吳逸飛，鄒正平

（1.南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，南昌330063；2.北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京100191）

0 引言

隨著計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，研究各種流體流動(dòng)的重要方法包括計(jì)算流體力學(xué)（CFD）數(shù)值模擬、傳統(tǒng)的理論分析和試驗(yàn)測(cè)量方法。采用數(shù)值模擬方法研究問(wèn)題時(shí)常常會(huì)簡(jiǎn)化，例如幾何和物理模型的簡(jiǎn)化、物性參數(shù)和邊界條件的近似等，造成實(shí)際情況與結(jié)果之間存在差異[1]。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)研制中，受認(rèn)識(shí)、設(shè)計(jì)技術(shù)、制造工藝及裝配等客觀因素的限制，實(shí)際裝機(jī)后系統(tǒng)和各部件所達(dá)到的性能水平與理論設(shè)計(jì)值必定存在不確定性的偏差[2]。在渦輪設(shè)計(jì)和加工過(guò)程中，在轉(zhuǎn)靜子之間的軸向間隙及泄漏流、強(qiáng)度和加工方面存在的葉片葉根倒角、葉形的偏差、圓機(jī)匣及轉(zhuǎn)子偏心等造成的轉(zhuǎn)子周向非均勻葉尖間隙等問(wèn)題，都會(huì)導(dǎo)致渦輪真實(shí)幾何條件與原始理想設(shè)計(jì)存在偏差，從而造成渦輪實(shí)際與設(shè)計(jì)性能的偏差[3-5]；同時(shí)，在渦輪工作過(guò)程中，溫度與離心載荷等產(chǎn)生受力變形、磨損、高溫氧化、熱腐蝕、燒蝕、表面產(chǎn)生凹坑或有塵物堆積等情況[6-7]，導(dǎo)致零件性能隨工作時(shí)間發(fā)生退化。在數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)中，合理的邊界條件是重要影響因素之一。Garg等[8]研究不同射流入口邊界條件可導(dǎo)致射流出口下游高達(dá)60%的換熱系數(shù)差異。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)中，燃燒室出口溫度分布、高自由流湍流度和熱條紋等參數(shù)影響第1級(jí)靜葉傳熱；中、低自由流湍流度、上游靜葉片后緣的不穩(wěn)定尾流、熱條紋以及旋轉(zhuǎn)影響第1級(jí)動(dòng)葉傳熱[9]。文獻(xiàn)[10-12]表明來(lái)流的速度分布、湍流強(qiáng)度、溫度分布、壓力分布、質(zhì)量流量和雷諾數(shù)等氣動(dòng)熱力邊界條件對(duì)流體的流動(dòng)有重要影響。在數(shù)值模擬方法應(yīng)用中，不同的物理模型對(duì)結(jié)果產(chǎn)生不同的影響，例如有/無(wú)黏、定常/非定常、湍流模型、多相流動(dòng)、化學(xué)反應(yīng)等[13]。20世紀(jì)70年代中期前，葉輪機(jī)械內(nèi)部流場(chǎng)的數(shù)值模擬大都基于無(wú)黏流體流動(dòng)模型。但是，無(wú)黏流動(dòng)假設(shè)改變了流體的物理屬性，在數(shù)學(xué)上使流動(dòng)方程及相應(yīng)的定解條件發(fā)生了本質(zhì)變化，應(yīng)該考慮采用黏性流體流動(dòng)模型[14]。葉輪機(jī)內(nèi)存在不同尺度、頻率和類(lèi)型的非定常流動(dòng)現(xiàn)象，采用全3維非定常數(shù)值模擬研究其內(nèi)部一些固有的非定常流動(dòng)現(xiàn)象，可進(jìn)一步提高氣動(dòng)熱力性能[15]。

本文針對(duì)氣動(dòng)熱力學(xué)邊界條件不確定性的數(shù)值模擬方法進(jìn)行探討，分析邊界條件與真實(shí)情況的差異對(duì)數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果的影響。

1 試驗(yàn)方法

目前流體中不確定性分析主要指模型參數(shù)不確定性對(duì)其輸出參數(shù)的影響，即不確定性在流場(chǎng)中的傳播，且不確定性變量為服從概率分布的隨機(jī)變量[13]。

蒙特卡洛（MC，Monte Carlo）[16]方法是隨機(jī)分析常用的方法，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)大量隨機(jī)試驗(yàn)，利用概率論解決問(wèn)題。主要優(yōu)點(diǎn)是其斂散性依賴(lài)于獨(dú)立的隨機(jī)參數(shù)個(gè)數(shù)，得到的結(jié)果是隨機(jī)變量。因此，在給出點(diǎn)估計(jì)后，還需要給出該估計(jì)值的波動(dòng)程度及區(qū)間估計(jì)。缺點(diǎn)是高精度的計(jì)算結(jié)果需要大量的隨機(jī)數(shù)即需抽取大量樣本，因此計(jì)算成本較高且效率低。拉丁超立方抽樣（LHS，Lat in Hypercube Sampling）是1種多維分層抽樣方法，合并了隨機(jī)和分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)，是最好的小樣本蒙特卡洛方法之一[17]。對(duì)于多個(gè)隨機(jī)變量的輸入，分層抽樣需要將輸入的樣本空間等概率化為N個(gè)區(qū)域。工作原理是首先定義參與計(jì)算機(jī)運(yùn)行的抽樣數(shù)目N；其次把每次輸入等概率地分成N列，xi0

圖1 LHS方法抽樣

假設(shè)關(guān)于輸入變量的線(xiàn)性函數(shù)

利用MC和LHS抽樣方法分別估計(jì)均值，結(jié)果為

標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為

本文采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE，Design of Experi-ment）[18]方法進(jìn)行研究。首先以某一確定性解為基礎(chǔ)，對(duì)具有不確定性的設(shè)計(jì)變量統(tǒng)計(jì)LHS抽樣產(chǎn)生隨機(jī)變量的相關(guān)參數(shù)；然后對(duì)所有抽取的樣本進(jìn)行確定性解，對(duì)這些確定性結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到響應(yīng)變量；最后分析不確定性設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)變量的影響。應(yīng)用CFD軟件，可避免出現(xiàn)修改現(xiàn)有求解器而可能造成新誤差的風(fēng)險(xiǎn)。具體流程如圖2所示。

圖2 邊界條件不確定性數(shù)值模擬方法流程

DOE通過(guò)改變1個(gè)系統(tǒng)的輸入來(lái)觀察輸出的情況。目的是確定哪些設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)的影響最大；通過(guò)設(shè)定有影響的設(shè)計(jì)變量水平，以使響應(yīng)達(dá)到或盡可能接近期望值，并使其分散度（或方差）盡可能減小，最大限度地減小不可控參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響。通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析探索設(shè)計(jì)空間，得出設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)的影響，并以此作出設(shè)計(jì)決定。

對(duì)確定性解的響應(yīng)變量數(shù)組進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理，包括敏度分析、主效應(yīng)分析、交互效應(yīng)分析等，如用帕累托法（Pareto）得出來(lái)流邊界條件對(duì)流體的影響。

2 算例

采用DOE法需要對(duì)每個(gè)抽取的樣本進(jìn)行CFD數(shù)值模擬計(jì)算，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間和成本，本文僅給出1個(gè)簡(jiǎn)單算例說(shuō)明來(lái)流邊界條件不確定性數(shù)值模擬的方法在原理和流程上是可行的。例如：孔板流量計(jì)是通過(guò)測(cè)孔板前后的壓力差來(lái)計(jì)算管道中的流量。假定幾何和物理模型均不變，僅考慮來(lái)流邊界條件變化，確定其對(duì)孔板前后壓力變化的影響。

2.1 算例模型

根據(jù)原理對(duì)孔板流量計(jì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，如圖3所示。從圖中可見(jiàn)，可以構(gòu)建對(duì)稱(chēng)軸以上的部分為模型對(duì)2維對(duì)稱(chēng)流動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬。

圖3 孔板流量計(jì)簡(jiǎn)化模型

設(shè)定計(jì)算流體為水，流動(dòng)形態(tài)為湍流，采用κ-ε模型，流動(dòng)為定常，不可壓縮，計(jì)算不計(jì)重力作用對(duì)流體性能的影響。流體入口半徑AB=20mm，孔在距離入口100mm的位置，孔板厚度為2mm，內(nèi)徑為20mm；在孔板右側(cè)面切45°，出口端面距孔板右側(cè)100mm。網(wǎng)格劃分采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，數(shù)目為6947個(gè)，如圖4所示。

圖4 網(wǎng)格分布

2.2 實(shí)現(xiàn)方法

本算例運(yùn)用商業(yè)軟件Fluent進(jìn)行CFD模擬，設(shè)定確定性數(shù)值模擬來(lái)流邊界條件中的湍流度tu和流體進(jìn)口速度v為設(shè)計(jì)變量。然后在輸出的結(jié)果中提取進(jìn)、出口面壓力Pi（面加權(quán)平均）、Po為響應(yīng)目標(biāo)。采用LHS方法，通過(guò)DOE組件對(duì)設(shè)計(jì)變量抽樣，樣本為100個(gè)，分別計(jì)算得出響應(yīng)結(jié)果，然后分析每種設(shè)計(jì)變量對(duì)每個(gè)響應(yīng)的影響，得出主效應(yīng)和Pareto貢獻(xiàn)率圖。

為了避免2個(gè)來(lái)流邊界條件下不同上下限百分比對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生不同的影響，設(shè)定二者相同的賦值范圍，即上、下限分別為各自150%、50%初值。為了闡述該方法的原理，在賦值時(shí)給的范圍比較大，以便分析所得邊界條件的不確定性能引起流動(dòng)變化的量突顯出來(lái)，而在實(shí)際情況下的不確定性邊界條件變化的范圍不一定有這么大。

3 結(jié)果分析

Cp與Re的關(guān)系如圖5所示。流動(dòng)為定常且不可壓縮，幾何模型也不變。橫、縱坐標(biāo)分別為進(jìn)口流體的雷諾數(shù)Re和對(duì)壓差無(wú)量綱化的壓力系數(shù)Cp。

圖5 Cp與Re的關(guān)系

從圖中可見(jiàn)，Cp隨著Re的增大而增大。當(dāng)湍流度變化時(shí)，Cp在湍流度不變時(shí)位置上下波動(dòng)。

Cp與tu的關(guān)系如圖6所示。從圖中可見(jiàn)，來(lái)流速度不變時(shí)，Cp變化較平緩，在tu=0.10～0.13之間最小，隨著tu增大則Cp也增大。當(dāng)來(lái)流速度發(fā)生變化時(shí)，Cp則會(huì)在來(lái)流速度不變時(shí)的位置上下劇烈波動(dòng)，且在最大、最小速度壓力系數(shù)值的范圍之內(nèi)。

圖6 Cp與tu的關(guān)系

可見(jiàn)，來(lái)流速度和湍流度都能引起壓差的變化，如圖7所示。從圖中可見(jiàn)，tu變化比Re變化使壓力系數(shù)Cp的波動(dòng)更劇烈，即tu對(duì)Cp的影響要大于Re的影響。

圖7 Cp的主效應(yīng)

在來(lái)流速度和湍流度為其各自基準(zhǔn)值的±50%的偏差范圍，對(duì)Cp的影響的最大正、負(fù)偏差分別為8.7%、4.6%。來(lái)流邊界條件對(duì)流體影響正負(fù)偏差最大的壓力、速度云圖如圖8所示。

圖8 來(lái)流邊界條件對(duì)流體影響正、負(fù)偏差最大的壓力和速度

如果期望得到各設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)的影響，可以對(duì)抽樣樣本計(jì)算所得的數(shù)據(jù)組進(jìn)行Pareto法分析，得出來(lái)流速度和湍流度對(duì)壓力系數(shù)的貢獻(xiàn)率，其中tu和Re對(duì)Cp的貢獻(xiàn)率分別為64.04%、35.96%。

4 總結(jié)

綜上所述，提取來(lái)流邊界條件為設(shè)計(jì)變量，通過(guò)LHS方法抽樣計(jì)算及pareto法分析可以得出不同敏感邊界條件對(duì)流體流動(dòng)的影響。當(dāng)來(lái)流Re和tu給出初值±50%變化時(shí)，得出Cp偏差中最大正、負(fù)偏差分別為8.7%和4.6%；Re和tu對(duì)Cp的貢獻(xiàn)率分別為35.96%和64.04%。

利用該方法可以研究多個(gè)來(lái)流邊界條件共同作用下對(duì)流體流動(dòng)的影響，例如在復(fù)雜的流動(dòng)中，提取多于算例中2個(gè)來(lái)流邊界條件，邊界條件之間的交互相互影響關(guān)系也遠(yuǎn)比算例中的復(fù)雜，該方法只需要根據(jù)所抽樣本數(shù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量不會(huì)因?yàn)樘崛∵吔鐥l件種類(lèi)的增加而增大，抽樣數(shù)越多計(jì)算量越大，所得數(shù)據(jù)分析則越精確。本方法也可對(duì)來(lái)流邊界條件不確定性的范圍進(jìn)行提前約束，并根據(jù)研究對(duì)象的具體情況設(shè)定，對(duì)流體的影響偏差的范圍也可以通過(guò)數(shù)據(jù)處理分析得出，又可反推出要達(dá)到流體流動(dòng)的某種狀態(tài)或某些范圍，則需要控制的邊界條件的不確定性范圍。在研究航空發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)，可以提取來(lái)流邊界條件為設(shè)計(jì)變量，并設(shè)定來(lái)流邊界條件不確定性的誤差范圍，模擬計(jì)算得出壓氣機(jī)或渦輪等的效率誤差，分析得出邊界條件中對(duì)壓氣機(jī)或者渦輪等的效率影響最大的參數(shù)，為調(diào)控這些不確定性的來(lái)流邊界條件提供可靠依據(jù)。如果對(duì)所提取的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行擴(kuò)展，比如將幾何模型的關(guān)鍵尺寸提取為設(shè)計(jì)變量，則可研究幾何模型不確定性對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)際情況的差異等。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)考慮來(lái)流邊界條件不確定性的數(shù)值模擬方法進(jìn)行嘗試性研究，分析了對(duì)流體流動(dòng)的影響。算例結(jié)果表明，在來(lái)流邊界條件中湍流度的不確定性對(duì)壓力系數(shù)的影響大于來(lái)流速度的。考慮來(lái)流邊界條件不確定性的數(shù)值模擬方法比傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法計(jì)算量有所增加，其大小由所抽取樣本數(shù)決定。該方法可擴(kuò)展應(yīng)用到更多來(lái)流邊界條件不確定且更復(fù)雜的流動(dòng)分析，或應(yīng)用于其他模型的不確定性數(shù)值模擬。

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