解博麗，王志軍

（1．中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山西 太原030051；2．中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原030051）

0 引 言

近年來(lái)，比例依賴(lài)的食餌－捕食者模型一直是重要的模型之一．為了很好地描述食餌－捕食者模型的物種之間的真正的生態(tài)相互作用，文獻(xiàn)［1］提出了下面的捕食模型并做了一定的研究．

時(shí)滯在許多生物動(dòng)力系統(tǒng)中起重要作用，尤其是在生態(tài)系統(tǒng)中，時(shí)間延誤因懷孕被包含在一些食餌－捕食者模型中．針對(duì)這種拖延對(duì)捕食系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為的影響，很多論文對(duì)此進(jìn)行了研究［2－13］．

然而，針對(duì)具有時(shí)滯的比例依賴(lài)捕食模型的動(dòng)力學(xué)行為，尤其是針對(duì)該模型的空間斑圖研究得比較少．因此，本文目標(biāo)是研究具有時(shí)滯的比率依賴(lài)捕食模型，更具體地，本論文主要研究該模型的空間斑圖．該模型由式（2）給出

式中：τ 是一個(gè)大于零的常數(shù)．

擴(kuò)散方程模型（1）降為常微分方程模型為

首先需給出系統(tǒng)（2）的初始條件為

同時(shí)假設(shè)沒(méi)有外界輸入，即Zero－flux Neumann邊界條件（零流邊界條件），那么邊界條件為

式中：Ω 是空間區(qū)域；L 表示系統(tǒng)（3）的大小為正方形域；n是邊界?Ω 的外側(cè)單位矢量．

1 模型分析

本節(jié)將討論模型（2）的穩(wěn)定性．很容易看出，模型（2）和模型（3）具有相同的平衡點(diǎn)．從生物學(xué)角度出發(fā)，關(guān)心的是正平衡點(diǎn)的性態(tài)．模型（3）的正平衡點(diǎn)為E＊＝（u＊，v＊），其中

很容易看出來(lái)，要保證u＊和v＊是正的條件為

下面主要討論正平衡點(diǎn)E＊＝（u＊，v＊）處的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．圖靈不穩(wěn)定性指的是非空間模型（3）在正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，空間模型（2）在正平衡點(diǎn)處是不穩(wěn)定的．

非空間模型（3）在正平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，由下面的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)保證

這里

這里主要研究帶有時(shí)滯和擴(kuò)散的食餌－捕食者模型的空間斑圖結(jié)構(gòu)．根據(jù)文獻(xiàn)［14－15］，假設(shè)τ足夠小，作如式（6）變換來(lái)替換v（x，y，t－τ）．

把模型（6）代入模型（2）中，得到對(duì)系統(tǒng)（7）進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)，并忽略高階非線(xiàn)性項(xiàng)，系統(tǒng)（7）變?yōu)?/p>

既然在E＊＝（u＊，v＊）處滿(mǎn)足f（u＊，v＊）＝0和g（u＊，v＊）＝0，那么在E＊＝（u＊，v＊）處，得到

系統(tǒng)（9）為

為了考察當(dāng)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E＊＝（u＊，v＊）受到小擾動(dòng)δu和δv 時(shí)系統(tǒng)的變化，令u＝u＊＋δu 和v＝v＊＋δv，得到

從（10）中，得到

當(dāng)τ很小時(shí)，系統(tǒng)（8）可以用來(lái)分析系統(tǒng)（2）的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．

假設(shè)系統(tǒng)（10）的解有如下的形式式中：λ是擾動(dòng)的增長(zhǎng)率；δu＊和δv＊表示振幅；kx和ky是波數(shù)．把方程（12）代入系統(tǒng)（11），可以得到系統(tǒng)（11）在平衡點(diǎn)E＊處的特征方程

這里

且

方程（13）的解為

空間模型（2）在正平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性，指的是tr（Jk）＜0 和det（Jk）＞0 至少有一個(gè)不滿(mǎn)足．因此，考慮以下兩種情況下的不穩(wěn)定性：

1）det（Jk）＞0是不滿(mǎn)足的；

2）tr（Jk）＜0是不滿(mǎn)足的．

1．1 由反應(yīng)擴(kuò)散引起的不穩(wěn)定性

首先考慮det（Jk）＞0是不滿(mǎn)足的．

因?yàn)棣?是一個(gè)很小的數(shù)，并且a22＝－

如果det（Jk）＞0是不滿(mǎn)足的，即det（Jk）＜0是滿(mǎn)足的，那么需要滿(mǎn)足條件Da11＋a22＞0．

通 過(guò) 得 到 det （Jk） ＝

從這個(gè)方程可以看出，det（Jk）是不依賴(lài)于τ 的，det（Jk）只和擴(kuò)散有關(guān)系．

既然對(duì)于某些k，tr（Jk）＜0是滿(mǎn)足的，從式（14）中，注意到下面的條件是必須滿(mǎn)足的：（a11＋

因此有下面的結(jié)論：對(duì)于系統(tǒng)（2），圖靈不穩(wěn)定的條件由式（17）給出

為了更好地觀察交叉擴(kuò)散的作用，畫(huà)出了色散關(guān)系圖如圖1 所示．固定參數(shù)值ε＝0．8，μ＝7．35，β＝10，τ＝0．2．從圖1 可以看出，隨著參數(shù)D 值的增加，得到了圖靈模式，即Re（λ）＞0．

圖1 方程（13）的色散關(guān)系圖Fig．1 An illustration of the dispersion relation from the equation（13）

1．2 由時(shí)滯引起的不穩(wěn)定性

考慮第二種情況，tr（Jk）＜0是不滿(mǎn)足的．

由上 述 討 論 可 以 得 到，當(dāng)（a11＋a22）＋τ（a11a12－a12a21）＞0 不等式成立時(shí)，tr（Jk）＜0是不滿(mǎn)足的．也就是說(shuō)在這種情況下，τ ＞因此在接下來(lái)的討論中，τ必須滿(mǎn)足：

如果det（Jk）＞0 是滿(mǎn)足的，那么需要條件Da11＋a22＞0 是成立的．通過(guò)得到det（Jk）＝的最小值，相應(yīng)地能得到k2的值，即．把k2c代入det（Jk）＞0，得到（Da11＋a22）2＜4D（a11a22－a12a21）．

因此有下面的結(jié)論：對(duì)于系統(tǒng)（3），不穩(wěn)定的條件由式（18）給出

2 空間斑圖

在實(shí)踐中，可以將連續(xù)形式的無(wú)限維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散形式的有限維問(wèn)題．實(shí)際上，由二維反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)所定義的連續(xù)問(wèn)題可以由M×N 格子組成的離散區(qū)域解決．每?jī)蓚€(gè)格子間的空間距離定義為步長(zhǎng)Vh．在離散系統(tǒng)中，描述擴(kuò)散的拉普拉斯算子用有限差分計(jì)算，即導(dǎo)數(shù)是Vh 上的差分逼近．當(dāng)Vh→0 時(shí)，差分就可以近似代替導(dǎo)數(shù)．時(shí)間演化也離散化，即時(shí)間步長(zhǎng)為Vt．時(shí)間演化可以用歐拉法解決，也就是說(shuō)下一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的狀態(tài)依賴(lài)前一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)．固定參數(shù)值Vh＝1，Vt＝0．01和M＝N＝200．注意到，當(dāng)Vh，Vt 減小時(shí)，模型（2）的動(dòng)力學(xué)行為不再發(fā)生任何改變．

2．1 由反應(yīng)擴(kuò)散引起的不穩(wěn)定性的斑圖

選擇滿(mǎn)足條件（17）的合適參數(shù)，并將這種情況下的斑圖稱(chēng)為圖靈斑圖．固定參數(shù)值為：ε＝0．8，μ＝7．35，β＝10，τ＝0．2，得到臨界值τc＝0．341 182 867，取τ＝0．2＜τc．這里，（u＊，v＊）＝（0．187 5，0．016 581 632 65）．

從圖2 中可以看到，初始不規(guī)則的斑圖最終演化產(chǎn)生了規(guī)則的點(diǎn)狀斑圖、條狀和點(diǎn)狀共存的斑圖、以及條狀斑圖，他們布滿(mǎn)了整個(gè)區(qū)域，且系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)不再發(fā)生改變．

圖2 食餌在空間分布的演化圖Fig．2 Evolution in the spatial distribution of the prey

2．2 由時(shí)滯引起的不穩(wěn)定性的斑圖

選擇滿(mǎn)足條件（18）的合適的參數(shù)．選擇參數(shù)為ε＝0．8，μ＝7．4，β＝10，D＝11．5，τ＝0．9，得到臨界值τc＝0．801 8，取τ＝0．9＞τc．這里，（u＊，v＊）＝（0．25，0．020 270 270 27）．

圖3 食餌u的演化圖Fig．3 Evolution diagram of the prey u

由圖3 可以看出，在一段時(shí)間之后，有相同半徑的斑點(diǎn)慢慢地占據(jù)整個(gè)域．斑圖的內(nèi)部是黑色的，因此也形象地稱(chēng)之為“黑眼斑圖”．

3 結(jié) 論

本文主要討論了具有交叉擴(kuò)散和時(shí)滯的食餌－捕食者模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．通過(guò)圖靈不穩(wěn)定性的條件，得到了兩種不同類(lèi)型的斑圖．具體地，在由反應(yīng)擴(kuò)散引起的不穩(wěn)定的條件下，即det（Jk）＜0，通過(guò)一系列的數(shù)值模擬，得到了參數(shù)空間中豐富的圖靈結(jié)構(gòu)，分別有點(diǎn)狀斑圖、條狀斑圖以及點(diǎn)狀和條狀共存的斑圖結(jié)構(gòu)．在由時(shí)滯引起的不穩(wěn)定性的條件下，即tr（Jk）＜0，通過(guò)數(shù)值模擬，得到了“黑眼斑圖”．

盡管需要更多的工作，原則上，似乎延遲和擴(kuò)散能夠產(chǎn)生多種不同的時(shí)空格局．由于這些原因，可以預(yù)測(cè)，延遲和擴(kuò)散可被視為復(fù)雜時(shí)空外觀的重要機(jī)制動(dòng)態(tài)的生態(tài)模式．

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