朱麗莎， 張義民， 杜尊令

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽(yáng)，110819) (2.沈陽(yáng)機(jī)床股份有限公司中捷立式加工中心 沈陽(yáng)，110141)

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壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)可靠性靈敏度設(shè)計(jì)*

朱麗莎1， 張義民1， 杜尊令2

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 沈陽(yáng)，110819) (2.沈陽(yáng)機(jī)床股份有限公司中捷立式加工中心 沈陽(yáng)，110141)

為了對(duì)壓縮機(jī)類復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行可靠性靈敏度設(shè)計(jì)，探討可靠度與基本隨機(jī)變量之間的關(guān)系，得到不同隨機(jī)變量對(duì)可靠性的影響程度。通過(guò)引入隔離裕度和放大因子的概念，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的基礎(chǔ)上，預(yù)測(cè)系統(tǒng)實(shí)際隔離裕度與許用隔離裕度。首先，根據(jù)許用隔離裕度不超過(guò)實(shí)際的隔離裕度的關(guān)系準(zhǔn)則，針對(duì)壓縮機(jī)類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提出了一種基于共振失效的振動(dòng)可靠性模型；然后，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型代替了有限元模型建立了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度與基本隨機(jī)變量的強(qiáng)非線性關(guān)系；最后，以某齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例，應(yīng)用可靠性設(shè)計(jì)理論求解某轉(zhuǎn)子系統(tǒng)危險(xiǎn)位置的可靠度，應(yīng)用可靠性靈敏度理論得到了系統(tǒng)均值靈敏度和方差靈敏度。

可靠性； 隔離裕度； 靈敏度； 振動(dòng)； 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

引 言

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性研究是近代機(jī)械領(lǐng)域研究的熱門(mén)課題。目前，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性建模，主要分為如下幾類：a.基于碰摩失效的可靠性模型,轉(zhuǎn)子的特殊位置在工作狀態(tài)下由于振動(dòng)超限造成與定子之間的碰撞摩擦，如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量慢變[1]、不對(duì)中[2-3]和油膜振蕩失穩(wěn)[4-5]都會(huì)造成系統(tǒng)失效；b.基于疲勞失效的可靠性模型,轉(zhuǎn)子由于受到復(fù)合應(yīng)力的作用產(chǎn)生疲勞破壞，在大量疲勞強(qiáng)度分布試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，采用應(yīng)力-強(qiáng)度可靠性分析方法，對(duì)疲勞壽命進(jìn)行估算[6]；c.基于頻率干涉的可靠性模型[7],根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率與激振頻率差的絕對(duì)值不超過(guò)規(guī)定值的關(guān)系準(zhǔn)則，定義了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)共振問(wèn)題的可靠性模式和系統(tǒng)的可靠度；d.基于裂紋失效的轉(zhuǎn)子可靠性模型。胥建群等[8]基于斷裂力學(xué)的理論對(duì)汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了概率分析，將裂紋擴(kuò)展速率、初始裂紋尺寸和應(yīng)力變化幅值考慮成獨(dú)立隨機(jī)變量，對(duì)含有初始缺陷的汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行了壽命預(yù)測(cè)。

參照美國(guó)石油協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)，筆者提出了一種基于共振失效的振動(dòng)可靠性模型。此模型引入了隔離裕度和放大因子(amplification factor,簡(jiǎn)稱AF)的概念，通過(guò)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)曲線計(jì)算出實(shí)際的隔離裕度和許用的隔離裕度。根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的許用隔離裕度不超過(guò)實(shí)際的隔離裕度的關(guān)系準(zhǔn)則，建立了系統(tǒng)的可靠性模型，并基于Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩方法，選取某轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的危險(xiǎn)位置進(jìn)行了可靠性求解與可靠性靈敏度設(shè)計(jì)。

1 共振失效機(jī)理

API617是美國(guó)石油學(xué)會(huì)針對(duì)石油、化學(xué)和氣體工業(yè)用的軸流類、離心類壓縮機(jī)以及膨脹機(jī)-壓縮機(jī)的整體設(shè)計(jì)、試驗(yàn)、安裝和維護(hù)等制定的標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)API617中動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)的要求，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在橫向振動(dòng)分析過(guò)程中，有兩種情況會(huì)發(fā)生共振：a.放大因子大于等于2.5；b.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的實(shí)際隔離裕度小于許用的隔離裕度。兩種情況同時(shí)發(fā)生則認(rèn)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生了共振失效。

1.1 放大因子AF的計(jì)算方法

轉(zhuǎn)子第1階臨界轉(zhuǎn)速處，放大因子AF定義為

(1)

圖1 放大因子計(jì)算示意圖Fig.1 The calculation diagram of amplification factor

放大因子AF的計(jì)算示意圖如圖1所示，并不代表任何實(shí)際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。圖中：Nc1為轉(zhuǎn)子第1階臨界轉(zhuǎn)速，中心頻率，單位r/min；Ac1為在Nc1處的振幅；Ncn為轉(zhuǎn)子第n階臨界轉(zhuǎn)速；Acn為在Ncn處的振幅；N1為0.707倍振幅峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的初始轉(zhuǎn)速；N2為0.707倍振幅峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的終止轉(zhuǎn)速；N2-N1為在“半功率”點(diǎn)峰值寬度；SM為隔離裕度；CRE為臨界響應(yīng)區(qū)。

1.2 許用隔離裕度SM′的計(jì)算方法

1) 如果在某一臨界轉(zhuǎn)速處的AF<2.5，說(shuō)明該響應(yīng)在此臨界轉(zhuǎn)速下不會(huì)發(fā)生振動(dòng)，因此不需要計(jì)算隔離裕度。

2) 如果在某一臨界轉(zhuǎn)速處的AF≥2.5，并且此臨界轉(zhuǎn)速低于工作時(shí)的最小轉(zhuǎn)速，該SM′(作為最小轉(zhuǎn)速的百分?jǐn)?shù))用式(1)計(jì)算，得到的值與16相比，取較小者。最小轉(zhuǎn)速為工作轉(zhuǎn)速的85%。

(2)

3) 如果在某一臨界轉(zhuǎn)速處的AF≥2.5，并且此臨界轉(zhuǎn)速高于工作時(shí)的最大連續(xù)轉(zhuǎn)速，該SM′(作為最大連續(xù)轉(zhuǎn)速的百分?jǐn)?shù))用式(2)計(jì)算，得到的值與26相比，取較小者。最大連續(xù)轉(zhuǎn)速取工作轉(zhuǎn)速的115%。

(3)

1.3 實(shí)際隔離裕度SM的計(jì)算方法

實(shí)際隔離裕度與工作轉(zhuǎn)速和臨界轉(zhuǎn)速有關(guān)，分為兩種情況。

1) 當(dāng)工作轉(zhuǎn)速Nw小于某一臨界轉(zhuǎn)速Ncn，則實(shí)際隔離裕度為

(4)

其中:Nwmax為最大連續(xù)工作轉(zhuǎn)速，為工作轉(zhuǎn)速Nw的115%。

2) 當(dāng)工作轉(zhuǎn)速Nw大于某一臨界轉(zhuǎn)速Ncn，則實(shí)際隔離裕度為

(5)

其中：Nwmin為最小連續(xù)工作轉(zhuǎn)速，為工作轉(zhuǎn)速Nw的85%。

在確定了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速以及振動(dòng)響應(yīng)曲線后，就可以計(jì)算出系統(tǒng)的放大因子(AF)、實(shí)際隔離裕度(SM)和許用隔離裕度(SM′)，進(jìn)一步判斷系統(tǒng)是否失效，流程圖如圖2所示。

圖2 程序流程圖Fig.2 Program flow chart

2 可靠性與可靠性靈敏度分析

2.1 極限狀態(tài)方程

當(dāng)計(jì)算的隔離裕度大于規(guī)定的隔離裕度時(shí)，系統(tǒng)安全，反之則系統(tǒng)發(fā)生共振失效。因此，當(dāng)工作轉(zhuǎn)速低于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，極限狀態(tài)方程的表示為兩種形式。

1)SM′<26時(shí)

(6a)

2)SM′>26時(shí)

(6b)

當(dāng)工作轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，極限狀態(tài)方程的表示為兩種形式。

1)SM′<16時(shí)

(6c)

2)SM′>16時(shí)

(6d)

其中：X為由系統(tǒng)基本參數(shù)組成的隨機(jī)變量向量。

采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)[9]可以模擬得到函數(shù)Ncn(X)，N1(X)，N2(X)與基本隨機(jī)變量的關(guān)系式，進(jìn)而得到極限狀態(tài)方程g(X)與基本隨機(jī)變量之間的非線性顯性關(guān)系式。

2.2 可靠性設(shè)計(jì)

根據(jù)概率論和隨機(jī)攝動(dòng)法的相關(guān)知識(shí)，狀態(tài)函數(shù)g(·)的前四階矩[2-4]為

其中：C3和C4分別表示隨機(jī)向量的三階中心矩和四階中心矩;(*)k=(*)?(*)?…(*)為(*)的kronecker冪。

可靠性指標(biāo)定義為

(11)

根據(jù)Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩技術(shù)，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠度計(jì)算公式為

R(β)=P(SM≥SM′)=P(g(X)≥0)=1-F(-β)

(12)

函數(shù)F(·)的表達(dá)式可以根據(jù)Edgeworth級(jí)數(shù)展開(kāi)為

(13)

其中：y=-β；Ф(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；θg，ηg分別為狀態(tài)函數(shù)的三階矩和四階矩；Hi(y)為i階Hermite多項(xiàng)式，其遞推關(guān)系為

(14)

2.3 可靠性靈敏度設(shè)計(jì)

可靠度對(duì)基本隨機(jī)變量均值的靈敏度為

(15)

(16)

其中：In為n×n維單位矩陣;Un×n為置換矩陣;其維數(shù)為n2×n2并且每行和每列只有一個(gè)元素“1”;“?”表示向量矩陣之間的Kronecker乘積。

可靠度對(duì)基本隨機(jī)變量方差的靈敏度為

(17)

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)因素往往很多，而且各因素對(duì)結(jié)構(gòu)失效的影響程度又各不相同，影響可靠性的因素之間存在單位不統(tǒng)一的問(wèn)題，因此需要將可靠性靈敏度進(jìn)行無(wú)量綱化，表示為

(18)

(19)

3 算 例

某齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸承處的不平衡響應(yīng)曲線如圖3所示。

當(dāng)臨界轉(zhuǎn)速低于工作轉(zhuǎn)速時(shí)，定義左軸承處共振失效的極限狀態(tài)方程為

(20)

其中：X為由系統(tǒng)基本參數(shù)組成的隨機(jī)變量向量，X=[β,α,L,k,U]T各個(gè)基本隨機(jī)變量的前四階矩如表1所示；工作轉(zhuǎn)速Nw假設(shè)為基本隨機(jī)變量，和Nc1(X),N1(X),N2(X)函數(shù)均不相關(guān)。

圖3 軸承處的不平衡響應(yīng)曲線Fig.3 Unbalance response curve of bearing

表1 基本隨機(jī)變量的前四階矩

將均值代入式(17)可以得到系統(tǒng)的實(shí)際隔離裕度與要求的隔離裕度分別為SM=22.201 5；SM′=10.078 1。

因此在隨機(jī)變量取均值時(shí)，系統(tǒng)是安全的。

有限元模型較復(fù)雜，用一次確定性的有限元模型進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)，假設(shè)做106次隨機(jī)抽樣，則需要大約54 Y的時(shí)間，這是不符合實(shí)際的。因此，筆者在有限樣本的基礎(chǔ)上，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型代替有限元模型，基于矩方法和Edgeworth級(jí)數(shù)方法進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用5-8-1的形式，隨機(jī)抽樣共進(jìn)行100次的拉丁超立方試驗(yàn)，在達(dá)到允許誤差后，得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以代替有限元模型。在基本隨機(jī)變量均值附近重新設(shè)計(jì)20組檢驗(yàn)樣本，將檢驗(yàn)樣本分別帶入有限元模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，極限狀態(tài)函數(shù)誤差如圖4所示。

圖4 有限元模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)比結(jié)果Fig.4 Comparison of the results between FEM and ANN model

3.1 可靠度計(jì)算

基于Edgeworth級(jí)數(shù)和四階矩方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可靠度求解，得到系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生共振失效的概率。

可靠性指標(biāo)為β=3.108 2；可靠度為RE=0.999 278。采用蒙特卡洛抽樣方法[10]計(jì)算，模擬次數(shù)為N=100萬(wàn)次，得到的可靠度為RMCS=0.996 367(N=106)。

通過(guò)Edgeworth級(jí)數(shù)方法得到的可靠度RE與采用蒙特卡洛法得到的可靠度RMCS的誤差為

通過(guò)計(jì)算得知，采用Edgeworth級(jí)數(shù)方法計(jì)算可靠度與蒙特卡洛方法的結(jié)果誤差很小，吻合程度高。但若計(jì)算過(guò)程全部采用蒙特卡洛方法效率低，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Edgeworth級(jí)數(shù)結(jié)合的方法可以大大提高計(jì)算效率[11]。此方法還可以計(jì)算系統(tǒng)對(duì)基本隨機(jī)變量的可靠性靈敏度。

3.2 可靠性靈敏度計(jì)算

可靠性對(duì)基本隨機(jī)參數(shù)向量Xi均值和方差的靈敏度無(wú)量綱化后分別表示為

通過(guò)計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著均值的增加，系統(tǒng)可靠度增加的基本隨機(jī)變量為中心距、不平衡量和工作轉(zhuǎn)速。隨著均值的增加,系統(tǒng)可靠度降低的基本隨機(jī)變量為螺旋角、方位角和嚙合剛度。

根據(jù)各參數(shù)無(wú)量綱后的均值和方差的計(jì)算結(jié)果畫(huà)出靈敏度的直方圖如圖5，6所示。通過(guò)直方圖可以形象直觀地看到，對(duì)系統(tǒng)可靠度影響最大的參數(shù)為工作轉(zhuǎn)速，其次為中心距、方位角、不平衡、螺旋角及嚙合剛度。

圖5 可靠度對(duì)基本隨機(jī)變量均值的靈敏度Fig.5 Reliability sensitivity to the mean value of parameters

圖6 可靠度對(duì)基本隨機(jī)變量方差的靈敏度Fig.6 Reliability sensitivity to the variance of parameters

4 結(jié) 論

1) 筆者提出的共振失效依據(jù)API標(biāo)準(zhǔn)在工作轉(zhuǎn)速臨近臨界轉(zhuǎn)速的工況下，根據(jù)響應(yīng)結(jié)果曲線進(jìn)行的二次判定。此方法適用于壓縮機(jī)和膨脹機(jī)類的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建立失效判據(jù)。

2) 用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型代替有限元模型，可以降低求解樣本的時(shí)間，為大型復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性求解提供了有效的解決途徑。

3) 對(duì)實(shí)際樣本數(shù)量不足以統(tǒng)計(jì)確定概率分布的情況，基于矩方法和Edgeworth級(jí)數(shù)的可靠性設(shè)計(jì)，可以快速準(zhǔn)確得到系統(tǒng)可靠度、均值靈敏度和方差靈敏度以及各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響排序；針對(duì)壓縮機(jī)類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在實(shí)際工作中最需要注意工作參數(shù)、其次是制造和安裝參數(shù)，最后是嚙合參數(shù)。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.019

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(U1234208);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(N120303002)；遼寧省科技資助項(xiàng)目(20131032)

2013-11-22；

2014-02-27

TB122; TB114.3; TB123

朱麗莎，女，1986年12月生，博士生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械可靠性設(shè)計(jì)。曾發(fā)表《直齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)可靠性研究》(《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》 2013年第33卷第2期)等論文。 E-mail：neulisachu@163.com