林文賢, 張君敏

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東 潮州 521041)

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具分布時滯的偶數(shù)階非線性中立型泛函微分方程的Philos型振動定理

林文賢, 張君敏

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,廣東 潮州 521041)

利用積分平均技巧和廣義Riccati變換,建立了具有分布滯量的非線性中立型偶數(shù)階時滯微分方程的一些Philos型振動性定理,推廣和改進(jìn)了最近文獻(xiàn)的結(jié)果.

分布時滯; 偶階; 中立型; Philos型振動定理

0 引言

在工程技術(shù)領(lǐng)域和自然界中,振動是一種比比皆是的現(xiàn)象,它普遍存在于電磁運(yùn)動、機(jī)械運(yùn)動、原子運(yùn)動和熱運(yùn)動等運(yùn)動形式之中.中立型時滯微分方程振動性質(zhì)的研究在學(xué)科理論和實(shí)際應(yīng)用兩方面都有著重大價值[1],目前已經(jīng)取得許多成果[2-16].我們將討論一類具有分布滯量的偶數(shù)階中立型非線性時滯微分方程

(1)

其中n≥2為偶數(shù).在本文中總假設(shè)下列條件成立:

(H1)m(t)C(I,R+),I=[t0,∞),R+=(0,∞),m′(t)≥0和?∞t01/m(t)dt=∞;

(H2)p(t,η)C(I×[c,d],R),I=[t0,∞),p(t,η)≥0,P(t)=?dcp(t,η)dτ(η)≤P<1;

(H3)f(t,ξ,x)C([t0+∞]×[a,b]×R,R),存在兩個函數(shù)q(t,ξ)C(I×[a,b],R),F(x)C(R,R),q(t,ξ)≥0,使得f(t,ξ,x)sgnx≥q(t,ξ)F(x)sgnx,-F(-x)≥F(x)≥kx>0(x>0,k為某正常數(shù)；

(H4)u(t,η)C(I×[c,d](t,ξ)C(I×[a,b],R)關(guān)于t和ξ均為非減，存在，

(H5)σ(ξ)C[a,b],τ(η)C[c,d]非減,方程(1) 中的積分為 Stieltjes積分.

我們的目的是通過引入?yún)?shù)函數(shù)H(t,s)和h(t,s),得到方程(1)的若干新的Philos型振動定理.并且,當(dāng)m(t)=1,f(t,ξ，x)=q(t,ξ)x[g(t,ξ)]時,方程(1)就是文獻(xiàn)[2]所討論的泛函微分方程,所以本文的結(jié)果推廣和包含了文獻(xiàn)[2]的結(jié)論, 同時也推廣了文獻(xiàn)[3-4]的相應(yīng)結(jié)論.

引理1[15]設(shè)z(t)Cn(I,R)為不變號,在I上z(n)(t)≠0且滿足z(n)(t)z(t)≤0,則

(i)存在t1≥t0使得zt在[t1,∞)上不變號,i=1,2,…，n-1.

(ii)存在l{0,1,2,…n-1},n+l為奇數(shù),使得

z(i)(t)>0,t≥t1,i=0,1,2,…，l；

(-1)i+lz(i)(t)>0,t≥t1,i=l+1,…，n.

引理2[16]設(shè)z(t)滿足引理1的條件,且z(n-1)(t)z(n)(t)≤0,t≥t1.則對每一θ(0,1),存在常數(shù)N>0使得

|z′(θt)|≥Ntn-2|z(n-1)(t)|,t≥t1.

下面我們給出本文的主要結(jié)果.記如下集合

D0={(t,s)|t>s≥t0},D={(t,s)|t≥s≥t0}.

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)存在函數(shù)H(t,s)C(D,R),h(s,t)C(D0,R),ρ(t)C′(I,R+),使得

(1)H(t,t)=0,t≥t0,H(t,s)>0,(t,s)D0;

(2)H(t,s)在D0上對第二個變量存在連續(xù)非正的偏導(dǎo)數(shù)且滿足等式

若對任一T≥t0,

(2)

其中λ=1-ρ, 且

則方程(1)的所有解振動.

證明 用反證法,設(shè)x(t)是方程(1)的一個最終正解,利用(H2)和(H4)知存在t1≥t0使當(dāng)t≥t1時有x(t)>0,x[g(t,ξ)]>0和x[r(t,η)]>0.令

Z(t)=x(t)+?dcp(t,η)x(r(t,η))dτ(η).

(3)

由于(H1),(H3)和(H5), 于是有Z(t)>0和

[m(t)Z(n-1)(t)]′=-?baf(t,ξ,x[g(t,ξ)])dτ(ξ)≤0,t≥T.

(4)

我們認(rèn)為Z(n-1)(t)≥0,t≥t1.假設(shè)存在某個t2≥t1,使Z(n-1)(t0)<0,則由[m(t)Zn-1(t)]′≤0可得?tt2[m(t)Z(n-1)(t)]′dt≤0,有

進(jìn)而有

由條件(H1),有

類似可證

進(jìn)一步,由[m(t)Z(n-1)(t)]′=m′(t)Z(n-1)(t)+m(t)Z(n)(t)≤0和條件(H1),我們可推出Z(n)(t)≤0,t≥t1.因此,由引理1容易得出

Z′(t)>0和Z(n-1)(t)>0,t≥t1.

(5)

注意到條件(H3),(H1)和(3)有

x(t)=Z(t)-?dcp(t,η)x(r(t,η))dτ(η)≥Z(t)-?dcp(t,η)Z(r(t,η))dτ(η)≥

Z(t)-?dcp(t,η)Z(r(t,η))dτ(η)=(1-p(t))Z(t)≥λZ(t),t≥t2≥t1.

(6)

其中λ=1-p.利用(H3),(H4)式及(5)和(6)式有

[m(t)Zn-1(t)]′≤-k?baq(t,ξ)x[g(t,ξ)]dτ(ξ)≤-kλ?baq(t,ξ)Z[g(t,ξ)]dτ(ξ)≤

-kλZ[g(t,a)]?baq(t,ξ)dτ(ξ)-kλQ(t)Z[g(t,a)],t≥t2，

(7)

其中Q(t)=?baq(t,ξ)dσ(ξ).

令

(8)

由于Z(t)是遞增函數(shù),g(t,ξ)分別關(guān)于t和ξ非減,故存在t3≥t2,使當(dāng)t≥t3時有Z(g[t,a])>Z(λg[t,a])>0.

Z′(λg(t,a))≥Ngn-2(t,a)Z(n-1)[g(t,a)]≥Ngn-2(t,a)Z(n-1)(t),t≥t4，

(9)

故利用式(7)和式(9), 有

(10)

用函數(shù)H(t,s)乘以式(10),對T到t(t>T≥t4) 積分得出

kλ?tTH(t,s)ρ(s)Q(s)ds≤H(t,T)W(T)+?tT|h(t,s)W(s)|ds-

(11)

利用重要不等式x2+y2≥2xy,有

(12)

聯(lián)合(11)和(12)產(chǎn)生

(13)

由上式得出

此與式(2) 矛盾.定理1證畢.

推論1 如果定理1 的條件 (2) 代之以

則方程(1) 的所有解振動.

定理2 若定理1的其它假設(shè)不變,而將式(2)用以下假設(shè)替換：

(14)

(15)

且存在函數(shù)φC(I,R)使對任一t≥t0,T≥t0,有

(16)

和

(17)

其中φ(s)=max(φ(s),0),則方程(1) 的所有解振動.

證明 如同定理1中的證明過程一樣,對任意t>T≥t4,有式 (13) 成立,即

(18)

由式(17)和式(18), 有

φ(T)≤W(T),T≥t4

(19)

與

(20)

由式(20)式可以得到

故由(16)式推出

(21)

為了本結(jié)論的證明,只需證式(21)不成立.令

則由(11)式和(20)式,有

(22)

注意到式(14),由式(22)可得到

(23)

A(tk)-B(tk)≤C(k=1,2…).

(24)

由式(23)推出

(25)

由式(24) 和 式(25) 產(chǎn)生

(26)

且有

由上式和式(26), 可推出

(27)

另外,利用 Schwarz 不等式, 可以得到

所以,對一切足夠大的k,有

注意到式(27), 可得到

(28)

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Philos-Type Oscillation Theorems for Certain Even Order Nonlinear Neutral Functional Differential Equations with Distributed Delays

LIN Wen-xian,ZHANG Jun-min

(College of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University,Chaozhou Guangdong,521041,China )

In the current research, by using integral averaging technique and the generalized Riccati transformation, several Philos-type oscillatory theorems, which generalize and improve some known results, are established for even order nonlinear neutral functional differential equations with distributed delays.

distributed delays; oscillation; even order; neutral; functional differential equation

2015-06-30

廣東省高等教育教學(xué)改革項目(GDJG20142396)；廣東省高等學(xué)校特色創(chuàng)新項目(2014GXJK125)

林文賢(1966- ),男,廣東潮州人,韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授,研究方向為泛函微分方程定性理論.

O175.25

A

1008-6722(2015) 05-0001-05

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．01