劉 寶 周奇鄭

(海軍工程大學(xué) 武漢 430033)

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計(jì)算薄板輻射聲功率的波疊加原理應(yīng)用*

劉 寶 周奇鄭

(海軍工程大學(xué) 武漢 430033)

給出了利用基于體積速度匹配的波疊加原理計(jì)算薄板輻射聲功率的方法。該方法在獲得薄板表面振動(dòng)速度以后,通過線性化的歐拉方程建立虛擬聲源強(qiáng)度與單元體積振速的代數(shù)方程,求解虛擬聲源的強(qiáng)度,獲得薄板的輻射聲功率。文中以簡(jiǎn)支矩形有障薄板為例進(jìn)行了聲功率求取,并與解析法獲得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,表明波疊加計(jì)算法不需要獲得結(jié)構(gòu)的輻射阻就可以使用較少的單元數(shù)目獲得較高的計(jì)算精度,從而提高了計(jì)算效率。

波疊加; 虛擬聲源; 聲輻射; 輻射聲功率

Class Number O348.8

1 引言

結(jié)構(gòu)的輻射聲功率的確定一直是聲學(xué)界關(guān)注的主要問題,對(duì)結(jié)構(gòu)的聲優(yōu)化設(shè)計(jì)等具有重要意義。通常需要運(yùn)用數(shù)值方法分析輻射體的振動(dòng)特性,獲得逼近真實(shí)結(jié)構(gòu)表面的振速,并運(yùn)用有限元/邊界元(FEM/BEM)進(jìn)行輻射聲場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算[1～4],但上述方法都存在不足,如邊界元存在著表面奇異積分問題。為了克服上述方法的不足,Koopmann于1989年提出了波疊加原理[5～6],即結(jié)構(gòu)外輻射的聲場(chǎng)可以采用結(jié)構(gòu)內(nèi)虛擬聲源的和函數(shù)形式表示,并利用此原理求得了結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。由于聲源所在的曲面與結(jié)構(gòu)的表面不重合,從而避免了奇異性積分問題,計(jì)算上簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn)。向陽、Koopmann利用波疊加原理獲得了剛性球面上的活塞源、脈動(dòng)球源的表面聲壓,并進(jìn)一步討論了通過實(shí)驗(yàn)獲得結(jié)構(gòu)表面振速的條件下單元、節(jié)點(diǎn)數(shù)目以及形狀對(duì)算法效率與精度的影響[7～8]。本文以四邊簡(jiǎn)支的矩形有障薄板為例,介紹了基于單元體積速度匹配的波疊加原理,并給出了利用波疊加原理計(jì)算薄板的平均輻射聲功率的方法,討論了波疊加計(jì)算法對(duì)于離散單元數(shù)目的敏感性。

2 板模型及表面振速

為了說明利用波疊加原理計(jì)算薄板輻射聲功率的求解過程,本文以四邊簡(jiǎn)支的矩形有障薄板為例進(jìn)行說明。設(shè)板的密度為ρs,它沿x、y軸方向的長(zhǎng)度分別為a、b,板的厚度為h,且位于平面z=0上。z≥0的半空間內(nèi)充滿密度為ρf的輕介質(zhì),板由于外力的作用振動(dòng)并向該半空間內(nèi)輻射聲功率。z<0的半空間為真空狀態(tài)。如圖1所示。由于與板接觸的介質(zhì)為輕介質(zhì),因此忽略介質(zhì)對(duì)板所產(chǎn)生的聲壓作用。

圖1 薄板坐標(biāo)示意圖

對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)支矩形薄板,板的振速可以表示為振動(dòng)模態(tài)的線性疊加:

(1)

上式表示成矩陣形式為

(2)

式中,Amn為相應(yīng)于振動(dòng)模態(tài)的待定系數(shù)。ψmn(x,y)=sin(mπxa)sin(nπy)表示板的(m,n)階振動(dòng)模態(tài)。

考慮一個(gè)點(diǎn)力F作用在板面(x0,y0)處,則由文獻(xiàn)[9]可知:

(3)

3 基于體積速度匹配的波疊加計(jì)算法

離散薄板的表面S為N個(gè)面積為Sμ(1≤μ≤N)的單元,記單元μ的體積振速uμ為單元μ上的法向速度之和,即

(4)

將式(1)代入上式可得

(5)

上式表示成矩陣形式為

u=ΦA(chǔ)

(6)

離散的單元根據(jù)其表面振速總可以分為類似活塞振速的聲源和零體積振速的聲源。如圖2、圖3所示。

圖2 類似活塞的聲源部分

圖3 零體積振速的聲源部分

由于類似活塞振速的聲源反映的是振體向遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲功率的能力,而零體積的振速聲源反映了近場(chǎng)處動(dòng)能和勢(shì)能間相互轉(zhuǎn)化的能力。因此輻射的能量主要來自類似活塞振速的聲源部分。由上述分析可知,在不獲得板面聲壓精確值的前提下,如果板面每個(gè)劃分單元ν上的速度在平均情況下可以得到滿足,那么就可能求得輻射聲能量的精確值,即輻射聲功率。因此我們考慮用板每個(gè)單元上的平均速度代替板實(shí)際的法向速度,將其作為邊界條件,達(dá)到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)薄板聲輻射功率的目的。

基于該思想提出的利用體積速度匹配的波疊加原理采用虛擬聲源函數(shù)的組合來描述場(chǎng)點(diǎn)r=(x,y,z)處的聲壓[10]:

(7)

G(r,rs)=eik|r-rs|/|r-rs|

(8)

則可知:

(9)

場(chǎng)點(diǎn)r處聲壓p(r)與振速v(r)的關(guān)系根據(jù)線性化的歐拉方程,可得:

(10)

將式(9)關(guān)于聲壓p的虛擬聲源函數(shù)的組合形式代入上式可得:

(11)

將上式代入式(4),即在板面單元μ上對(duì)振速進(jìn)行積分,可得

(12)

上式寫成矩陣形式為

u=Us

(13)

則通過矩陣的逆運(yùn)算可以獲得:

s=U-1u

(14)

將式(6)代入上式,由此可以獲得虛擬聲源強(qiáng)度矩陣s:

s=U-1ΦA(chǔ)

(15)

求得虛擬聲源強(qiáng)度矩陣s以后,即可獲得結(jié)構(gòu)的輻射聲功率

4 板的平均輻射聲功率計(jì)算公式

由文獻(xiàn)[7]可知,無限大障板上結(jié)構(gòu)的平均聲輻射功率計(jì)算公式為

(16)

式中,j0(kRμν)=sin(kRμν)/(kRμν)表示0階球貝塞爾函數(shù),Rμν=|rμ-rν|,表示虛擬聲源之間的間距。

上式表示成矩陣形式為

(17)

式中,H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。j為N×N階的矩陣,其相應(yīng)ji,j=j0(kRij)。

當(dāng)Rμν=0時(shí),由于聲輻射功率為有限值,則j0(kRμν)不能取為無窮大。又由于

(18)

因此當(dāng)Rμν=0時(shí),取j0(kRμν)=1。由于虛擬聲源強(qiáng)度矩陣s可以從式(15)運(yùn)算獲得,將求得的矩陣s代入式(17)中,即可計(jì)算出板的平均輻射聲功率。

5 波疊加計(jì)算法的應(yīng)用舉例

取一個(gè)簡(jiǎn)支矩形有障薄鋼板,其長(zhǎng)度a為1m,寬度b為0.7m,厚度h為0.003m。幾何中心處受到幅值為1N的點(diǎn)力激勵(lì),板的密度為ρs=7800kg/m3,泊松比υ=0.3,彈性模量E=2.16×1011N/m2,介質(zhì)取為空氣,密度ρf=1.21kg/m3,聲速c=343m/s,模態(tài)阻尼系數(shù)η=0.01,參考聲功率Wf=10-12W。本文著重討論波疊加計(jì)算法在聲功率計(jì)算應(yīng)用中離散單元數(shù)目對(duì)計(jì)算精度的影響。

(19)

式中,

α=kasinθcosφ,β=kbsinθsinφ

將薄板的表面離散為三種數(shù)目的矩形單元,第一種、第二種、第三種單元的數(shù)目分別為5×5(前一個(gè)數(shù)字表示x方向布置的行數(shù),后一個(gè)數(shù)字表示y方向布置的行數(shù))、10×10、15×15。

采用上述三種數(shù)目的矩形單元用本文介紹的波疊加計(jì)算法進(jìn)行了聲功率求取,并將所得結(jié)果與解析法獲得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。相對(duì)的最大誤差在表1中列出。圖4～圖6分別為第一種、第二種、第三種單元離散情況下基于波疊加原理計(jì)算出的平均輻射聲功率和解析法獲得的平均輻射聲功率的對(duì)比圖。

表2 不同單元數(shù)目下最大相對(duì)誤差比較表

圖4 5×5的矩形單元?jiǎng)澐植ǒB加法與解析法對(duì)比

圖4表明,當(dāng)頻率較低時(shí)(ka≤7時(shí)),使用三種不同數(shù)目的虛擬聲源計(jì)算結(jié)果幾乎相同。從表2可以看出,隨著頻率的增加,相對(duì)誤差逐漸增大。隨著單元數(shù)目從5×5增加到10×10,計(jì)算產(chǎn)生的相對(duì)誤差迅速減小,從18.8%減小到7.1%。不過,隨著進(jìn)一步增加單元數(shù)目到15×15,相對(duì)誤差從7.1%減小到5.5%,相對(duì)誤差的減小速度變慢,波疊加計(jì)算法的結(jié)果逐漸趨于解析法的結(jié)果。圖4、圖5反映出當(dāng)采用更多單元時(shí),波疊加計(jì)算法得到的輻射聲功率可以在相對(duì)較高的頻率處很好地收斂于解析結(jié)果,這說明了波疊加法在相對(duì)較廣頻率范圍內(nèi)的適用性。

圖5 10×10的四邊形單元?jiǎng)澐植ǒB加法與解析法對(duì)比

圖6 15×15的四邊形單元?jiǎng)澐植ǒB加法與解析法對(duì)比

6 結(jié)語

通過上述的研究結(jié)果表明,波疊加計(jì)算法在獲得結(jié)構(gòu)聲輻射面振速的情況下,通過求解虛擬聲源和函數(shù)的系數(shù)可以很好地估算輻射體表面的輻射聲功率,在低頻范圍內(nèi),利用較少數(shù)目的結(jié)構(gòu)單元可以較好地估計(jì)結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。

從矩形板的算例可以看出,波疊加計(jì)算法相對(duì)于其他算法具有以下的優(yōu)點(diǎn)。相對(duì)于邊界元法,它無需處理奇異性問題,計(jì)算得到簡(jiǎn)化;在求解結(jié)構(gòu)的輻射聲功率時(shí),不需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的輻射聲阻抗,計(jì)算效率得到進(jìn)一步提高;波疊加計(jì)算方法具有廣泛的頻域適用性,在低頻范圍內(nèi)只需要較小數(shù)目的離散單元就可以獲得較高的精確度。

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Application of Wave Superposition in Calculation of Sheet Radiation Sound Power

LIU Bao ZHOU Qizheng

(Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

A method for calculating the radiation sound power from a thin plate is described using the principle of wave superposition. After getting the velocity of the surface, the method can be used to calculate the strength of virtual sound source and then getting sound power through building the equations between the virtual source strength and unit volume velocity using Euler equation. In this paper, an example of rectangular baffled plate with simply supported boundary is given to compare the compution result with the analytic result. It is shown that the mention method can reduce the unit and node number while it can ensure high precision without calculating the radiation resistance. The method reduces computing time and improves the efficiency.

wave superposition, virtual sound source, sound radiation, sound power

2014年11月13日,

2014年12月21日

商洛學(xué)院科研項(xiàng)目(編號(hào):14SKY006)資助。 作者簡(jiǎn)介:劉寶,男,碩士研究生,研究方向:振動(dòng)噪聲。周奇鄭,男,博士研究生,研究方向:振動(dòng)噪聲。

O348.8

10.3969/j.issn1672-9730.2015.05.040