李效敏， 王凱梅， 郎 濤

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

?

涉及公共值和公共值集的亞純函數(shù)的正規(guī)族?

李效敏， 王凱梅， 郎 濤

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

2007年劉曉俊與龐學(xué)誠首先研究了亞純函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)分擔(dān)1個(gè)具有3個(gè)元素的公共值集的正規(guī)族問題。 2011年劉曉毅與常建明推廣了劉曉俊與龐學(xué)誠的相應(yīng)結(jié)果。 本文將在劉曉毅與常建明的有關(guān)結(jié)果基礎(chǔ)上, 進(jìn)一步研究亞純函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)分擔(dān)公共值集的正規(guī)族問題。 本文結(jié)果進(jìn)一步推廣了劉曉俊與龐學(xué)誠以及劉曉毅與常建明的有關(guān)結(jié)果。

亞純函數(shù) ；公共值；公共值集 ； 正規(guī)族

0 引言及主要結(jié)果

定理1 假設(shè)F是定義在區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，S1?C與S2?C是2個(gè)非空的有限集合。假 設(shè)f(z)∈S1并且z∈D,當(dāng)且僅f′(z)∈S1并且z∈D。 如果下述條件之一成立， 那么F在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)：

(a) |S1|≥5; (b) |S1|≥3, 并且 |S2|≥3 ；(c) |S2|≥10。

本文將推廣上述定理1,證明下述3個(gè)定理。

定理2 假設(shè)F是定義在區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，S1?C與S2?C是2個(gè)非空的有限集合。假設(shè)f(z)∈S1并且z∈D, 當(dāng)且僅f(k)(z)∈S1并且z∈D, 其中k≥2， 并且對(duì)任意a1∈S1,f-a1的每個(gè)零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k。如果|S1|≥4，那么F在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)。定理3 假設(shè)F是定義在區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，S1?C與S2?C是2個(gè)非空的有限集合。假設(shè)f(z)∈S1并且z∈D, 當(dāng)且僅f(k)(z)∈S1并且z∈D, 其中k≥2， 并且對(duì)任意a1∈S1,f-a1的每個(gè)零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k。如果|S1|=3和|S2|≥3，那么F在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)。定理4 假設(shè)F是定義在區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族，S1?C與S2?C是2個(gè)非空的有限集合。假設(shè)f(z)∈S1并且z∈D, 當(dāng)且僅f(k)(z)∈S1并且z∈D,k≥2， 并且對(duì)任意a1∈S1,f-a1的每個(gè)零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k。如果|S2|≥10, 那么F在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)。

1 幾個(gè)引理

本節(jié)將給出證明本文主要結(jié)果所需要的一些引理。假設(shè)f是復(fù)平面內(nèi)的1個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)。 并假定讀者熟悉Nevanlinna理論的基本概念和記號(hào)[3-4]，例如

下述引理是著名的Nevanlinna第二基本定理[3-4]：

引理3 假設(shè)F是區(qū)域D內(nèi)的1個(gè)亞純函數(shù)族，k≥2是1個(gè)正整數(shù)， 再設(shè)S?C是1個(gè)有限復(fù)數(shù)集，且滿足|S|≥4。若對(duì)任意f∈F,當(dāng)f∈S時(shí)有|f(k)(z)|≤M， 其中M是1個(gè)正常數(shù)，并且對(duì)任意a∈S,f(z)=a在D上的每個(gè)解(如果存在)的重?cái)?shù)≥k，那么F在區(qū)域D內(nèi)正規(guī)。

注意到ζ0作為g(ζ0)=0的解的重?cái)?shù)≥k≥2， 于是ζ0作為g(ζ0)=0的解的重?cái)?shù)≥k+1≥3。假設(shè)a1,a2,a3,a4是S中4個(gè)判別的元素， 則由引理2可得：

即T(r,g)=S(r,g), 這與g為非常數(shù)的亞純函數(shù)矛盾。引理3獲證。

引理4 假設(shè)R是1個(gè) 非常數(shù)的有理函數(shù)，S是1個(gè)有窮復(fù)數(shù)集合。如果R(z)=0當(dāng)且僅當(dāng)R(k)(z)∈S, 這里k≥1是1 個(gè)正整數(shù)，那么R是1個(gè)次數(shù)≥k的多項(xiàng)式， 并且|S|≤k+1。

證明 由該引理?xiàng)l件可知，S是1個(gè) 有限集。

(1)

為一個(gè)多項(xiàng)式。注意到

(2)

其中c1,c2,…cq是復(fù)常數(shù)，于是(1)改寫為

(3)

再由(3)和條件R(z)=0當(dāng)且僅當(dāng)R(k)(z)∈S可知，R也是多形式， 且不恒為常數(shù)， 于是

R(z)=czp(1+o(1)),z→∞

(4)

其中：c≠0是常數(shù)；p是某個(gè)正整數(shù)。由于R(k)(z)不恒為常數(shù)，所以p≥k+1，于是由(1)可知A不恒等于零，而且A不恒等于常數(shù)。 事實(shí)上，若A=b1，其中b1為非零常數(shù)，則由(1)可得

RR(k+1)=b1(R(k)-a1)(R(k)-a2)…(R(k)-aq)

(5)

由(4), 比較(5)兩邊的次數(shù)可得

p+(p-k-1)=q(p-k)，

即：

(q-2)p=qk-k-1

(6)

再由(6)，p≥k+1和假設(shè)q≥k+2 可得矛盾，所以A是非常數(shù)的多項(xiàng)式。再由(3)，(4)以及對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理，經(jīng)計(jì)算可知， 當(dāng)z→∞有

(7)

其中b2≠0為常數(shù)。 由(1)，(4)和(7)可得

A(z)=cb2zp-1(1+o(1))，z→∞

(8)

另一方面，注意到R(z)=czp(1+o(1)),由(4)可知， 當(dāng)z→∞時(shí)， 有

R(k)(z)=cp(p-1)…(p-k+1)zp-k(1+o(1))

(9)

和

R(k+1)(z)=cp(p-1)…(p-k+1)

(p-k)zp-k-1(1+o(1))

(10)

將(4)，(9)和(10)代入(1)得

A(z)=b3zq(k-p)+2p-k-1(1+o(1)),z→∞

(11)

其中b3≠0是某個(gè)常數(shù)。最后比較(8)和(11)可得p-1=q(k-p)+2p-k-1，由此得p=k，這與前面得到的結(jié)論p≥k+1矛盾。引理4獲證。

下述引理是由Hayman-Miles[6]得出的重要結(jié)果， 對(duì)本文主要結(jié)果的證明起重要作用：

引理5[6]假設(shè)f是1個(gè)復(fù)平面上的超越亞純函數(shù)，K>1是1個(gè)給定的正常數(shù)， 則存在1個(gè)僅與K有關(guān)的子集M(K)?(0,+∞)， 其上對(duì)數(shù)密度不超過δ(K)=min{(2eK-1-1)-1,(1+e(K-1))exp(e(1-K))}，使得對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k， 有：

2 定理的證明

定理2的證明 假設(shè) |S1|≥4。

gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)-a1→g(ζ)

(12)

相應(yīng)地

(13)

和

fn(zn+ρnζ)-a3=gn(ζ)+a1-a3→g(ζ)+a1-a3

(14)

證明 0是g，g+a1-a2和g+a1-a3的Picard例外值， 從而由引理2可知，g退化為常數(shù)，這與前面得到的g為非常數(shù)的亞純函數(shù)矛盾。首先證明0是g的Picard例外值。事實(shí)上，假設(shè)存在一點(diǎn)ζ0∈C，使得

這里

(15)

hn(ζ)→h(ζ)

(16)

或者

hn(ζ)→∞

(17)

其中h(ζ)是復(fù)平面C上的非常數(shù)的亞純函數(shù)，并且不恒等于∞。注意到g不恒為常數(shù)，由Huiwitz定理知，存在點(diǎn)列ζn使得gn(ζn)=0并且ζn→ζ0， 于是

(18)

由(18)可知，(16)成立，但(17)不成立。

下面證明下述2個(gè)斷言： (i)G在復(fù)平面C上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的；(ii)G(ζ)=0當(dāng)且僅當(dāng)G(k)(ζ)∈S2。

斷言(i)的證明 假設(shè)ζ0是g的m0≥1重零點(diǎn)，那么G在 復(fù)平面C上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過m0。事實(shí)上，假設(shè)G在復(fù)平面C上有m0+1個(gè)判別的零點(diǎn)ξ1,ξ2,…,ξm0,ξm0+1，那么由Huiwitz定理知，存在點(diǎn)列ξnj→ξj(1≤j≤m0+1)使得對(duì)充分大的正正整數(shù)n，有Gn(ξnj)=0，結(jié)合(19)可知gn(ζn+ηnξnj)=0。注意ζn+ηnξnj→ζ0，1≤j≤m0+1，再由(19)和Huiwitz定理可知，ζ0作為g的零點(diǎn)的重?cái)?shù)≥m0+1， 這與前面假設(shè)矛盾。斷言(i)獲證。

斷言(ii)的證明 假設(shè)G(ξ0)=0，ξ0∈C。注意到G不恒為常數(shù)，由Huiwitz定理可知，存在點(diǎn)列ζn的某個(gè)子序列， 不妨設(shè)它本身， 使得ζn→ξ0并且Gn(ξn)=0，即

gn(ζ)=fn(zn+ρn(ζn+ηnξn))-a1=0，

由定理3的條件可知

(20)

再證

(21)

事實(shí)上，假設(shè)G(k)(ξ0)=b1∈S2，ξ0∈C。首先G(k)不恒等于b1， 否則G(k)=b1， 當(dāng)b1=0時(shí)，G是次數(shù)≤k-1的多項(xiàng)式， 這與G是非常數(shù)的亞純函數(shù)，并且G的每個(gè)零點(diǎn)重?cái)?shù)≥k矛盾;當(dāng)b1=0時(shí)，G是次數(shù)等于k的多項(xiàng)式， 即

(22)

其中τ0是某個(gè)有窮復(fù)數(shù)。

由(22)可得

(23)

由此結(jié)合定理3的條件可得

fn(zn+ρn(ζn+ηnξn))=s1∈S1，

其中s1是S1中的某個(gè)元素。若s1≠a1, 則由前面得到的結(jié)論：按球距

gn(ζ)=fn(zn+ρnζ)-a1→g(ζ),

可知

(24)

另一方面

a1∈S1

(25)

由(24)和(25)可得矛盾。

若s1=a1， 類似于(24)可得G(ξ0)=0，于是(21)得證。

最后由(20) 和(21)可得斷言(ii)。由上面的斷言(i)和(ii)完成定理3的證明， 為此分以下2種情形討論：

T(r,G(k))+S(r,G(k))，

即

(|S2|-2)T(r,G(k))≤S(r,G(k))

(26)

由(26)和條件|S2|≥3可得T(r,G(k))=S(r,G(k))， 這與G(k)為非常數(shù)的亞純函數(shù)矛盾。

T(r.G)+S(r,G)，

由此得T(r,G)=S(r,G)， 于是G退化為常數(shù)， 這是不可能的。

綜上所述，0是g的Picard例外值。同理可證：

0也是g+a1-a2和g+a1-a3的Picard例外值。于是由引理2可知g退化為常數(shù)，這是不可能的。

定理3證畢。

定理4的證明 若|S1|≥3， 由定理2和定理3可知，定理4的結(jié)論成立。以下假設(shè)1≤|S1|≤2，取a1∈S1。 并假設(shè)F在D內(nèi)不正規(guī)，從而在某點(diǎn)z0∈D不正規(guī)。 不妨設(shè)z0=0，F(xiàn)在|z|<1內(nèi)不正規(guī)。 類似于定理3 的證明，由引理1可得 (12)和(15)。于是任意ζ∈C，有

(27)

以及

(28)

(29)

其中ε為任意給定的正數(shù)。由(29)可得3|S2|≤4+(9e+9eε)，這與|S2|≥10的假設(shè)矛盾。定理4證畢。

[1] 劉曉俊, 龐學(xué)誠. 分擔(dān)值與正規(guī)族 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 50(2): 409-412.

[2] 劉曉毅, 常建明. 分擔(dān)集合的亞純函數(shù)正規(guī)族 [J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) 2011, 54(6): 1049-1056.

[3] Yang L. Value Distribution Theory [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[4] Hayman W K. Meromorphic functions [M]. Oxford：The Claredon, 1964.

[5] Schwick W. Sharing values and normality [J]. Arch Math J, 1992, 59: 50-54

[6] Hayman W K， Miles J. On the growth of a meromorphic function and its derivatives [J]. Complex Variables, 1989, 12: 245-260.

[7] Pang X C， Zalcman L. Normal families and shared values [J]. Bull London Math Soc, 2000, 32: 325-331.

AMS Subject Classifications: 30D35; 30D30

責(zé)任編輯 陳呈超

Normal Families of Meromorphic Functions Concerning Shared Values and Shared Sets

LI Xiao-Min, WANG Kai-Mei, LANG Tao

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China )

Liu Xiaojun and Pang Xuecheng firstly study the question of normal families of meromorphic functions sharing a set consisting of three finite values with their derivatives in 2007. In 2011, Liu Xiaoyi and Chang Jianming extended the corresponding results by Liu Xiaojun and Pang Xuecheng. Based upon the corresponding results by Liu Xiaoyi and Chang Jianming, we deeply studied the question of normal families of meromorphic functions sharing sets with their derivatives in the present paper. Moreover, the results in this paper extend the corresponding results given by Liu Xiaojun and Pang Xuecheng and by Liu Xiaoyi and Chang Jianming.

meromorphic functions; shared values ; shared sets; normal families

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (11171184; 40776006);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目 (Z2008A01; ZR2009AM008；ZR2014AM011)資助

2013-07-16；

2014-05-20

李效敏(1967-), 男, 副教授。 E-mail : xmli01267@gmail.com

O174.52

A

1672-5174(2015)02-138-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130220