麥云飛，劉磊然，郭 瑞

（上海理工大學機械工程學院，上海200093）

0 引 言

擺線齒輪是漸開線齒輪的前驅。由于漸開線齒輪有加工刀具形狀簡單、中心距改變時傳動比保持恒定、生產效率高等優(yōu)勢，使其在齒輪傳動的許多領域代替了擺線齒輪。但是擺線齒輪也有著漸開線齒輪不可比擬的優(yōu)勢，比如擺線齒輪組成的傳動裝置體積小、重量輕、結構緊湊等。這使得擺線齒輪在某些特殊領域，仍保持著其絕對的優(yōu)勢。然而擺線齒輪復雜的輪廓曲線、較高的加工精度等限制了其發(fā)展。近年來數(shù)控技術以及粉末冶金技術的快速發(fā)展為擺線轉子泵的廣泛應用提供了強有力的保證，吸引著國內外學者紛紛加入到擺線轉子泵的研究隊伍中。

設計者往往希望在樣泵生產加工之前利用現(xiàn)有的CAE技術先對其進行計算機模擬仿真，得到一些重要的性能參數(shù)，指導優(yōu)化設計、節(jié)約研究成本、縮短生產周期。因此，本文采用了國際商用軟件Fluent對SCR擺線轉子泵的內部流場進行仿真求解研究。

1 Fluent流場仿真流程概述

Fluent是一款比較流行的國際商用軟件，它包含了豐富的物理模型和先進的數(shù)值處理方法，能夠解決各種復雜的流動計算問題，從層流到湍流、從穩(wěn)態(tài)到瞬態(tài)、從不可壓縮流體到可壓縮流體等［1］。應用Fluent進行流場仿真分析，包括三個基本環(huán)節(jié)：前處理、計算求解和后處理，與之對應的程序模塊為前處理器、求解器和后處理器［2］，其工作流程如圖1。

圖1 Fluent仿真分析流程

針對流體的仿真，F(xiàn)luent 6.2.16求解器的應用范圍是最廣泛的，它對網格的類型沒有嚴格的限制，既可對結構化網格進行求解，也可對非結構化網格進行求解。但是在Gambit中對模型進行劃分網格時，要針對模型的維數(shù)選擇合適的網格。對于二維問題，可以選擇四邊形網格和三角形網格；對于三維問題，可以選擇六面體、四面體、金字塔形以及楔形網格［3］。其中結構化網格包括二維的四邊形網格和三維的六面體網格，其余為非結構化網格。Fluent 6.2.16可以處理單塊和多塊網格，也可以處理二維及三維混合網格。

本文選用的前置處理器和求解器分別為Gambit2.2.30和Fluent 6.2.16。后處理器則采用Fluent自帶的后處理功能進行結果的監(jiān)測。

2 擺線轉子泵控制方程模型確定

Fluent是在流體動力學控制方程的基礎上建立起來的，控制方程是物理學守恒定律的表達式。流體的流動主要受三大物理守恒定律的約束，分別為流體質量守恒定律、流體動量守恒定律（即牛頓第二定律）和流體能量守恒定律［4］。任何形式、任何狀態(tài)的流體流動，都必須滿足以上三大定律。而針對SCR擺線轉子泵的仿真研究，其屬于湍流流動。因此要考慮湍流運動遵循的湍流運輸方程。其中湍流運輸方程包括湍動能k方程及湍流耗散率ε方程。

2.1 湍流的特征

流體一般有兩種流動狀態(tài)，分別為層流和紊流（也稱湍流）。紊流和層流的速度對時間的變化情況如圖2。紊流和層流的速度不同，流體層之間如果沒有互相干擾，則這種形式的流動稱為層流流動。層流流動既沒有質量的傳遞，也沒有動量的傳遞；而湍流流動中則沒有明顯的分層現(xiàn)象，流動比較紊亂，整個過程中伴隨著質量和動量的傳遞［5］。湍流的主要特征表現(xiàn)為在物理上近乎于無窮多的尺度和在數(shù)學上強烈的非線性。由于工程應用中的流體流動情況多為紊流，因此紊流一直受到研究人員的高度關注，在工程中占有舉足輕重的地位。

圖2 紊流和層流的速度變化

2.2 擺線轉子泵湍流模型的確定

SCR擺線轉子泵內外轉子的運轉速度很快，屬于高速運轉。內外轉子之間的工作容腔隨轉子的運轉，形狀發(fā)生周期性地快速變化，存在較大的變形；同時由于轉子間形成的各個封閉容腔的壓差及流速差的存在，導致擺線轉子泵所輸送的介質在流速和流向上發(fā)生較大的擾動，因此其流動情況較為復雜，屬于湍流流動情況。對SCR擺線轉子泵內部流場的模擬，實質上是對不可壓縮粘性流體的納維-斯托克斯方程（N-S方程）的數(shù)值求解。為了更好地獲得擺線轉子泵的流場仿真特性，必須選擇合適的湍流模型，且合適的湍流模型對仿真模擬的真實反映以及運算成本，都有著不可忽視的作用。

Fluent中的湍流模型一般都是基于雷諾平均的N-S方程的湍流模型［6］。下面對其中常用的幾種湍流模型進行分析，為選擇合適的擺線轉子泵湍流模型奠定理論基礎。根據(jù)湍流模型每迭代步數(shù)的計算成本，由小到大的順序給出各個湍流模型的關系，如圖3。

圖3 幾種常用湍流模型

Spalart-Allmaras是一種新出現(xiàn)的單方程湍流模型，該模型主要應用于空氣動力學或者處理一些輕微的湍流流動情況［7］，其對近壁的變量梯度比在k-ε模型和k-ω模型中的要小很多，模擬精度不夠高。因此對于復雜的流動通常需要采用二方程的k-ε湍流模型來保證足夠的模擬精度。標準的k-ε模型在工業(yè)應用中被普遍使用，其收斂性和精確性都比較好，但對于復雜的湍流流動的處理，RNG k-ε模型考慮了湍流漩渦，其精確性更好，而且標準的k-ε模型是一種高雷諾數(shù)的模型，使用的是用戶提供的經驗常數(shù)，RNG理論則為湍流Prandtl數(shù)提供了一個解析公式，能更好地處理近壁區(qū)域。因此，RNG k-ε模型比標準的k-ε模型在更廣泛的流動中有更高的可信度和精度；相比于標準k-ε模型，Realizable k-ε對復雜流動的模擬有較好的效果，但在計算同時包含旋轉流體域和靜止流體域的湍流流動時會導致非物性湍流粘度，不能適用于擺線轉子泵的流場仿真；而RNG k-ε模型對存在瞬變流和流線彎曲的復雜流動也有良好的模擬效果，較之kω和Reynolds Stress Model湍流模型其計算經濟性要好得多，因此綜合考慮計算精度和計算成本，對SCR擺線轉子泵的流場仿真，采用RNG k-ε湍流模型來模擬其內部流動情況。

2.3 湍流控制方程及其簡化

湍流流動中，如果直接求解三維瞬態(tài)納維葉-斯托克斯方程，需要采用對計算機內存和速度要求很高的直接模擬方法，這種方法目前來看是不可能應用于實際工程中的。工程中采用的方法是通過補充能夠反應湍流特性的湍流模型方程，對瞬態(tài)納維葉-斯托克斯方程做時間平均處理。RNG湍流方程就是其中的一種處理方法，該湍流方程包括湍動能方程和湍流耗散率方程，其數(shù)學描述如下。

湍動能k方程：

湍流耗散率ε方程：

式中，Gk是由平均速度梯度引起的湍動能k的產生項；Gb是由浮力引起的湍動能k的產生項；YM是可壓縮湍流中的脈動擴張項，G1ε、G2ε和G3ε為經驗常數(shù)；αk和αε分別為湍動能k和湍流耗散率ε對應的Prandtl數(shù)（在大雷諾數(shù)時，兩者取值約為1.393）；Sk和Sε分別為用戶定義的源項。

綜上所述，當泵送介質為不可壓縮流體，同時不考慮用戶自定義的源項時，RNG k-ε模型的簡化方程如下。

3 擺線轉子泵控制方程求解算法研究

3.1 離散化方法概述

從前面的湍流控制方程分析可以看出，這些基本方程都是偏微分方程，要得到其解析解或者近似解析解是非常困難的，因此，必須對計算區(qū)域進行離散化，將連續(xù)的偏微分方程組及其定解條件按照某種方法遵循的特定的規(guī)則轉化為代數(shù)方程組（與控制方程相對應的離散方程），以得到連續(xù)系統(tǒng)的離散數(shù)值逼近解。有限差分法、有限元法和有限體積法是CFD經常使用的離散方法，而邊界元法在計算電磁學領域應用相對多一些，在CFD中應用較少。

有限差分法（Finite Difference Method，F(xiàn)DM）是最經典的方法，它將微分方程離散到網格點上，將方程中無限小的微元化為有限小的差分來求解。有限差分法在流體力學中應用廣泛，發(fā)展也比較成熟。但是其一般適用于簡單的幾何流動，對于復雜的幾何流動問題，如果不能做到網格對光滑程度的要求，就很難保證差分格式的高精度，導致較大的誤差。

有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是把積分形式的方程離散到有限小的集體單元里，利用極值原理進行求解。有限元法對網格的類型沒有特別的要求，對象既可以是結構化網格，也可以是非結構化網格。但是為了保證解的精度，有限元法在每個微小單元里要進行特定的加權積分，因此其求解速度比較慢，且占用比較大的內存。

有限體積法（Finite Volume Method，F(xiàn)VM），首先將計算域離散成一組控制體（網格單元），然后在這組控制體上求解控制方程，將偏微分方程組離散為代數(shù)方程系統(tǒng)；進而通過數(shù)值的方法求解所有的代數(shù)方程組，逐漸接近流場的真實解。有限體積法的優(yōu)點是首先對網格的正交性沒有特別的要求，可以大量使用非結構化網格，從而可以對復雜幾何問題進行求解，其次是計算時該算法對內存的占用很小，便于精細地模擬流場細節(jié)。Fluent解算器就是基于有限體積法的，目前Fluent測試的網格單元數(shù)量已經突破10億，并行效率很高。

3.2 流場數(shù)值求解算法研究

擺線轉子泵的流場仿真模型通過有限體積法離散化后，得到了與控制方程相對應的離散方程，即代數(shù)方程組。但是該代數(shù)方程組不能直接用于求解計算，因此還必須對離散方程進行某種調整，并且對各未知量（速度、壓力等）的求解順序及方式進行特殊處理。在Fluent中對離散后的控制方程的求解分為耦合式解法（Coupled Method）和分離 式 解法 （Segregated Method）。這兩種求解方法的求解對象和所求解的控制方程基本是相同的，也都是用有限體積法作為對計算對象進行離散求解的基礎方法。但是對于不同的流動求解，兩者的精度不同。對于特定的流動，為了得到更精確的逼近解，要選擇合適的求解器。

對于高速可壓縮流體流動問題，一般采用耦合求解法；對于不可壓縮和中等程度的可壓縮流體流動問題，則應用分離求解法進行求解。SCR擺線轉子泵的流場仿真分析，根據(jù)前面的假設，屬于不可壓縮流體流動問題，所以選擇分離求解法進行求解。

分離求解法是把動量和壓力（或壓力修正）作為主要變量。Fluent中主要提供了4種壓力—速度耦合算法，分別為SIMPLE、SIMPLEC、PISO和Coupled算法。其中前三種屬于分離求解算法，最后一種屬于耦合求解算法。由于擺線轉子泵是基于分離求解算法的，下面主要針對分離求解算法進行分析，確定適用于擺線轉子泵的求解算法，用于后續(xù)的流場仿真求解分析。

分離求解方法即分別求解各個控制方程的方法。由于控制方程都是非線性的，因此求解過程必須經過多次迭代才能獲得其收斂解。圖4為分離求解方法的求解流程，其過程概括如下。

（1）流場變量更新。在第一次計算時，變量由初始化過程更新。在隨后的計算中，每迭代一次即得到一次更新的解。

（2）用當前的壓強和質量通量的值求解動量方程，以得到新的速度場。

（3）由于（2）中得到的速度場的數(shù)值解無法完全滿足連續(xù)方程，所以再求解壓力修正方程。壓力修正方程是由連續(xù)方程導出的泊松型方程，求解這個方程可以得到對壓強場、速度場和質量場通量的修正，進而滿足連續(xù)方程。

（4）利用前面求出的解，求解湍流方程、能量方程、組元方程和能量方程。

（5）檢驗收斂條件是否滿足。如果收斂條件滿足，則停止計算。否則，繼續(xù)迭代過程。

圖4 分離求解過程

SIMPLE算法的基本策略是用假定的壓強場求解動量方程以得到邊界點上的通量。因為假定的壓強場不準確，所以求得的通量必然不能滿足連續(xù)方程，于是在通量上添加修正項，以使得通量能夠滿足連續(xù)方程。而通量修正項是壓強修正項的函數(shù)，因此將修正過的通量代入連續(xù)方程，就可以得到一個關于壓強修正項的方程。用AMG多重網格法求解這個方程可以得到壓強修正項的解。在壓強修正項的前面乘以亞松弛因子，再與原壓強相加就可以得到一個新的壓強場。以這個新的壓強場為起點重復上述過程，就形成了交替求解壓強場、速度場的迭代過程，直到最后得到收斂解，計算結束。

SIMPLEC算法與SIMPLE算法的基礎思路一致，僅在通量修正方法上有所改進，因而加快了計算的收斂速度。SIMPLE算法和SIMPLEC算法在每隔迭代步中得到的壓強場都不能完全滿足動量方程，因此需要反復迭代，直至收斂。

PISO算法針對SIMPLE算法中每個迭代步獲得的壓強場與動量方程偏離過大的問題，在每個迭代步中增加了動量修正和網格畸變修正過程。因此雖然PISO算法的每個迭代步中的計算量大于SIMPLE算法和SIMPLEC算法，但是由于每個迭代步中獲得的壓強場更準確，所以使得計算收斂的更快，也就是說收斂解需要的迭代步數(shù)大大減少了。

經過大量的實踐表明，對于擺線轉子泵，PISO算法有更高的精度，且收斂速度較快，因此SCR擺線轉子泵的流場仿真采用的是PISO算法。

4 總 結

本文在基于Fluent軟件的前提下，分析簡化了適用于SCR擺線轉子泵的基本控制方程；通過對不同湍流模型適用范圍及計算精度和成本的分析，選用了可以處理復雜湍流問題，并能獲得較高精度和可信度的RNG k-ε湍流模型；通過對離散方程不同求解方法優(yōu)缺點的分析，確定了用分離控制PISO算法進行求解計算，對擺線轉子泵內部流場的仿真提供了支撐基礎。

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