王建宏 許 鶯 熊朝華

(信息系統(tǒng)工程重點實驗室 南京 210007)

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無色卡爾曼濾波目標跟蹤算法的尺度參數(shù)調(diào)整*

王建宏 許 鶯 熊朝華

(信息系統(tǒng)工程重點實驗室 南京 210007)

利用無色卡爾曼濾波算法來研究目標跟蹤過程中非線性隨機系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題。在無色卡爾曼濾波算法過程中,目標狀態(tài)的估計依賴于兩個設(shè)計參數(shù)——尺度參數(shù)和方差矩陣式。針對尺度參數(shù)的不同選擇將會影響整個目標狀態(tài)估計的性能質(zhì)量。為此論文提出構(gòu)造四種不同的最優(yōu)化性能準則函數(shù),通過對此準則函數(shù)的最小化來迭代地自適應(yīng)選擇尺度參數(shù)。這四種準則函數(shù)從所使用觀測信息的不同和尺度參數(shù)優(yōu)化選擇的計算復(fù)雜度來體現(xiàn)其各自的特性。最后通過仿真算例來驗證論文所提出的無色卡爾曼濾波目標跟蹤算法的尺度參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略。

目標跟蹤; 無色卡爾曼濾波; 尺度參數(shù); 自適應(yīng)調(diào)整

Class Number TP301.6

1 引言

目標跟蹤的目的是利用傳感器的觀測數(shù)據(jù)來估計目標的運動參數(shù),包括目標的位置和速度等信息。目標跟蹤可定義為已知目標的先驗?zāi)０逍畔?在視頻序列中連續(xù)獲取目標運動信息(如位置、速度、尺寸等)的過程。目標跟蹤是計算機視覺領(lǐng)域的一項具有挑戰(zhàn)性的技術(shù)難點,目標跟蹤技術(shù)與目標檢測、識別技術(shù)密切相關(guān)。通常在實際工程應(yīng)用中,需首先對感興趣的目標進行檢測,精確捕獲目標之后即轉(zhuǎn)化為自動跟蹤模式,在跟蹤過程中不斷對目標形態(tài)、尺度、運動規(guī)律等信息進行分析,對目標屬性進行評估、分類、識別。無論在軍事或者民用領(lǐng)域,目標跟蹤技術(shù)都發(fā)揮著舉足輕重的作用。

目標跟蹤算法根據(jù)算法結(jié)構(gòu)的不同可分為:基于區(qū)域的目標跟蹤算法、基于特種的目標跟蹤算法、基于變形模板的目標跟蹤算法和基于貝葉斯濾波理論的目標跟蹤算法。對于基于貝葉斯濾波理論的目標跟蹤算法是將目標跟蹤問題建模成基于貝葉斯理論的最優(yōu)估計問題,即將目標跟蹤過程視為已知目標狀態(tài)的先驗概率,在獲取目標新的觀測量后迭代求取目標狀態(tài)最大后驗概率的過程。

卡爾曼濾波理論是現(xiàn)代濾波理論建立的標志,對于系統(tǒng)呈現(xiàn)線性特性,且噪聲為高斯分布,卡爾曼濾波算法可得到系統(tǒng)狀態(tài)的最小均方誤差估計,該估計為最優(yōu)濾波值?？柭鼮V波算法首次在最優(yōu)濾波理論中引入現(xiàn)代控制理論的狀態(tài)空間思想,系統(tǒng)的動態(tài)模型及觀測模型對應(yīng)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程與觀測方程,可以處理時變系統(tǒng),且由于該算法是一種迭代遞推計算,易于在計算機上實現(xiàn)。然而卡爾曼濾波算法的約束條件過于嚴格,其要求系統(tǒng)必須是線性的,系統(tǒng)噪聲必須為參數(shù)已知的高斯噪聲。針對卡爾曼濾波算法的上述缺點,提出可應(yīng)對非線性系統(tǒng)的無色卡爾曼濾波算法。無色卡爾曼濾波算法的核心思想是無色變換,該算法認為狀態(tài)的概率密度分布可通過能完全表達密度函數(shù)的均值和方差的有限個樣本點來描述,通過直接使用狀態(tài)或測量的非線性方程映射這些樣本點,加權(quán)求和得到更新的均值和方差。采用無色卡爾曼濾波可得到比經(jīng)典卡爾曼濾波更好的濾波特性。

目標跟蹤是強調(diào)對目標狀態(tài)的融合估計與預(yù)測對被跟蹤目標進行在線建模,獲得準確的當(dāng)前目標狀態(tài),并對未來一段時域內(nèi)目標狀態(tài)進行預(yù)測。本文采用無色卡爾曼濾波算法在一系列σ點處研究非線性隨機系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題。因目標跟蹤的位置依賴于兩個設(shè)計參數(shù)——用來確定σ點分布的尺度參數(shù)和確定σ點選擇的方差矩陣分解。為分析尺度參數(shù)的選擇策略,提出不同自適應(yīng)調(diào)整的準則函數(shù)及降低調(diào)整計算復(fù)雜度的方法。

2 系統(tǒng)描述

動態(tài)系統(tǒng)可建模成含有隱性狀態(tài)的狀態(tài)空間模型,其隱性狀態(tài)的部分信息可通過觀測量來獲取。狀態(tài)矢量可能包含有移動目標平臺的位置、速度和加速度等物理量,觀測量可采用慣性陀螺等傳感器來測取?？紤]離散時間的非線性隨機系統(tǒng)為

(1)

對式(1)所示的非線性隨機系統(tǒng)進行濾波處理的目的是要從觀測數(shù)據(jù)中推斷出若干關(guān)于狀態(tài)的估計值。在貝葉斯理論框架下,狀態(tài)估計值可在所獲取的觀測數(shù)據(jù)條件下,計算或近似狀態(tài)矢量的后驗概率分布,此分布對應(yīng)觀測量下的條件概率密度函數(shù)。貝葉斯非線性濾波中的無色卡爾曼濾波算法是在狀態(tài)空間中傳播地得到一系列點,在每次時間更新步驟時都需匹配高斯分布。

目標狀態(tài)估計的設(shè)計常依賴于某個指定的性能準則函數(shù)的最小化來實現(xiàn),如常見的最小均方誤差準則為

(2)

式中Zk表示直至?xí)r刻k處的所有觀測數(shù)據(jù)集,即:

Zk=[z0z1…zk]T

(3)

式(3)所示的條件均值的解析計算式通常是難以直接計算出來的,但對于其中的期望運算可采用隨機采樣算法來近似實現(xiàn)。若所考慮的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)時,式(3)所示的條件期望形式的結(jié)果即為經(jīng)典的卡爾曼濾波算法。而對于非線性系統(tǒng),線性結(jié)構(gòu)形式下未知參數(shù)的辨識需要額外的假設(shè)條件。

3 無色卡爾曼濾波算法

無色卡爾曼濾波算法遞推地計算濾波和預(yù)測過程下的均值和方差矩陣。設(shè):

xa,b=[xaxa+1…xb]T

將無色卡爾曼濾波算法的具體實施過程可歸納如下:

Step 1:(初始化)設(shè)置時間瞬時刻k=0,定義先驗初始條件為預(yù)測均值和預(yù)測方差矩陣為

(4)

(5)

計算近似的觀測預(yù)測二階矩為

(6)

關(guān)于均值和方差矩陣的濾波估計為

(7)

其中濾波增益Kk定義為

(8)

(9)

仍然在每一個σ點處,由非線性函數(shù)fk變換可得:

(10)

計算近似的狀態(tài)預(yù)測二階矩為

(11)

令k=k+1,繼續(xù)算法轉(zhuǎn)到Step 2。

4 尺度參數(shù)調(diào)整

尺度參數(shù)的設(shè)計依賴于包含無色變換中某些待估計量的最優(yōu)化準則函數(shù)。因在無色卡爾曼濾波算法的目標狀態(tài)估計中,沒有實際真實量可獲得,對于狀態(tài)估計而言唯一可獲取的信息僅為觀測數(shù)據(jù)序列,此局限性更加強調(diào)了尺度參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整的重要性。此節(jié)中極大似然準則和其余的另外三種準則函數(shù)都依次采用來得到尺度參數(shù)估計值。對于此四種準則函數(shù),在無色卡爾曼濾波算法中,前兩種準則函數(shù)對應(yīng)于概率密度函數(shù)形式;后四種準則函數(shù)則屬于高階矩的范疇?；诟怕拭芏群瘮?shù)的準則函數(shù)的計算需要事先已知狀態(tài)和觀測噪聲的概率密度函數(shù)p(wk)和p(vk)。

1) 尺度參數(shù)極大似然準則

(12)

若預(yù)測概率密度函數(shù)p(xk|Zk-1)和觀測概率密度函數(shù)p(zk|xk)=pwk(zk-hk(xk))都為近似的高斯分布時,則有:

2) 尺度參數(shù)極大后驗概率準則

(14)

其中的后驗概率密度函數(shù)定義為

pxk|Zk(xk|Zk,μ)=p(zk|xk)p(xk|Zk-1)

×p(zk|Zk-1,μ)

(15)

3) 尺度參數(shù)最小化觀測預(yù)測誤差平方

當(dāng)采用觀測預(yù)測誤差平方作為最小化的準則函數(shù)時,取觀測預(yù)測誤差平方為

(16)

對應(yīng)的準則函數(shù)為

(17)

4) 尺度參數(shù)的最小化規(guī)范觀測預(yù)測誤差平方

(18)

式(17)或式(18)的優(yōu)點在于規(guī)范化觀測預(yù)測誤差,此規(guī)范化過程可作用于不同的方差值,以實現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)序列間的強線性相關(guān)性。

為尋找到式(12)、式(14)、式(16)和式(18)的最優(yōu)化閉環(huán)解析解,可采用數(shù)值優(yōu)化算法來實現(xiàn)此目標。通?？蛇x擇較為成熟的數(shù)值網(wǎng)格法或全局自適應(yīng)性。數(shù)值網(wǎng)格法覆蓋了一個可行的優(yōu)化區(qū)域[μmin,μmax]。μ即可利用等空間網(wǎng)格劃分等分點來獲取。在等空間網(wǎng)格點處估計最優(yōu)化函數(shù),選擇取到最大化或最小化的網(wǎng)格點,作為首選的尺度參數(shù)估計值μ*。在全局自適應(yīng)隨機搜索最大化算法中,尺度參數(shù)的最小值可設(shè)置為自適應(yīng)區(qū)間的下界,即μmin=0。此值可保證無色變換后隨機變量的方差矩陣為正定形式。自適應(yīng)區(qū)間的上界值可由設(shè)計者選擇,最常見的上界值μmax設(shè)置為某種概率值水平,即隨機變量x位于區(qū)域的概率。

(19)

μmax=-2log(1-P*)-2

(20)

無色卡爾曼濾波目標跟蹤算法的尺度參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整過程可歸納如下,在該算法過程中采用最大化后驗概率準則形式。

Step 1:(初始化)設(shè)置μmin=0,由式(20)計算μmax,設(shè)非線性測度的門限值為T,時間瞬時刻的初始值為k=0,定義先驗初始條件的預(yù)測均值和方差矩陣分別為

Step 2:(尺度參數(shù)調(diào)整)設(shè)計尺度參數(shù)為

(21)

式(21)中λmax(zTPk|k-1z)表示矩陣zTPk|k-1z的最大特征值,采用最優(yōu)化方法所得到的尺度參數(shù)值作為此步驟2中的尺度最優(yōu)值。

Step 3:(濾波)實施無色卡爾曼濾波算法中的濾波步驟,并代入步驟2中的最優(yōu)尺度參數(shù)估計值μk。

Step 4:(預(yù)測)實施無色卡爾曼濾波算法中的預(yù)測步驟,并代入步驟2中的最優(yōu)尺度參數(shù)估計值μk。

令k=k+1,繼續(xù)算法轉(zhuǎn)到Step 2。

5 仿真算例

考慮跟蹤一個連續(xù)時間白噪聲加速度運動模型,目標的狀態(tài)定義為

(22)

即目標狀態(tài)中包含有x方向和y方向上的位置和速度,此時的維數(shù)為nx=4,構(gòu)成的運動方程為

xk+1=Fxk+Gwk

(23)

(24)

(25)

(26)

關(guān)于目標狀態(tài)估計的性能與無色卡爾曼濾波算法中的門限值間的關(guān)系見圖1所示。由圖1中而得三條曲線可知;對于較高的信噪比時,尺度參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整并沒有帶來性能上的改善;而對于較低和中等信噪比,卻有較好的性能改善效果。

6 結(jié)語

對非線性隨機系統(tǒng)的目標狀態(tài)估計問題,研究無色卡爾曼濾波算法的尺度參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略。通過無色近似誤差來分析尺度參數(shù),分別構(gòu)造四種不同的性能準則函數(shù),采用數(shù)值優(yōu)化算法來設(shè)計尺度參數(shù),而不是固定于某個特定的尺度參數(shù)值。為減小計算復(fù)雜度,如何僅根據(jù)觀測的局部非線性系統(tǒng)來設(shè)計尺度參數(shù)值是下步的研究主題。

圖1 均方誤差根與信噪比間的關(guān)系曲線

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Adaptation of Scaling Parameter for Unscented Kalman Filter Target Tracking Algorithm

WANG Jianhong XU Ying XIONG Zhaohua

(Science and Technology on Information Systems Engineering Laboratory, Nanjing 210007)

The state estimation problem of the nonlinear stochastic systems is studied by means of the unscented Kalman filter algorithm from target tracking process. In the unscented Kalman filter algorithm, the state estimation is influenced by two design parameters — the scaling parameter and a covariance matrix. Because the choice of scaling parameter may lead to the increased quality of the state estimation. So here the four different criterion functions are constructed, and the scaling parameter is chosen adaptively by minimizing one criterion function. The property of each four criterion functions is shown from their own different observed information and computation complexity. Finally, the efficiency and possibility of the adaptation of scaling parameter for unscented Kalman filter target tracking algorithm is confirmed by the simulation example results.

target tracking, unscented Kalman filter, scaling parameter, adaptation

2015年4月9日,

2015年5月27日

部委級資助項目(863計劃)(編號:2013SYAB321)資助。

王建宏,男,博士,副教授,研究方向:系統(tǒng)辨識。許鶯,女,碩士,研究員,研究方向:飛行控制。熊朝華,男,博士,研究員,研究方向:電子對抗。

TP301.6

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.10.011