徐仕磊，阮建紅

（華東師范大學(xué)物理系，上海200241）

核子中部分子分布函數(shù)的研究

徐仕磊，阮建紅

（華東師范大學(xué)物理系，上海200241）

通過(guò)對(duì)幾個(gè)著名小組GJR，MSTW和CTEQ的領(lǐng)頭階部分子分布函數(shù)進(jìn)行仔細(xì)分析和比較，包括分析在不同動(dòng)量標(biāo)度下它們的價(jià)夸克、?？淇撕湍z子的分布函數(shù)以及各種部分子所占有的質(zhì)子總動(dòng)量，發(fā)現(xiàn)在小x區(qū)域，不同研究小組的膠子和海夸克的分布函數(shù)差別非常明顯，說(shuō)明人們對(duì)它們的認(rèn)識(shí)還遠(yuǎn)未清晰.通過(guò)計(jì)算分析高扭度效應(yīng)對(duì)部分子分布函數(shù)的影響，發(fā)現(xiàn)遮蔽效應(yīng)使小x和中x區(qū)域的扭度-4的膠子和?？淇说姆植己瘮?shù)略小于扭度-2的分布函數(shù)，反遮蔽效應(yīng)使x≥2區(qū)域的扭度-4的膠子和?？淇朔植己瘮?shù)大于相應(yīng)的扭度-2的分布函數(shù).最后，從數(shù)值計(jì)算角度驗(yàn)證了MD-DGLAP演化方程是符合動(dòng)量守恒定律的.

部分子分布函數(shù)；高扭度效應(yīng)；演化方程

0引言

1911年盧瑟福（E.Rutherford）通過(guò)α粒子散射實(shí)驗(yàn)提出了原子的核式結(jié)構(gòu)模型.從那以后，物理學(xué)家總是利用散射實(shí)驗(yàn)來(lái)研究物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu).1969年在SLAC上進(jìn)行的電子-核子深度非彈性散射實(shí)驗(yàn)表明質(zhì)子不是點(diǎn)狀粒子，是有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的.接著，費(fèi)曼（R.Feynman）引入了部分子模型來(lái)描述高能散射過(guò)程中核子呈現(xiàn)的性質(zhì).此后，許多理論和實(shí)驗(yàn)小組致力于核子的部分子分布函數(shù)的研究，比如MSTW小組［1］、CTEQ小組［2］和GJR小組［3］等等.

部分子分布函數(shù)xfa（x,Q2），指的是當(dāng)動(dòng)量標(biāo)度等于Q2時(shí)，在質(zhì)子中找到動(dòng)量分?jǐn)?shù)為x的部分子a的幾率.著名的DGLAP方程描寫(xiě)了部分子動(dòng)力學(xué)的演化.分布函數(shù)xfa（x,Q2）中一個(gè)標(biāo)度Q2滿足DGLAP方程.目前，部分子分布函數(shù)不能通過(guò)微擾量子色動(dòng)力學(xué)直接計(jì)算得到，換言之，它們是非微擾的.人們寄希望于格點(diǎn)量子色動(dòng)力學(xué)能夠直接計(jì)算得到部分子分布函數(shù).幸運(yùn)的是，部分子分布函數(shù)是普適的，人們可以通過(guò)擬合大量的深度非彈性散射和相關(guān)的硬散射的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)得到它們.

根據(jù)目前的高能碰撞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們不能肯定是否需要通過(guò)引入高扭度修正項(xiàng)來(lái)對(duì)DGLAP演化方程進(jìn)行修正.但是，根據(jù)DGLAP方程的演化，小x區(qū)域的膠子分布會(huì)越來(lái)越大，最終會(huì)破壞散射截面的幺正性.為了處理這個(gè)問(wèn)題，Gribov、Levin、Ryskin、Muller和Qiu提出了GLR-MQ演化方程［4-5］，將遮蔽效應(yīng)引入到DGLAP演化方程中.然而，由于他們并沒(méi)有考慮反遮蔽效應(yīng)，GLR-MQ方程并不滿足動(dòng)量守恒定律.在時(shí)序微擾論的框架下，Zhu、Ruan等提出了MD-DGLAP演化方程［6-7］，這個(gè)方程同時(shí)考慮了遮蔽效應(yīng)和反遮蔽效應(yīng).DGLAP演化方程是扭度-2的演化方程，我們把由DGLAP演化方程得到的部分子分布函數(shù)稱為扭度-2的部分子分布函數(shù).MD-DGLAP演化方程是考慮了扭度-4效應(yīng)的演化方程，由它得到的部分子分布函數(shù)我們稱為扭度-4的部分子分布函數(shù).

本文是這樣安排的：第1節(jié)，對(duì)GJR08，MSTW2008和CTEQ6研究小組領(lǐng)頭階的部分子分布函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的比較和分析；第2節(jié)，介紹考慮了高扭度效應(yīng)的MD-DGLAP演化方程并對(duì)其高扭度效應(yīng)進(jìn)行計(jì)算和討論；第3節(jié)，對(duì)質(zhì)子的總動(dòng)量在各種部分子之間的分配進(jìn)行計(jì)算和分析；最后，對(duì)本文進(jìn)行總結(jié).

1不同研究小組的部分子分布函數(shù)的比較

部分子分布函數(shù)是通過(guò)對(duì)大量的深度非彈性散射和相關(guān)的硬散射的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行全局分析而得到的.全局分析的基本步驟如下：首先，選定某個(gè)初始標(biāo)度Q，然后確定在該初始標(biāo)度下部分子或部分子的組合的參數(shù)化形式.比如，GJR08采用的參數(shù)化形式為：xf（x,Q）=Nfxaf（1-x）b（1+Af+Bfx）.初始標(biāo)度和部分子初始標(biāo)度的參數(shù)化形式并不是一成不變的.但是，它們必須滿足粒子數(shù)和動(dòng)量的求和規(guī)則

質(zhì)子中的部分子分布函數(shù)在計(jì)算一些物理可觀測(cè)量時(shí)起著重要的作用.比如，散射過(guò)程的散射截面可以寫(xiě)成依賴于過(guò)程的硬矩陣元和普適的部分子分布函數(shù)的卷積.目前，GJR、MSTW和CTEQ小組提出的部分子初始標(biāo)度的參數(shù)化形式為人們廣泛采納.其中，GJR08LO的參數(shù)化形式為［3］

圖1和圖2分別是動(dòng)量標(biāo)度Q2=2 GeV2和Q2=100 GeV2時(shí)GJR08LO、CTEQ6L1和MSTW2008LO的部分子分布函數(shù).比較這兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，3個(gè)小組的價(jià)夸克的分布函數(shù)基本一致，說(shuō)明人們對(duì)核子中價(jià)夸克的認(rèn)識(shí)已十分清楚.對(duì)于價(jià)夸克，人們對(duì)上價(jià)夸克的認(rèn)識(shí)要更加清楚.當(dāng)Q2=2 GeV2時(shí)，3個(gè)小組的膠子和海夸克的分布函數(shù)在大部分的x區(qū)域差別非常大，尤其在x≤10-4區(qū)域.隨著Q2演化至100 Gev2，3個(gè)小組的膠子和?？淇说姆植己瘮?shù)在x≤10-4區(qū)域基本是一樣的，但在x≤10-4區(qū)域，還是存在比較明顯的差別.例如，在x=10-6，Q2=2 GeV2時(shí)，MSTW2008LO的膠子分布是CTEQ6L1的12.77倍，是GJR08LO的2.54倍；而對(duì)于u夸克分布，MSTW2008LO是CTEQ6L1的1.27倍，是GJR08LO的2.82倍；對(duì)于s夸克分布，MSTW2008LO是CTEQ6L1的2.31倍，是GJR08LO的2.81倍.這說(shuō)明人們對(duì)小x區(qū)域的膠子和?？淇说姆植己瘮?shù)的認(rèn)識(shí)還遠(yuǎn)未清晰.

雖然這3個(gè)小組在全局分析中所選用的實(shí)驗(yàn)大多是一樣的，但其部分子分布函數(shù)仍有顯著差別.主要有以下幾個(gè)原因.首先，這3個(gè)小組對(duì)同一實(shí)驗(yàn)選取了不同的數(shù)據(jù).例如，CTEQ6在全局分析中沒(méi)有使用Q2≤4 GeV2的數(shù)據(jù)，且忽略了SLAC的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和一些高Q2時(shí)H1的數(shù)據(jù).第二，他們對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的處理采取了不同的方法.第三，他們使用了不同的初始標(biāo)度的參數(shù)化形式.此外，一些參數(shù)的取值（重整化標(biāo)度Λ和夸克質(zhì)量等）也稍有不同.

將來(lái)，當(dāng)小x和低Q2區(qū)域的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越來(lái)越精確的時(shí)候，人們對(duì)核子中的部分子分布的認(rèn)識(shí)也將更正確.

2考慮高扭度效應(yīng)的演化方程及分布函數(shù)

在時(shí)序微擾論的框架下，Zhu、Ruan等提出了MD-DGLAP演化方程，即對(duì)DGLAP演化方程進(jìn)行了扭度-4的修正.這個(gè)方程同時(shí)考慮了遮蔽效應(yīng)和反遮蔽效應(yīng)，即高扭度效應(yīng)包括遮蔽效應(yīng)和反遮蔽效應(yīng).扭度-4的DGLAP演化方程的具體形式為［8］

在方程（4）中，xv（y,Q2）指某種味道的價(jià)夸克分布函數(shù).

在方程（5）中，xs（x,Q2）指某種味道的海夸克分布函數(shù).

在方程（6）中，xg（x,Q2）指膠子分布函數(shù).

扭度-2和扭度-4的價(jià)夸克的DGLAP演化方程是一樣的；而扭度-2和扭度-4的膠子和?？淇说腄GLAP演化方程是不一樣的.?？淇说呐ざ?4的演化方程和膠子的扭度-4的演化方程（（5）式和（6）式）中的最后兩項(xiàng)是非線性項(xiàng)，即高扭度修正項(xiàng).其中，“+”項(xiàng)代表反遮蔽效應(yīng)項(xiàng)，“-”項(xiàng)代表遮蔽效應(yīng)項(xiàng).這兩個(gè)方程的其它項(xiàng)則為線性項(xiàng)，它們是DGLAP演化方程的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，換言之，它們是扭度-2部分的貢獻(xiàn).式（5）和式（6）中的參數(shù)K決定了高扭度修正的強(qiáng)度，可表示為

式（7）中R為質(zhì)子半徑的尺度，其大小約等于5 GeV-1.但是，如果核子中存在“熱斑”效應(yīng)，那么R≈2 GeV-1.在本文中，我們?nèi)=4.5 GeV-1［8-9］.

為了定量研究高扭度修正的影響，我們使用GJR08LO的初始部分子分布函數(shù)，分別通過(guò)扭度-2和扭度-4的DGLAP演化方程來(lái)分別得到Q2＞Q時(shí)的扭度-2和扭度-4的部分子分布函數(shù).為了更清楚地看到高扭度效應(yīng)的影響，我們采用如下參數(shù)化形式

公式（8）中D（x,Q2）反映了高扭度效應(yīng)的相對(duì)大小.圖3呈現(xiàn)了動(dòng)量標(biāo)度Q2=2,100 GeV2時(shí)，D（x,Q2）與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖3中的第二個(gè)和第三個(gè)子圖表明高扭度效應(yīng)對(duì)價(jià)夸克分布函數(shù)沒(méi)有影響，而對(duì)膠子和?？淇说姆植己瘮?shù)的影響則十分大.在小x和中x區(qū)域，由于存在遮蔽效應(yīng)，扭度-4部分子分布要略小于扭度-2部分子分布.但這種差別隨著x的增大而減小.例如，動(dòng)量標(biāo)度Q2=2 GeV2時(shí)，x=10-5的扭度-4的膠子分布函數(shù)要比扭度-2的膠子分布函數(shù)小10.6%.而x=0.1的扭度-4的膠子分布函數(shù)只比扭度-2的膠子分布函數(shù)小0.5%.在大x區(qū)域（x大于0.2），由于存在反遮蔽效應(yīng)，扭度-4部分子分布函數(shù)要略大于扭度-2部分子分布函數(shù).

3核子中各部分子所占有的動(dòng)量

本節(jié)中，我們將使用不同的部分子分布函數(shù)來(lái)分析質(zhì)子的總動(dòng)量在各種部分子之間是如何分配的.我們將味道數(shù)nf取為4，即不考慮底夸克和頂夸克的貢獻(xiàn).表1和表2列出了在動(dòng)量標(biāo)度Q2=2 GeV2、100 GeV2時(shí)，使用不同部分子分布函數(shù)計(jì)算得到的各種部分子攜帶的動(dòng)量與質(zhì)子總動(dòng)量的比值.這些比值是通過(guò)計(jì)算積分R1x0xfa（x,Q2）dx而得到的.理論上x(chóng)0應(yīng)取為0，但是，在實(shí)際的計(jì)算過(guò)程中我們?nèi)=10-8.例如，我們用MSTW2008LO算得在動(dòng)量標(biāo)度Q2=2 GeV2時(shí)，膠子、uv、dv、2u、2d和2s攜帶的動(dòng)量與質(zhì)子總動(dòng)量的比值分別為40.86%、30.86%、6.36%、8.04%和2.30%.上面6個(gè)數(shù)的和略小于1，這是因?yàn)槲覀儾](méi)有呈現(xiàn)粲夸克攜帶的動(dòng)量與質(zhì)子總動(dòng)量的比值.

從以上兩個(gè)表格中我們可以發(fā)現(xiàn)膠子差不多攜帶著質(zhì)子一半的動(dòng)量.我們還可以發(fā)現(xiàn)，價(jià)夸克攜帶的動(dòng)量與質(zhì)子總動(dòng)量的比值隨著Q2的增加而減少.同時(shí)，膠子和海夸克的比值則隨著Q2的增加而增加.換言之，隨著Q2的演化，動(dòng)量分?jǐn)?shù)從價(jià)夸克轉(zhuǎn)移到了膠子和?？淇松厦嫒チ?這種趨勢(shì)對(duì)所有不同小組的部分子分布函數(shù)來(lái)說(shuō)都是一樣的.

在圖4中，GJR08LO指用GJR08LO作為初始輸入，根據(jù)DGLAP演化方程計(jì)算的結(jié)果，HT-GJR08LO指用GJR08LO作為初始輸入，根據(jù)MD-DGLAP演化方程計(jì)算的結(jié)果.表格中HT-ZRS是指根據(jù)文獻(xiàn)［8,10］中給出的初始分布及MD-DGLAP演化方程計(jì)算的結(jié)果.由表格可以看出，HT-ZRS的膠子攜帶較多的動(dòng)量，而價(jià)夸克則攜帶著較少的動(dòng)量.從圖4我們可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)GJR08LO和HT-GJR08LO計(jì)算的結(jié)果的差別十分?。ㄐ∮?%）.這表明MDDGLAP演化方程是符合動(dòng)量守恒定律的.雖然MD-DGLAP演化方程中存在非線性項(xiàng)，但是，在任意的動(dòng)量標(biāo)度Q2，不同種類的部分子攜帶的總動(dòng)量并沒(méi)有改變.

從表格和圖5我們還發(fā)現(xiàn)使用不同小組的部分子分布函數(shù)MSTW2008LO，CTEQ6L1和GJR08LO計(jì)算得到的?？淇藬y帶的質(zhì)子動(dòng)量的差別非常大.而價(jià)夸克和膠子的區(qū)別則十分小.例如，在動(dòng)量標(biāo)度Q2=100 GeV2時(shí)，與GJR08LO相比，CTEQ6L1的下夸克攜帶的動(dòng)量分?jǐn)?shù)要小19.9%，而上夸克和奇異夸克則分別要高8.0%和23.7%.結(jié)構(gòu)函數(shù)數(shù)據(jù)的選擇是導(dǎo)致這結(jié)果的主要原因.

總而言之，現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)還不能完全確定質(zhì)子中各部分子動(dòng)量的分布.隨著結(jié)構(gòu)函數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值越來(lái)越精確，將來(lái)，我們對(duì)質(zhì)子的動(dòng)量分布的認(rèn)識(shí)也將更正確.

4結(jié)論

目前，GJR08LO、MSTW2008LO和CTEQ6L1部分子分布函數(shù)被大家廣泛用來(lái)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但在低Q2和小x區(qū)域，差別非常大.這說(shuō)明人們對(duì)該區(qū)域的核子的部分子分布的認(rèn)識(shí)還不完善.此外，高扭度效應(yīng)在小x區(qū)域不能忽略，它對(duì)膠子和?？淇说姆植己瘮?shù)有明顯影響.在小x和中x區(qū)域，遮蔽效應(yīng)使扭度-4的部分子分布函數(shù)小于扭度-2的部分子分布函數(shù)；而在x≥0.2區(qū)域，反遮蔽效應(yīng)使扭度-4的部分子分布函數(shù)略大于扭度-2的部分子分布函數(shù).對(duì)質(zhì)子總動(dòng)量的分布進(jìn)行分析，我們發(fā)現(xiàn)不同小組的分布函數(shù)計(jì)算得到的?？淇怂加械膭?dòng)量差別比較明顯.此外，通過(guò)數(shù)值計(jì)算可知MD-DGLAP演化方程是符合動(dòng)量守恒定律的.

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（責(zé)任編輯李藝）

Research on parton distributions in nucleon

XU Shi-lei，RUAN Jian-hong
（Department of Physics，East China Normal University，Shanghai200241，China）

We present the parton distributions at leading order（LO）coming from GJR，MSTW and CTEQ parton sets and compare them at different momentum scales.Obvious differences exist in their gluon and sea quark distributions at small x region.Itindicates that people have not known the nucleon parton distributions very well.We analysze the influence of higher twist effects，i.e.，the shadowing effects and anti-shadowing effects，on parton distributions.Because of the shadowing effects，the twist-4 gluon and sea quark distributions are smaller than the twist-2 distributions at small and middle x region，while，the anti-shadowing effects make the twist-4 gluon and sea quark distributions larger than the twist-2 distributions at x≥2 region.Finally，we present a detailed analysis of how the proton's momentum is shared among various parton flavors at different Q2for different parton sets.With the numerical calculation，we show that the MD-DGLAP equations are momentum conservation.

parton distributions；higher twist effect；evolution equation

O572.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.024

1000-5641（2015）01-0195-08

2014-04

國(guó)家自然科學(xué)基金（10875044）

徐仕磊，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榱Ｗ游锢?E-mail：shileixu1989@gmail.com.

阮建紅，女，教授，研究方向?yàn)榱Ｗ游锢?E-mail：jhruan@phy.ecnu.cn.