趙 靜 靳 慧 宮維佳

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院，南京210096)

(東南大學(xué)江蘇省高校工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

近年來鑄鋼節(jié)點(diǎn)在鋼結(jié)構(gòu)中得到越來越廣泛的應(yīng)用，并在一些重要工程中逐漸取代鋼管相貫線焊接節(jié)點(diǎn)［1］.鑄鋼節(jié)點(diǎn)的靜力分析及施工設(shè)計(jì)方面的理論已日趨成熟，在疲勞性能方面的研究也逐步豐富.國外研究較多的是橋梁工程中典型的K形鑄鋼節(jié)點(diǎn)疲勞性能［2］;在國內(nèi)，東南大學(xué)開展了鑄鋼節(jié)點(diǎn)材料和焊縫的疲勞強(qiáng)度試驗(yàn)，并就鑄鋼節(jié)點(diǎn)和焊縫的疲勞數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了研究［3-4］.

鑄鋼節(jié)點(diǎn)部分材料的勻質(zhì)性相對較差［5-6］，尤其是焊接部位或纜線結(jié)合部位［7］.此外，鑄鋼節(jié)點(diǎn)經(jīng)常會存在裂紋、縮松、氣孔等內(nèi)部或外部缺陷.宏觀缺陷均要進(jìn)行缺陷補(bǔ)修，細(xì)觀缺陷則難以被檢測到，故鑄鋼件中難免會存在初始鑄造缺陷.Hardin等［8-9］通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)細(xì)觀缺陷尺寸與材料的彈性模量成負(fù)相關(guān)性，缺陷越大，材料彈性模量越小.因此，本文采用彈性模量來反映材料鑄造缺陷.基于隨機(jī)場局部平均理論，利用彈性模量隨機(jī)場網(wǎng)格量化鑄鋼節(jié)點(diǎn)缺陷概率分布信息，計(jì)算各隨機(jī)變量敏感度，找出鑄鋼節(jié)點(diǎn)材料的重要敏感隨機(jī)區(qū)域，對隨機(jī)場網(wǎng)格進(jìn)行二次劃分.

1 鑄鋼桁架結(jié)構(gòu)有限元模型

在整體鋼桁架結(jié)構(gòu)分析過程中，一般采用梁桿單元建模方法，將鑄鋼節(jié)點(diǎn)簡化為1 個節(jié)點(diǎn)，并未考慮鑄鋼材料的隨機(jī)性.如要反映節(jié)點(diǎn)的材料和幾何信息，則需建立包含局部節(jié)點(diǎn)的精細(xì)模型，即梁單元構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)殼單元構(gòu)件之間的連接為剛性連接，從位移協(xié)調(diào)的角度出發(fā)，在跨層次界面處建立節(jié)點(diǎn)位移約束方程來滿足位移協(xié)調(diào)性［10］.采用剛性區(qū)域法建立包含鑄鋼節(jié)點(diǎn)局部細(xì)節(jié)的鋼桁架跨層次有限元模型(見圖1).腹桿與梁采用BEAM188 單元，通過共節(jié)點(diǎn)連接.圖1(a)中包含16 個1#截面梁單元、24 個2#截面梁單元、8 個3#截面梁單元、12 個4#截面梁單元.鑄鋼節(jié)點(diǎn)位于下弦桿中間，采用SHELL63 單元，支管厚度為10 mm，主管厚度為12 m，共計(jì)3 499 個殼單元(見圖1(c)).均布荷載q=33.333 kN/m，加在上弦桿上，方向如圖1(a)所示，桁架兩端約束為鉸接.

2 結(jié)構(gòu)性能對鑄鋼節(jié)點(diǎn)彈性模量的敏感性分析

2.1 橫向敏感性分析

圖1 整體結(jié)構(gòu)有限元模型(單位:mm)

橫向?qū)Ρ仁侵歌T鋼材料和鋼梁鋼管材料之間的對比.E1為結(jié)構(gòu)中鋼梁鋼管構(gòu)件的彈性模量，帶有鑄造缺陷的鑄鋼節(jié)點(diǎn)的材料用彈性模量E2來描述.根據(jù)參考文獻(xiàn)［8］中含鑄造缺陷最多的鑄鋼彈性模量數(shù)值統(tǒng)計(jì)，設(shè)E2為服從均值為1.44 GPa、變異系數(shù)為0.16 的正態(tài)分布隨機(jī)變量，并設(shè)E1為服從均值為2.10 GPa、變異系數(shù)為0.05 的正態(tài)分布隨機(jī)變量［11］.

結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力及最大彎曲應(yīng)力可以反映結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度性能，結(jié)構(gòu)的最大位移可反映結(jié)構(gòu)的剛度性能，結(jié)構(gòu)中壓桿的壓應(yīng)力可反映結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性性能.本文中，通過鋼桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，最大等效應(yīng)力、最大彎曲應(yīng)力、最大位移及壓桿最大應(yīng)力分別位于圖2中A，B，C，D 點(diǎn).在蒙特卡洛模擬計(jì)算中，以結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力Ss、最大彎曲應(yīng)力Sb、最大位移d、壓桿最大應(yīng)力Sp為輸出變量，考察各輸出變量對結(jié)構(gòu)的2 種鋼材E1，E2隨機(jī)性的敏感度.蒙特卡洛模擬次數(shù)為500 次，模擬結(jié)束后各輸出變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均趨于平穩(wěn)，模擬次數(shù)滿足敏感性分析的要求.

圖2 各輸出變量位置

E2與E1的敏感度對比分析結(jié)果見圖3.由圖可知，Ss，Sb，Sp對E2的敏感度約為對E1的3 倍.因此，鑄鋼材料彈性模量的隨機(jī)性是影響結(jié)構(gòu)整體性能的不可忽略的因素.

圖3 輸出變量對E1，E2 的敏感度

2.2 縱向敏感性分析

縱向敏感性分析是指保持其他變量不變的情況下，只研究某一變量的靈敏度影響因素.此處，保持E1不變，通過改變鑄鋼彈性模量的均值uE2和變異系數(shù)v 來研究鑄鋼節(jié)點(diǎn)的材料隨機(jī)性對結(jié)構(gòu)性能的影響.為方便研究各因素對結(jié)構(gòu)安全性影響的變化趨勢，取結(jié)構(gòu)失效概率f 為參照.設(shè)結(jié)構(gòu)等效應(yīng)力臨界值為135.1 MPa，彎曲應(yīng)力臨界值為34.17 MPa，位移臨界值為－4.75 mm，壓桿壓應(yīng)力臨界值為－94.5 MPa.試驗(yàn)中，取uE2=1.97，1.70，1.44 GPa，v=0.08，0.09，0.10，0.11，0.12，0.13，0.14，0.15，0.16，對由此組合而成的27 種工況進(jìn)行模擬計(jì)算.繪制概率密度曲線時，選取uE2=1.97，1.70，1.44 GPa，v=0.08，0.12，0.16 時組合而成的9 種工況.

最大等效應(yīng)力Ss的失效概率密度曲線見圖4(a).由圖可知，當(dāng)變異系數(shù)v 一定時，鑄鋼彈性模量均值uE2越大，最大等效應(yīng)力Ss越大，而失效概率f 則可能增大也可能減小;因?yàn)閺椥阅Ａ吭龃髸r，Ss雖然增大，但如果材料的許用應(yīng)力增大程度大于Ss的增大程度，也可能會導(dǎo)致失效概率減小，反之則可能導(dǎo)致失效概率增大.Ss的失效概率與變異系數(shù)關(guān)系見圖5(a).由圖可知，3 種情況下uE2=1.70 GPa 時，失效概率f 隨變異系數(shù)v 增大的程度更明顯.

圖4 失效概率密度曲線

圖5 失效概率與變異系數(shù)關(guān)系

最大彎曲應(yīng)力Sb的失效概率密度曲線見圖4(b).由圖可知，變異系數(shù)v 一定時，鑄鋼彈性模量均值uE2越大，最大彎曲應(yīng)力Sb越大，失效概率f也隨之變大.由圖5(b)可看出，當(dāng)uE2=1.97，1.70 GPa 時，失效概率f 隨變異系數(shù)v 增大的程度較uE2=1.44 GPa 時明顯.

最大位移d 的失效概率密度曲線見圖4(c).由圖可知，當(dāng)變異系數(shù)v 一定時，鑄鋼節(jié)點(diǎn)彈性模量均值uE2越大，最大位移d 越大，失效概率f 則越小.由圖5(c)可知，當(dāng)uE2=1.97，1.70 GPa 時，失效概率f 隨變異系數(shù)v 增大而增大;當(dāng)uE2=1.44 GPa 時，失效概率f 隨變異系數(shù)v 增大而減小.

由圖4(d)和圖5(d)可知，鑄鋼彈性模量對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響和其對結(jié)構(gòu)剛度的影響類似.

由以上分析可知，鑄鋼材料的隨機(jī)性對結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性性能影響較大，需要探討考慮鑄鋼材料隨機(jī)性的鋼結(jié)構(gòu)隨機(jī)分析方法.

3 鑄鋼節(jié)點(diǎn)材料隨機(jī)場分析

鑄鋼節(jié)點(diǎn)初始缺陷的概率分布隨位置變化而變化，具有隨機(jī)場的特點(diǎn)［6］.Ma 等［7］通過對X 形鑄鋼節(jié)點(diǎn)進(jìn)行高精度無損檢測發(fā)現(xiàn)，鑄鋼節(jié)點(diǎn)支管與主管的相貫線附近約50 mm 區(qū)域內(nèi)缺陷分布密度和大小遠(yuǎn)大于其他區(qū)域.Hardin 等［8］對3 組缺陷程度不同的鑄鋼材料試件進(jìn)行單軸拉伸以及疲勞實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)缺陷的密度、大小與材料的等效彈性模量成負(fù)相關(guān)，缺陷越大，材料彈性模量越小.因此，本文采用等效彈性模量隨機(jī)場來表征鑄造缺陷的隨機(jī)性.

隨機(jī)場的離散方法主要包括中心離散法、局部平均法、插值法、局部積分法和正交展開法［13-14］.其中，局部平均法對原始數(shù)據(jù)的要求較低，是一種有效的隨機(jī)場離散方法，可將連續(xù)分布的隨機(jī)場根據(jù)隨機(jī)場網(wǎng)格離散為一系列隨機(jī)變量.

Vanmarcke 等［15］在關(guān)于一個懸臂梁結(jié)構(gòu)的隨機(jī)場分析中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隨機(jī)場離散后的隨機(jī)變量相關(guān)時，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差略大于隨機(jī)場獨(dú)立時的方差，這與理論分析結(jié)果一致.鑄鋼節(jié)點(diǎn)作為局部子結(jié)構(gòu)，其彈性模量隨機(jī)場離散后的隨機(jī)變量的相關(guān)性對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響可以忽略.基于局部平均理論，采用相互獨(dú)立的彈性模量隨機(jī)場網(wǎng)格描述鑄鋼節(jié)點(diǎn)缺陷隨機(jī)性.

本文中，將初始隨機(jī)場劃分為面積大小基本相同的32 個網(wǎng)格，即彈性模量隨機(jī)場離散為32 個隨機(jī)變量(見圖6).相貫線處缺陷出現(xiàn)概率最大位置的隨機(jī)變量，E19，E20，E23～E32的均值為1.70 GPa，其他隨機(jī)變量均值為1.97 GPa，變異系數(shù)統(tǒng)一設(shè)為0.16.

圖6 鑄鋼節(jié)點(diǎn)初始隨機(jī)場網(wǎng)格

對整體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行蒙特卡洛模擬，得到結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性對各隨機(jī)變量的敏感度，根據(jù)敏感度對隨機(jī)場網(wǎng)格進(jìn)行二次劃分.

3.1 基于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析的隨機(jī)場網(wǎng)格二次劃分

以最大等效應(yīng)力Ss為輸出變量，隨機(jī)場網(wǎng)格的隨機(jī)變量敏感度見表1.根據(jù)輸出變量對隨機(jī)變量的敏感度和權(quán)重，合并敏感度相近的網(wǎng)格.將32個隨機(jī)變量簡化為3 個等級的隨機(jī)變量和1 個確定性變量(無等級劃分)，得到一個更粗的隨機(jī)場網(wǎng)格(見圖7).重新劃分的隨機(jī)場網(wǎng)格考慮了不同位置隨機(jī)變量對結(jié)果影響的重要程度，較粗的隨機(jī)場網(wǎng)格減少了隨機(jī)變量的數(shù)量，從而減少了隨機(jī)有限元計(jì)算量.

影響最大等效應(yīng)力Ss的重要隨機(jī)網(wǎng)格位于主管受拉區(qū)和相貫線處，其中主管受拉部位的敏感度都為負(fù)值，表明Ss和失效概率隨主管受拉部位的彈性模量(E4，E16，E18，E19)增大而減小;相貫線部位的敏感度有正值也有負(fù)值，這是因?yàn)閺椥阅Ａ吭龃髸r，Ss雖然增大，但如果材料的許用應(yīng)力增大程度大于Ss增大程度，就可能導(dǎo)致失效概率減小，反之則可能導(dǎo)致失效概率變大.

表1 Ss 對隨機(jī)場的敏感度及等級劃分

圖7 基于結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析的隨機(jī)場網(wǎng)格

3.2 基于結(jié)構(gòu)剛度分析的隨機(jī)場網(wǎng)格二次劃分

以最大位移d 為輸出變量，隨機(jī)場網(wǎng)格的隨機(jī)變量敏感度見表2，基于結(jié)構(gòu)剛度分析的隨機(jī)場網(wǎng)格二次劃分見圖8.由此可知，影響d 的隨機(jī)網(wǎng)格主要位于主管受拉區(qū)與鋼管連接處，且該區(qū)域的彈性模量(E16，E17，E18，E19，E20，E21，E3，E23，E2-2)越大，d 越小，失效概率也越小.

表2 d 對隨機(jī)場的敏感度及等級劃分

圖8 基于結(jié)構(gòu)剛度分析的隨機(jī)場網(wǎng)格

3.3 鑄鋼節(jié)點(diǎn)材料隨機(jī)場對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響

以壓桿最大應(yīng)力Sp為輸出變量，隨機(jī)場網(wǎng)格的隨機(jī)變量敏感度見表3，基于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的隨機(jī)場網(wǎng)格二次劃分見圖9.由此可知，影響Sp的隨機(jī)場網(wǎng)格主要位于主管受拉區(qū)，Sp的絕對值隨彈性模量的增大而減小，失穩(wěn)概率隨彈性模量E21和E20的增大而減小.

表3 Sp 對隨機(jī)場的敏感度及等級劃分

圖9 基于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的隨機(jī)場網(wǎng)格

4 結(jié)論

1)計(jì)算了包含鑄鋼節(jié)點(diǎn)的鋼桁架結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度及穩(wěn)定性對鑄鋼節(jié)點(diǎn)彈性模量的敏感度，并進(jìn)行了橫向敏感性分析和縱向敏感性分析.結(jié)果表明，鑄鋼材料的隨機(jī)性是影響含鑄鋼節(jié)點(diǎn)鋼結(jié)構(gòu)性能的重要因素.當(dāng)鑄鋼彈性模量均值為1.70 GPa 時，變異系數(shù)對結(jié)構(gòu)失效概率的影響較明顯.

2)根據(jù)鋼桁架結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性對鑄鋼材料隨機(jī)場離散后各隨機(jī)變量的敏感度，對隨機(jī)場網(wǎng)格進(jìn)行二次劃分，得出能反映隨機(jī)因素空間位置重要度的隨機(jī)場網(wǎng)格，減少了結(jié)構(gòu)隨機(jī)有限元計(jì)算量.鑄鋼節(jié)點(diǎn)主管下側(cè)受拉部位的材料隨機(jī)性對結(jié)構(gòu)剛度和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響較大，主管與支管相貫線部位的材料隨機(jī)性對結(jié)構(gòu)強(qiáng)度影響較大，這些區(qū)域應(yīng)盡量提高鑄造質(zhì)量，在模擬時可以有針對性地在該區(qū)域重點(diǎn)建模和細(xì)化隨機(jī)場網(wǎng)格，以提高計(jì)算效率和精度.

References)

［1］ 趙才其.南通體育會展中心關(guān)鍵力學(xué)問題的理論分析及試驗(yàn)研究［D］.南京:東南大學(xué)土木工程學(xué)院，2009.

［2］ Haldimann-Sturm S C，Nussbaumer A.Fatigue design of cast steel nodes in tubular bridge structures［J］.International Journal of Fatigue，2008，30(3):528-537.

［3］ 靳慧，李菁，李愛群.波浪載荷下海中觀光塔鑄鋼節(jié)點(diǎn)疲勞強(qiáng)度驗(yàn)算［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，45(5):692-697.Jin Hui，Li Jing，Li Aiqun.Checking calculation of fatigue strength for cast steel joints of offshore tour tower under wave loads ［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2010，45(5):692-697.(in Chinese)

［4］ Jin H，Li J，Mo J，et al.Fatigue of girth butt weld for cast steel node connection in tower structure under wave loadings［J］.The Structural Design of Tall and Special Buildings，2014，23(15):1119-1140.

［5］ 趙憲忠，沈祖炎，陳以一.建筑用鑄鋼節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)的若干關(guān)鍵問題［J］.結(jié)構(gòu)工程師，2009，25(4):11-18.Zhao Xianzhong，Shen Zuyan，Chen Yiyi.Some key techniques for the design of connections of structural steel casting［J］.Structural Engineers，2009，25(4):11-18.(in Chinese)

［6］ 蔡建國，馮健，顧洪波，等.大型鑄鋼節(jié)點(diǎn)的工程應(yīng)用和分析［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2008，23(4):14-17.Cai Jianguo，F(xiàn)eng Jian，Gu Hongbo，et al.Practical application and analysis of complex cast-steel joint［J］.Steel Construction，2008，23(4):14-17.(in Chinese)

［7］ Ma A，Sharp J V.Fatigue design of cast steel nodes in offshore structures based on research data［J］.Proceedings of the ICE—Water Maritime and Energy，1997，124(2):112-126.

［8］ Hardin R A，Beckermann C.Prediction of the fatigue life of cast steel containing shrinkage porosity［J］.Metallurgical and Materials Transactions A，2009，40(3):

581-597 .

［9］ Sigl K M，Hardin R A，Stephens R I，et al.Fatigue of 8630 cast steel in the presence of porosity［J］.International Journal of Cast Metals Research，2004，17(3):130-146.

［10］ Reh S，Beley J D，Mukherjee S，et al.Probabilistic finite element analysis using ANSYS ［J］.Structural Safety，2006，28(1):17-43.

［11］ 湯軼群，李兆霞.強(qiáng)載荷下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)與損傷的跨尺度分析方法［J］.振動與沖擊，2012，31(23):16-25.Tang Yiqun，Li Zhaoxia.Damage and dynamic response analysis for structures under strong loads with a stran-scale modeling［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(23):16-25.(in Chinese)

［12］ 聶討東.重慶江北機(jī)場鑄鋼節(jié)點(diǎn)可靠性分析與響應(yīng)面法實(shí)現(xiàn)［D］.重慶:重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，2006.

［13］ 劉寧，呂泰仁.隨機(jī)有限元及其工程應(yīng)用［J］.力學(xué)進(jìn)展，1995，25(1):114-126.Liu Ning，Lü Tairen.Stochastic finite element and engineering application ［J］.Advances in Mechanics，1995，25(1):114-126.(in Chinese)

［14］ 陳虬，劉先斌.隨機(jī)有限元法及其工程應(yīng)用［M］.成都:西南交通大學(xué)出版社，1993:41-55.

［15］ Vanmarcke E，Grigoriu M.Stochastic finite element analysis of simple beams［J］.Journal of Engineering Mechanics，1983，109(5):1203-1214.