肖艷平, 楊翊仁, 魯麗

(1.中國(guó)民航飛行學(xué)院 飛行技術(shù)學(xué)院, 四川 廣漢 618307;2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

長(zhǎng)直機(jī)翼的顫振及混沌運(yùn)動(dòng)分析

肖艷平1,2, 楊翊仁2, 魯麗2

(1.中國(guó)民航飛行學(xué)院 飛行技術(shù)學(xué)院, 四川 廣漢 618307;2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

采用非定常氣動(dòng)力并考慮幾何非線性的影響,建立了長(zhǎng)直機(jī)翼的氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)用伽遼金法對(duì)方程進(jìn)行離散,通過(guò)數(shù)值模擬研究了機(jī)翼的顫振特性及混沌運(yùn)動(dòng)。結(jié)果表明:考慮幾何非線性后,出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)的初始點(diǎn)與線性預(yù)測(cè)結(jié)果基本一致;不同機(jī)翼模型,機(jī)翼振動(dòng)從收斂到混沌的過(guò)程不同,可由單個(gè)極限環(huán)振動(dòng)經(jīng)擬周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌,也可以由單個(gè)極限環(huán)到擬周期運(yùn)動(dòng),再回到單環(huán)振動(dòng),然后經(jīng)極限環(huán)的周期倍化進(jìn)入混沌狀態(tài)。

顫振; 極限環(huán)振動(dòng); 混沌;非線性

0 引言

近十幾年來(lái),高空長(zhǎng)航時(shí)飛機(jī)越來(lái)越受到世界各國(guó)的重視。這類(lèi)飛機(jī)普遍的特點(diǎn)是大展弦比、重量輕、柔性大,故基于小變形線性假設(shè)的氣動(dòng)彈性分析方法已不再適用[1]。由于幾何非線性效應(yīng),一般不會(huì)像線性機(jī)翼顫振那樣發(fā)生振幅隨時(shí)間以指數(shù)形式增長(zhǎng)的破壞性振動(dòng),而通常呈現(xiàn)出限幅極限環(huán)振動(dòng)的形式;但是,劇烈的顫振會(huì)對(duì)大展弦比機(jī)械結(jié)構(gòu)的疲勞壽命,甚至飛行器的飛行性能以及飛行安全產(chǎn)生十分不利的影響[2-3]。

目前,對(duì)大展弦比機(jī)翼的氣動(dòng)彈性分析,其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型主要采用非線性梁模型。早在1974年,Hodges等[3]建立了彈性旋翼的Hodges-Dowell方程。此方程是彎-彎-扭相耦合梁的非線性運(yùn)動(dòng)方程,該方程經(jīng)適當(dāng)簡(jiǎn)化后完全可以作為大展弦比固定翼飛機(jī)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。文獻(xiàn)[4-5]采用簡(jiǎn)化的Hodges-Dowell方程和準(zhǔn)定常氣動(dòng)力研究了大展弦比機(jī)翼非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng),并給出了風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果。Patil等[6]采用渦格氣動(dòng)力理論分析了幾何非線性對(duì)大展弦比機(jī)翼氣動(dòng)彈性響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[2,7]采用準(zhǔn)模態(tài)法研究了非定常氣動(dòng)力作用下的顫振邊界的求解。冉玉國(guó)等[8]利用Nastran軟件分析了非定常氣動(dòng)力作用下大展弦比機(jī)翼的氣動(dòng)彈性響應(yīng),但他們僅研究了顫振邊界,未涉及混沌運(yùn)動(dòng)。Patil等[6]對(duì)顫振后極限環(huán)振動(dòng)進(jìn)行了研究,但結(jié)構(gòu)模型中只考慮了二次非線性項(xiàng)的影響。

本文考慮了長(zhǎng)直機(jī)翼的幾何非線性,采用非定常氣動(dòng)力,建立了彎扭耦合懸臂梁的非線性氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程。采用伽遼金法對(duì)方程進(jìn)行離散,利用MATLAB語(yǔ)言數(shù)值模擬研究了長(zhǎng)直機(jī)翼的顫振特性和混沌運(yùn)動(dòng)。

1 氣動(dòng)彈性方程的建立

考慮如圖1所示的長(zhǎng)直機(jī)翼模型,忽略機(jī)翼的弦向變形和翹曲的影響,基于文獻(xiàn)[3]可推導(dǎo)出長(zhǎng)直機(jī)翼的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中:Fw,Mφ為非定常氣動(dòng)力和力矩;m為機(jī)翼單位長(zhǎng)度質(zhì)量;w為彎曲位移;xa為機(jī)翼重心與彈性軸的距離;φ為繞彈性軸的扭轉(zhuǎn)角;EI1,EI2和GJ分別為機(jī)翼的垂向彎曲、弦向彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度;Ia為單位長(zhǎng)度機(jī)翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖1 長(zhǎng)直機(jī)翼模型Fig.1 Model of the long straight wing

非定常氣動(dòng)力采用時(shí)域內(nèi)基于Wagner函數(shù)的氣動(dòng)力為[9]:

(2)

其中:

φw(τ)=1-A1e-b1τ-A2e-b2τ

式中:V為來(lái)流速度;a為彈性中心到弦長(zhǎng)中點(diǎn)的無(wú)量綱距離;b為半弦長(zhǎng);τ=(V/b)t為無(wú)量綱時(shí)間;A1=0.165;A2=0.335;b1=0.045 5;b2=0.3。

將式(2)代入式(1)可得機(jī)翼的氣動(dòng)彈性方程為:

(3)

采用伽遼金法對(duì)式(3)進(jìn)行離散,并利用振型的正交性積分,整理后可得:

(4)

(5)

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 顫振臨界速度的確定

線性顫振分析可確定系統(tǒng)的顫振邊界,本文通過(guò)計(jì)算式(5)的特征值s=c+ωi來(lái)確定顫振臨界速度。隨著速度的增加,若特征值實(shí)部c由負(fù)變正,則該速度即為顫振臨界速度。

本文以?xún)煞N機(jī)翼模型為例進(jìn)行研究,模型的具體參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 機(jī)翼模型參數(shù)Table 1 Parameters of the wings

計(jì)算時(shí),彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)均取前4階。計(jì)算得到case 1機(jī)翼模型(HALE飛機(jī))的顫振臨界速度VF=32.65 m/s,顫振頻率f=22.1 rad/s,與文獻(xiàn)[6]結(jié)果(VF=32.8 m/s,f=22.4 rad/s)非常接近。Case 2機(jī)翼模型VF=23.4 m/s,f=23.5 rad/s。

2.2 混沌運(yùn)動(dòng)

由于考慮了長(zhǎng)直機(jī)翼的幾何非線性的影響,當(dāng)速度大于線性顫振臨界速度時(shí),機(jī)翼響應(yīng)并不會(huì)發(fā)散,而是出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)。為此,本文以流速為分叉參數(shù),研究不同機(jī)翼的翼尖扭轉(zhuǎn)位移極限環(huán)振動(dòng)響應(yīng)。圖2給出了初始條件為y0(1,1)=0.006 25時(shí),HALE飛機(jī)的翼尖扭轉(zhuǎn)位移分叉圖。

從圖2中可以看出,考慮了幾何非線性影響后,系統(tǒng)極限環(huán)振動(dòng)的初始點(diǎn)與線性分析結(jié)果基本一致,且在系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)前翼尖扭轉(zhuǎn)角響應(yīng)幅值都不是很大。另外,當(dāng)速度大于線性顫振臨界速度時(shí),機(jī)翼的響應(yīng)為極限環(huán)振動(dòng),而且隨著速度的增加,極限環(huán)的幅值一直增大;當(dāng)速度大于40.5 m/s時(shí),系統(tǒng)由單環(huán)振動(dòng)進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)速度大于41 m/s時(shí),系統(tǒng)由擬周期進(jìn)入混沌狀態(tài),扭轉(zhuǎn)角幅值迅速增大。該系統(tǒng)是一個(gè)典型的由擬周期進(jìn)入混沌的系統(tǒng),由圖3中的相圖可以更清楚地看到。

圖2 HALE飛機(jī)翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.2Bifurcation diagram for the wingtip twist angle of HALE

圖3 HALE飛機(jī)翼尖扭轉(zhuǎn)角相圖Fig.3 Phase diagram for the wingtip twist angle of HALE

圖4給出了case 2機(jī)翼模型的扭轉(zhuǎn)位移分叉圖,初始條件為y0(1,1)=0.005。從圖4中可以看出:當(dāng)飛行速度大于線性顫振臨界速度時(shí),系統(tǒng)先出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán),且極限環(huán)的幅值隨著速度的增加而增加,與HALE飛機(jī)類(lèi)似。當(dāng)速度在23.85～25.00 m/s時(shí),隨著速度增加,扭轉(zhuǎn)方向的極限環(huán)幅值保持不變,極限環(huán)中心略向下偏移。極限環(huán)中心位置發(fā)生偏移的原因是在速度大于23.85 m/s時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)了除原點(diǎn)以外的平衡點(diǎn),但由于非定常氣動(dòng)力的作用,該平衡點(diǎn)很難通過(guò)理論分析得出。當(dāng)速度在25～26 m/s之間時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),但位移響應(yīng)幅值變化不大,其相圖如圖5(b)所示,對(duì)應(yīng)的Poincare截面圖如圖6(a)所示。速度在26.0～27.3 m/s之間時(shí),系統(tǒng)又回到穩(wěn)定的極限環(huán)振動(dòng),其相圖如圖5(c)所示。速度在27.3～27.4 m/s之間時(shí),系統(tǒng)交替出現(xiàn)了周期1和周期2的極限環(huán)振動(dòng),其相圖如圖5(d)所示。速度在27.4～28.5 m/s之間時(shí),極限環(huán)出現(xiàn)了周期倍化現(xiàn)象,其相圖如圖5(e)所示,對(duì)應(yīng)的Poincare截面圖如圖6(b)所示。當(dāng)速度大于28.5 m/s時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)由周期倍化運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了混沌狀態(tài),其相圖如圖5(f)所示,對(duì)應(yīng)的Poincare截面圖如圖6(c)所示。

圖4 Case 2翼尖扭轉(zhuǎn)角分叉圖Fig.4 Bifurcation diagram for wingtip twist angle of case 2

圖5 不同速度下翼尖扭轉(zhuǎn)角相圖Fig.5 Phase diagram for the wingtip twist angle at different speeds

圖6 不同速度下的翼尖扭轉(zhuǎn)角龐加萊截面圖Fig.6 Poincare section view of the wingtip twist angle at different speeds

以上為case 2機(jī)翼在某一特定初值下的翼尖扭轉(zhuǎn)角響應(yīng)的研究,演示了系統(tǒng)由收斂到單個(gè)極限環(huán)振動(dòng),到擬周期運(yùn)動(dòng),再到周期1極限環(huán)振動(dòng),最后經(jīng)極限環(huán)的周期倍化進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜過(guò)程。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了長(zhǎng)直機(jī)翼在非定常氣動(dòng)力作用下的非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)問(wèn)題。首先進(jìn)行了線性分析,給出了在時(shí)域中計(jì)算顫振臨界速度的方法,該方法的計(jì)算結(jié)果與其他文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果非常吻合?？紤]幾何非線性后,通過(guò)翼尖扭轉(zhuǎn)角的分叉圖可知,系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)的初始點(diǎn)與線性預(yù)測(cè)結(jié)果基本一致。通過(guò)case 1和case 2混沌運(yùn)動(dòng)分析對(duì)比可知,不同的機(jī)翼模型,系統(tǒng)進(jìn)入混沌的過(guò)程不同。通過(guò)全面分析系統(tǒng)的分叉與混沌行為,不僅可以避免系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài),而且可以防止機(jī)翼發(fā)生顫振,為機(jī)翼的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

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(編輯：李怡)

Analysis of flutter and chaos of long straight wing

XIAO Yan-ping1,2, YANG Yi-ren2, LU Li2

(1.Flight Technology College, Civil Aviation Flight University of China, Guanghan 618307, China;2.School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Considering the effects of geometric nonlinearity, the aerodynamic equations of long straight wings were established with unsteady aerodynamic. The Galerkin’s method was used to discretize the equations. The characteristics of flutter and chaos were analyzed in time domains by numerical simulation. The results show that the starting point of limit-cycle oscillation considering geometric nonlinearity is basically the same as the linear results. The wing’s vibration from convergence to chaos is different from each other. It may be from limit-cycle oscillation to quasi-periodical oscillation, and then to chaos. It may be from limit-cycle oscillation to quasi-periodical oscillation, and then return to period 1, then to chaos by period doubling.

flutter; limit-cycle oscillation; chaos; nonlinear

2015-01-23;

2015-05-10;

時(shí)間:2015-06-24 15:03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11102170)；中國(guó)民航飛行學(xué)院科研基金資助(J2013-03)

肖艷平(1980-)，女，河北樂(lè)亭人，副教授，博士，從事飛行力學(xué)及氣動(dòng)彈性研究。

V211.47

A

1002-0853(2015)06-0510-04