線性局域化特征等[1]。隨著海洋科技的發(fā)展和大量海洋工程的迫切需求,線性海浪模型已日益不能滿足越來越高的精度要求,因此對(duì)海浪的非線性研究也得到了眾多海洋科技工作者的關(guān)注[2]。研究能夠反映海浪非線性特征的數(shù)值模擬方法是未來的發(fā)展趨勢(shì)[3],使用非線性演化理論來模擬深水海浪將會(huì)更加合理有效。

Philips闡述了弱非線性共振相互作用的機(jī)制,為非線性深水波的研究奠定了基礎(chǔ)。速度和波長稍微有差別的幾個(gè)波列的共振相互作用涉及正弦波的緩慢調(diào)制,波列之間會(huì)產(chǎn)生能量交換,Stokes波對(duì)于緩慢調(diào)制的周期性(邊帶)擾動(dòng)來講是不穩(wěn)定的,Benjamin和Feir[4]對(duì)于這一事實(shí)的論證做了關(guān)鍵性的工作,初步證實(shí)了深水波列傳播過程中的演化具有不穩(wěn)定性,該不穩(wěn)定性在波陡明顯小于碎波條件時(shí)也會(huì)發(fā)生,這一點(diǎn)與真實(shí)深水波浪的情況比較吻合,透過這個(gè)問題的研究,有助于了解實(shí)際海面上波群的形成與演化特性[5]?；谡V假設(shè)和弱非線性假設(shè),Zakharov、Benney和Roskes通過非線性和色散性推導(dǎo)得到了描述表面振幅包絡(luò)波演化的三階非線性薛定諤方程,該方程具有波陡的三階精度。而三階非線性薛定諤方程比較適合于描述具有較小波陡(小于0.1)的波列演化,對(duì)于較大的波陡,其模擬結(jié)果只是在波列演化的初期符合實(shí)際情形,無法準(zhǔn)確地模擬長時(shí)間的波列演化。為了進(jìn)一步克服三階方程之不足,Dysthe[6]考慮由輻射應(yīng)力引起的平均流效應(yīng),推導(dǎo)出了四階Dysthe方程,Lo和Mei[7]對(duì)該方程進(jìn)行小的修正,得到了修正的四階非線性薛定諤方程(mNLS)。因此本文基于mNLS建立描述周期波群的演化模型,以期探討深水波列的演化規(guī)律。

2 深水波列數(shù)學(xué)模型

2.1 控制方程

通常在無粘無旋的假設(shè)條件下,海面上的波浪運(yùn)動(dòng)可以通過速度勢(shì)函數(shù)的拉普拉斯方程和自由表面及海底等邊界條件來描述,利用泰勒級(jí)數(shù)展開,將自由面邊界條件展開到O(ε4)四階形式(波陡ε=ka,k和a分別表示載波波數(shù)和波幅),經(jīng)過推導(dǎo)和變換(具體過程可以參考文獻(xiàn)[7]),可以得到群速度移動(dòng)坐標(biāo)系統(tǒng)下的四階非線性薛定諤方程為

(1)

(2)

方程(1)等號(hào)右邊考慮了平均流影響并以移動(dòng)坐標(biāo)計(jì)算到四階的新增部分,如果忽略方程中的四階項(xiàng),則簡(jiǎn)化為相應(yīng)的三階方程,如果忽略所有的非線性項(xiàng),則進(jìn)一步簡(jiǎn)化為對(duì)應(yīng)的線性方程。根據(jù)方程(1)和方程(2)可計(jì)算出波面位移,無因次的自由波面位移為

(3)

A(0,η)=A(2π,η)

(4)

A(0,z,η)=A(2π,z,η)

(5)

2.2 離散步長的虛擬頻譜方法

對(duì)于NLS方程而言,可以利用逆散射變換求取其精確的解析解[8]。四階非線性薛定諤方程一般情況下不適合于解析求解,因此迫使人們借助于各種各樣的數(shù)值算法。離散步長的虛擬頻譜方法[9～10]是一種有效求解mNLS方程的數(shù)值求解方法。該方法主要分為兩個(gè)部分,虛擬頻譜方法和中心有限差分法。虛擬頻譜方法是一種以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法,需要滿足周期性邊界條件方程(4)和方程(5),可以有效地求解mNLS方程的線性部分。在數(shù)值計(jì)算中,將控制方程(1)分為線性部分(方程(6))和非線性部分(方程(7)):

(6)

(7)

復(fù)波包A(ξ,η)(0<ξ<2π)的傅里葉空間上的變換及逆變換如下所示:

ν=0,±1,±2,…,±N,Δξ=π/N

(8)

(9)

其中2N為周期2π上的離散點(diǎn)數(shù),Δξ=π/N,當(dāng)ν≠±N時(shí),μν=1;當(dāng)ν=±N時(shí),μν=1/2。

在每一個(gè)空間步長上,非線性部分的解作為線性部分的初值代入并求解,從而得到下一步方程的解,然后把線性部分的結(jié)果再代入非線性部分方程,從而依次遞進(jìn)求解。

3 數(shù)值仿真

3.1 初始條件

為了驗(yàn)證周期波群的包絡(luò)以群速度傳播且不改變形狀,Keller(1982)采用兩個(gè)組成波合成的周期波包作為初始條件進(jìn)行了水槽試驗(yàn),試驗(yàn)中沿水槽布置了10個(gè)觀測(cè)點(diǎn),距離造波機(jī)7.14m的初始范圍內(nèi)的波浪記錄是有效的,具體位置如圖1所示。其初始條件的參數(shù)如下:周期波包的組成波頻率分別為f1=1.406Hz和f2=1.563Hz,定義平均頻率f=1.485Hz為載波頻率,對(duì)應(yīng)的k=8.865m-1。初始載波振幅為零,兩個(gè)組成波的振幅為0.5a=0.013m,波陡為ε=0.23,令λka=Δω/ω,復(fù)波包初始條件為

A(ξ,0)=0.483eiξ+0.537e-iξ

(10)

以該周期波包作為初始條件,采用本文所建立的數(shù)值模型來進(jìn)行數(shù)值模擬,然后與實(shí)際試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)。

3.2 仿真結(jié)果分析及討論

3.2.1 非線性演化過程中的波形比對(duì)

數(shù)值模擬的結(jié)果與Keller試驗(yàn)中八個(gè)測(cè)量點(diǎn)處的波面比較如圖1所示(圖中也給出了對(duì)應(yīng)的三階方程的模擬結(jié)果)。

圖1 數(shù)值模擬的波面與實(shí)測(cè)水位的比較

從圖中可以看出,在距離造波機(jī)比較近的幾個(gè)位置(η=1.47,η=1.73,η=2.01)處三階方程的數(shù)值結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果比較吻合;當(dāng)η=2.28時(shí),三階方程的結(jié)果開始偏離試驗(yàn)結(jié)果;當(dāng)η=3.35時(shí),三階方程的結(jié)果已經(jīng)與試驗(yàn)結(jié)果存在相當(dāng)大的差異,而四階方程的數(shù)值結(jié)果一直與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好。另外,從圖中可以看出,波形上下、左右呈現(xiàn)出非對(duì)稱性。

3.2.2 非線性演化過程中的譜成分比對(duì)

為進(jìn)一步研究周期波群非線性演化過程中能量的變化,因此對(duì)復(fù)波包A的譜成分(ν=±1,±3)進(jìn)行分析,NLS方程和mNLS方程的復(fù)波包譜成分振幅的變化如圖2和圖3所示。

圖2 測(cè)量值和NLS模型數(shù)值計(jì)算得到的譜成分能量的比較

圖3 測(cè)量值和mNLS模型數(shù)值計(jì)算得到的譜成分能量的比較

由圖2和圖3對(duì)比可知,NLS模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值偏差較大,mNLS模型數(shù)值計(jì)算得到的譜成分能量和試驗(yàn)測(cè)量值更加一致,雖然mNLS的數(shù)值計(jì)算的結(jié)果無法與實(shí)驗(yàn)值完全吻合,但就整體演變趨勢(shì)而言,大致與實(shí)驗(yàn)值相符合。究其不同,則是mNLS方程比NLS方程多的兩個(gè)四階項(xiàng)的作用引起的。

3.2.3 非線性演化過程中的mNLS方程五項(xiàng)模態(tài)值的變化

mNLS方程中五項(xiàng)模值隨演化距離的變化如圖4所示。

從圖4中可以看出,初始時(shí)刻控制方程中各項(xiàng)模的幅態(tài)值很小,變化幅度不大,方程的第五項(xiàng),即平均流項(xiàng)模態(tài)值接近于零,因而在初始階段該項(xiàng)的作用很小;隨著周期波群的演化,方程的各項(xiàng)模態(tài)值不斷增長;在η=6時(shí),方程第四項(xiàng)(四階項(xiàng))模態(tài)值甚至超過了方程的第三項(xiàng)(三階項(xiàng))。另外,從圖4中可以看出,η=0和η=10時(shí),控制方程的對(duì)應(yīng)的模態(tài)值比較接近。

圖4 周期波群演化過程中mNLS五項(xiàng)模態(tài)值變化

3.2.4 周期波群的長距離非線性演化

為了進(jìn)一步了解周期波群演化的整體情況,復(fù)波包振幅的時(shí)空變化如圖5所示。

由圖5可知,初始的周期波群在η=3.3附近開始分裂,而在η=11附近又重新演變成一個(gè)波群,和初始位置的波群非常接近,展示了波群演化過程中的邊帶不穩(wěn)定性。一個(gè)原始的周期波群分裂成兩個(gè)波群,幅值比較高的波群傳播得快,因此,較高的波群最終能追上較低的波群,并且合并在一起。周期波群外在波形的變化實(shí)際上是由其內(nèi)在能量的變化所決定的,圖5對(duì)應(yīng)的譜能量變化如圖6所示。

圖5 周期波群復(fù)波包絡(luò)的時(shí)空演化圖

圖6 周期波群演化過程中譜成分能量的變化

由圖6可知,在周期波群演化過程中,波群能量在各個(gè)頻率分量之間不斷傳遞,與周期波群復(fù)波包絡(luò)的時(shí)空演化是相對(duì)應(yīng)的。在η=11處各個(gè)邊帶的能量狀態(tài)和初始位置接近,近似于初始狀態(tài)的再現(xiàn),這樣就完成了第一個(gè)能量傳遞的循環(huán)。

在整個(gè)演化過程中,復(fù)波包滿足能量守恒定律,其相對(duì)誤差不大于0.15%,確保了整個(gè)模型的有效性。

4 結(jié)語

本文以控制深水波列演化的mNLS方程為基礎(chǔ),研究了周期波群的時(shí)空演化,可以得到如下結(jié)論:

1) 對(duì)于周期波群而言,mNLS方程是NLS方程的拓展,可以預(yù)測(cè)其長時(shí)間演化。相對(duì)NLS方程而言,mNLS方程的譜成分隨距離的演化與測(cè)量值更加吻合。

2) 在周期波群非線性演化過程中,四階項(xiàng)的作用非常重要,不能被忽略掉。

3) 能量在不同的譜成分之間相互傳遞,外在表現(xiàn)為周期波群的分裂與復(fù)合。

本文的數(shù)值模擬并沒有考慮阻尼、破碎等因素的影響,這些因素對(duì)與波群演化的影響也是需要下一步進(jìn)行研究的。

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Numerical Simulation on Nonlinear Evolution of the Periodic Wave Groups Based on nMLS Equation

ZHANG Benhui1SHI Aiguo1CAI Feng1WANG Xiao1ZHOU Bo2

(1. Navigation Department, Dalian Naval Academy, Dalian 116018) (2. Basic Science Department, Dalian Naval Academy, Dalian 116018)

A numerical wave model based on the modified fourth-order nonlinear Schrodinger equation(mNLS) was developed to describe the evolution of deep-water wave envelope and a split-step pseudo-spectral method was used to solve the equation, simulating nonlinear evolution of the periodic wave groups and analyzing the changes of the complex envelope amplitude, wave surface displacement, spectral component energy and modulus value in the evolutionary process. Results showed that the model can effectively simulate nonlinear evolution of the periodic wave groups.

fourth-order nonlinear Schrodinger equation, split-step pseudo-spectral method, periodic wave groups, numerical simulation

2015年1月13日,

2015年2月18日 作者簡(jiǎn)介:張本輝,男,博士研究生,研究方向:非線性海浪及艦船耐波性。石愛國,男,教授,研究方向:艦船操縱性與耐波性。蔡烽,男,博士后,副教授,研究方向:海浪非線性建模及仿真。王驍,男,博士,講師,研究方向:海浪非線性建模及仿真。周波,女,博士,副教授,研究方向:海浪譜預(yù)報(bào)。

O175; TP391

10.3969/j.issn1672-9730.2015.07.029