劉建新

(中國空空導(dǎo)彈研究院 洛陽 471000)

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一維噪聲子空間算法在DOA應(yīng)用中局限性的研究*

劉建新

(中國空空導(dǎo)彈研究院 洛陽 471000)

對(duì)一種應(yīng)用于DOA中的“一維噪聲子空間算法”進(jìn)行了討論,指出了現(xiàn)有關(guān)于該算法某些結(jié)論的失誤,同時(shí)討論了在不同入射角情況下時(shí),該算法的應(yīng)用局限性。計(jì)算表明,雖然一維噪聲子空間算法存在理論和應(yīng)用上的局限性,但在符合應(yīng)用條件時(shí)仍計(jì)算出了較為滿意的DOA的結(jié)果,同時(shí)大大降低了計(jì)算量,所以仍有其實(shí)用價(jià)值。

相控陣通信天線; 經(jīng)典MUSIC算法; 一維噪聲子空間算法

Class Number TN82

1 引言

在軍用無線通信領(lǐng)域,由于相控陣天線具有傳統(tǒng)天線難以比擬的優(yōu)勢(shì),因而越來越被人們重視。相控陣通信天線很多能力的實(shí)現(xiàn)需要依靠對(duì)當(dāng)前來波方向的自主估計(jì),因此,來波方向估計(jì)(Direction of Arrival,DOA)的算法被研究者們所關(guān)注。

MUSIC算法是DOA估計(jì)中的經(jīng)典算法之一。MUSIC算法在運(yùn)算時(shí)采用循環(huán)迭代的形式,依次估計(jì)到達(dá)角矩陣的參數(shù)直至收斂。在這類循環(huán)迭代中,對(duì)于各種估計(jì)都需要通過多維搜索獲得,這種運(yùn)算的計(jì)算量本就很龐大,而且隨著陣元數(shù)增加,計(jì)算量會(huì)呈指數(shù)增長。因而,對(duì)算法的簡化是有意義的。

近年來,一種旨在簡化經(jīng)典MUSIC算法的“一維噪聲子空間算法”被提出,但是現(xiàn)有的諸多文獻(xiàn)在此方面的分析還不夠準(zhǔn)確,但這種思想可以為改進(jìn)DOA算法提供一些啟示和改進(jìn)途徑。

2 一維噪聲子空間的算法推導(dǎo)

在眾多的信號(hào)DOA估計(jì)算法中,基于接收信號(hào)相關(guān)矩陣特征分解的MUSIC算法,具有良好的DOA估計(jì)性能,其估計(jì)方差接近Cramer-Rao下界[6～7]。但是,在實(shí)際應(yīng)用中,由于快采樣拍數(shù)有限,其所接收到的含有噪聲信號(hào),總是與理想信號(hào)有一些差值,快拍數(shù)越少、信噪比越小,這種差值可能越顯著。這樣的結(jié)果就是,在實(shí)際運(yùn)算中出現(xiàn)了被稱作“特征值泄露”的問題。通過計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算也可以看到,當(dāng)信噪比較低和快拍數(shù)有限時(shí),陣列相關(guān)矩陣的特征分解結(jié)果,并不像MUSIC算法理論上所期待的那樣,噪聲子空間中M-D個(gè)小特征值相等且等于噪聲方差,而是變成了一系列大小不一的分布。這樣,就很難根據(jù)小特征值的重?cái)?shù)來確定噪聲子空間的維數(shù),也無法根據(jù)小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)造準(zhǔn)確的噪聲子空間,這使算法對(duì)到達(dá)角的估計(jì)性能嚴(yán)重下降。為了克服這個(gè)問題,一種經(jīng)過修正MUSIC算法被提出。

在理想情況下,接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的每個(gè)噪聲特征向量都分別正交于陣列的每個(gè)信號(hào)向量和信號(hào)子空間,即當(dāng)陣列流型a(θi)與任意一個(gè)噪聲特征向量正交時(shí),所對(duì)應(yīng)的θi即為入射信號(hào)的來波方向估計(jì)值。也就是說,MUSIC算法是陣列流型a(θi)應(yīng)與任意一個(gè)噪聲特征向量相正交,即:

‖aH(θ)UN‖2=0

(1)

此時(shí),接收信號(hào)矩陣的特征值可以排列為

λ1>λ2>…>λD=λD+1=…=λM=σ2

(2)

文獻(xiàn)[5,8]中認(rèn)為,在實(shí)際計(jì)算時(shí),由于信噪比較低和快拍數(shù)有限、記錄的接收信號(hào)不準(zhǔn)確等原因,對(duì)相關(guān)矩陣的特征分解已不能理想地反映應(yīng)有的正交情況,原有的噪聲特征向量已不再最小、相等且等于噪聲方差,而是變成:

λ1>λ2>…>λD>λD+1>…>λM=σ2

(3)

也就是發(fā)生了所謂“特征值泄露”現(xiàn)象。此時(shí),顯然已經(jīng)沒法根據(jù)小特征值的重?cái)?shù)來判斷入射信號(hào)個(gè)數(shù),更無法利用原有的正交特性來估計(jì)到達(dá)角,進(jìn)而,就沒法據(jù)此估計(jì)來波方向了。文獻(xiàn)[5]等認(rèn)為,各個(gè)特征值中,只有最小的特征值及其特征向量,最接近真實(shí)值,那么可以假設(shè),此時(shí)只有最小特征值是實(shí)際噪聲特征值。在這種情形下,原有的由噪聲特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量所張成的M-D維噪聲子空間,就由最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的一維空間所代替了。那么,原有的正交關(guān)系,變成這樣了這樣:

‖aH(θ|φ)uM‖2=0

(4)

其中uM是最小特征值λM所對(duì)應(yīng)的特征向量。

此時(shí),經(jīng)典MUSIC算法中的對(duì)到達(dá)角的估計(jì)偽譜:

(5)

就將被修正為

(6)

從上面的偽譜可以看出,由于原有的搜索是在由M-D個(gè)特征向量所構(gòu)成的區(qū)間上進(jìn)行計(jì)算,而一維噪聲子空間法相當(dāng)于只在一個(gè)向量上進(jìn)行運(yùn)算,所以這種改進(jìn)型DOA方法被稱作一維噪聲子空間方法。文獻(xiàn)[5,8]等認(rèn)為,這種方法不僅在一定程度上克服了由于信噪比和采樣數(shù)限制而產(chǎn)生的“特征值泄露”問題,在計(jì)算量上也有了很大改善。

但是,經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)證,上述結(jié)論并不準(zhǔn)確。

3 對(duì)一維噪聲子空間算法理論局限性的討論

首先,由“特征值泄露”而導(dǎo)致的噪聲特征值分化,并不像文獻(xiàn)[5,8]以及其他文獻(xiàn)中所提到的那樣——只有最小特征值仍接近真實(shí)值,全部噪聲特征值從大到小排列變?yōu)槭?6)的形式。大量的計(jì)算表明,分化后的M-D個(gè)噪聲特征值實(shí)際上是圍繞σ2兩側(cè)分布,并且,分化后的噪聲特征值的均值接近σ2。也就是說,在遞減排列的噪聲特征值中,最接近理論值的,并不是最小的噪聲特征值,而是居于多個(gè)隊(duì)列中間位置附近的某個(gè)特征值;并且,最接近理論特征值的實(shí)際值,可能大于也可能小于理論值。這樣,就不能簡單的僅以最小特征值來判定理論計(jì)算值,而需另外的數(shù)學(xué)手段來確定了,比如,可以先計(jì)算小特征值的均值,再尋找最接近此均值的特征值。

其次,在M-D個(gè)小特征值中,與其他特征矢量相比,最接近理論值σ2的噪聲特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量,與當(dāng)前方向下的陣列流型矢量的正交性并不一定是最好的。一系列計(jì)算表明,與陣列流型矢量有著最佳正交性的特征矢量所對(duì)應(yīng)的特征值,在固定的排序中呈現(xiàn)某種隨機(jī)分布。

從上面的分析可以看到,實(shí)際上對(duì)一維噪聲子空間進(jìn)行推導(dǎo)的前提并不正確。但是,作為一種富有啟發(fā)性的思路,仍有借鑒性。

再回頭分析一下因受“特征值泄露”影響而不準(zhǔn)確的噪聲特征值。前面提到過,此時(shí)的噪聲特征值已經(jīng)不再“相等且等于噪聲的方差”,而是圍繞理論上的特征值上下進(jìn)行分布。相應(yīng)的,原有的特征向量也會(huì)變得不再與陣列流型矢量嚴(yán)格正交。如果按照原有的計(jì)算步驟,將噪聲子空間與陣列流型正交運(yùn)算并搜索極值的話,計(jì)算偏差顯然很大。但是可以發(fā)現(xiàn),雖然“特征值泄露”后每個(gè)特征向量都產(chǎn)生了一定的偏差,但是任意單個(gè)特征向量的正交性都優(yōu)于“特征值泄露”后的整個(gè)噪聲子空間的正交性。也就是說,任選一個(gè)特征向量,如最小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量,然后將其替換原有的噪聲子空間,所得的結(jié)果就應(yīng)比替換前要好。從這個(gè)角度來看,雖然文獻(xiàn)[5,8]所述的以為噪聲子空間方法的理論基礎(chǔ)并不完全正確,但是其對(duì)計(jì)算結(jié)果確實(shí)有一定的改善,同時(shí),也確實(shí)大大降低了計(jì)算量,所以,對(duì)于這種應(yīng)用于DOA中的一維噪聲子空間思想,仍可以借鑒。

4 對(duì)一維噪聲子空間算法應(yīng)用局限性的討論

事實(shí)上,一維噪聲子空間算法除了理論上存在商榷之處外,應(yīng)用中也有局限性。下面計(jì)算采用一維噪聲子空間方法時(shí),一個(gè)入射信號(hào)和兩個(gè)入射信號(hào)的MUSIC譜。以8元均勻直線陣為例,設(shè)有兩個(gè)信號(hào)分別從0°和30°方向入射,接收端信噪比為10dB,其MUSIC譜如圖1。

圖1 有一個(gè)和兩個(gè)信號(hào)入射時(shí)的MUSIC譜

圖1計(jì)算了有一個(gè)和兩個(gè)入射信號(hào)時(shí),采用一維噪聲子空間計(jì)算得到的MUSIC譜。圖1(a)可以看出,當(dāng)有一個(gè)入射信號(hào)時(shí),可以根據(jù)譜峰搜索將來波方向成功的計(jì)算出來,所得的偽譜尖銳,且與角度對(duì)應(yīng)比較準(zhǔn)確,結(jié)果令人滿意;但是圖1(b)中,當(dāng)有0°和30°兩個(gè)入射信號(hào)時(shí),雖然在這兩個(gè)方向出現(xiàn)了峰值,但是沒有信號(hào)的一個(gè)方向-33°附近也出現(xiàn)了一個(gè)峰值,而且該峰值比0°方向的峰值更高。從這兩個(gè)圖的對(duì)比可以看到,當(dāng)入射信號(hào)超過一個(gè)時(shí),譜峰高度可能會(huì)低于沒有入射信號(hào)的方向,此時(shí)就會(huì)使計(jì)算發(fā)生錯(cuò)誤。

通過觀察和分析可以知道,雖然一維噪聲子空間能夠減小計(jì)算量,同時(shí)也可以提高M(jìn)USIC的譜峰高度,但是在有多個(gè)入射信號(hào)或者低信噪比的情況下,非期望的峰值可能會(huì)高于期望方向的峰值,從而導(dǎo)致計(jì)算失敗,這是一維噪聲子空間方法的應(yīng)用局限性。

5 結(jié)語

論文分析了一種“一維噪聲子空間算法”在DOA估計(jì)方面的優(yōu)點(diǎn)和應(yīng)用局限性,然后DOA結(jié)果進(jìn)行了計(jì)算。計(jì)算表明,該種改進(jìn)型自校準(zhǔn)算法在只有一個(gè)入射波時(shí)仍能有效地估計(jì)出來波方向,且計(jì)算量有了較大的改善,但入射波在某些情況下時(shí),可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的情況。

[1] Robert J Mailloux.相控陣天線手冊(cè)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2007.

[2] 劉鳴,袁超偉,賈寧,等.相控陣天線技術(shù)與應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2007.

[3] 蘇衛(wèi)民,顧紅,倪晉麟.通道失配對(duì)MUSIC空間譜及其分辨力的影響[J].電子學(xué)報(bào),1998,26(9):142-145.

[4] 王鴻興.天線陣列自校正算法研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2006.

[5] 羅利春.基于一維噪聲子空間的空間譜估計(jì)算法[J].中國空間科學(xué)技術(shù),1994(1):1-8.

[6] Haykin S, Reilly J P, Kezys. Some aspects of array[J]. Signal processing, IEEE Proceeds-F,1992,139(1):1-26.

[7] Hill D S. Multiple signal DF using super resolution: a practical assessment. ECEJ, DEC,1990:221-232.

[8] 張浩,張志軍,朱國軍.采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)的修正一維噪聲子空間算法[J].電聲技術(shù),2006(11):4-6,11.

[9] 李海鵬.基于空間譜估計(jì)的陣列誤差校正方法研究[D].西安:西安電子科技大學(xué),2011.

[10] 閔永生,羅景青,吳世龍.基于均勻圓陣的方位估計(jì)及互耦自校正算法[J].探測(cè)與控制學(xué)報(bào),2011,33(6):66-70.

[11] 張志軍,張浩,朱國軍.陣列幅相誤差影響下的一維噪聲子空間算法[J].兵工自動(dòng)化,2006,25(12):45-47.

Limitations of the Application of One-dimensional Noise Subspace Algorithm in DOA

LIU Jianxin

(China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009)

The one dimension noise subspace algorithm are discussed. Some mistakes of that algorithm are pointed out, and limitations of that algorithm are studied under different conditions. Conclusion is that although there are limitations on the theory and application, but under certain conditions results of DOA are satisfied, meanwhile the amount of calculation is greatly reduced, so there is still values for that algorithm.

phased array antenna, classic MUSIC algorithm, one-dimensional noise subspace algorithm

2015年6月8日,

2015年7月29日

總裝“十二五”高技術(shù)支撐項(xiàng)目(編號(hào):6190102503)資助。

劉建新,男,碩士,助理工程師,研究方向:彈載制導(dǎo)數(shù)據(jù)鏈等。

TN82

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.12.011