徐先龍內(nèi)蒙古鄂爾多斯市康巴什新區(qū)第一中學

反例教學在數(shù)學學習中的作用

徐先龍
內(nèi)蒙古鄂爾多斯市康巴什新區(qū)第一中學

新課程改革要求教師幫助學生設計恰當?shù)膶W習活動和形成有效的學習方式。數(shù)學教學中，適時地、恰當?shù)匾胍恍┓蠢瑢τ陟柟毯驼莆崭拍?、公式、定理和法則，培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力，特別是批判思維、逆向思維和邏輯思維能力，活躍課堂氣氛，都有著不可估量的作用。

初中數(shù)學；反例教學；作用

從邏輯學上講，若說明一個命題是正確的，必須經(jīng)過嚴密的推證；而要說明一個命題是錯誤的，卻只須舉出一個“反例”，即舉出一個符合命題的條件而不符合該命題的結論（或與某一已經(jīng)證實的正確結論）的示例就可以了，這種與命題相矛盾的示例即稱為反例。

對于一個命題來說，反例是簡明有力的否定方法；而對于學生的學習過程來說，它又是加深對概念、定理等數(shù)學對象理解的重要手段，更是我們認識一個新問題（或新數(shù)學對象）過程中的認知規(guī)律之一。在數(shù)學教學中教師若能通過反例的教學，對學生所犯的錯誤加以剖析，讓學生從分析中認識到“錯誤”產(chǎn)生的原因，這對學生準確而深刻地把握概念，掌握知識與方法，預防知識性或方法性的錯誤，乃至提高學習數(shù)學的興趣，形成嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)，都將會起到積極的作用。

一、運用反例，深入概念內(nèi)涵，拓展概念外延

教育心理學研究表明：“概念或規(guī)則的正例傳遞了最有利于辨別的信息?！奔慈藗冊讷@得一個正確認識的過程中，往往要經(jīng)過正反兩方面的比較和鑒別，才能完整地將新的認知“同化”于原有的認知結構之中。因為正面示例，只是回答了什么情況下“是”的問題，而“反例”顯然通過另一個側(cè)面抓住該概念的本質(zhì)，回答了什么情況下“不是”的問題，即從認知的反方向，幫助學生加深對概念的認識。

例1在學習定理“兩邊極其夾角對應相等的兩個三角形全等”時，同學們自然想到結論“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”，教師可以引導學生動手畫圖，尋找是否會出現(xiàn)“例外”的情況，結果會出現(xiàn)這樣的反例：如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB，BC=BD，∠A=∠A，但△ABC與△ABD不全等。由此可以引導學生思考：需要再添加什么條件兩個三角形就全等了，由畫圖可知，只要兩個三角形都是銳角三角形，它們就全等了。

二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性質(zhì)

學生在學習一個新的定理、性質(zhì)時，往往會因為種種原因而忽略定理、性質(zhì)中關鍵詞語的理解與挖掘，從而造成認知“缺陷”，導致問題解決時的錯誤運用。若在教學中恰當引入反例，可以幫助學生牢記定理的關鍵詞語，并從“認知策略”上全面認識和掌握新知識，繼而形成良好的思維習慣與方式。

三、構造反例，準確把握法則，靈活運用公式

新課程要求變革傳統(tǒng)、單一的課堂，讓學生有機會在產(chǎn)生知識的過程中學習。心理學家對人類認知活動的研究表明：對一個新事物的理解與運用，只有建立成功的經(jīng)驗和失敗的教訓的互相作用之下，有了一定的過程，才能真正地正確理解及靈活運用。數(shù)學中的很多性質(zhì)、法則都是以公式的形式出現(xiàn)的，它們也一般都有一定的適用范圍。運用過程中，學生出一點錯誤本屬正?，F(xiàn)象。但是，教師應該讓這種“正?！爆F(xiàn)象，盡快地在學生的認知過程中“自覺”消失。教學中若有目的地恰當引用一些反例，能加深學生對公式、法則的適用條件的認識與理解，使他們達到對公式、法則有效的理解與掌握，從而在對比中積累“靈活運用”的機智，讓這種“正?！爆F(xiàn)象化歸“不正常”，最終從暫存的記憶中抹去。

四、借助反例，增強防范意識，提高能力

由命題結構可知，中學范疇的數(shù)學結論可劃分為三類：①充要條件型，②充分條件型，③必要條件型。特別是②③兩種類型，在問題解決的應用時，學生經(jīng)常會出現(xiàn)差錯，并且極不易發(fā)現(xiàn)錯誤所在。倘若讓學生在“反例”和“反問”中探索、討論，則可增長“策略性知識”，修正原有的“陳述性知識”模塊，提升其思維的準確性和防錯意識，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。

例4已知關于x的方程x2-mx-m+3=0的兩個根都大于-5，求m的取值范圍。

錯解由題意得，x1-5，x2-5，Δ≥0，所以x1+x2=m-10，x1x2=-m+325，Δ=m2-4（-m+3）≥0，

即m-10，m-22，m≥2或m≤-6，所以這樣的m不存在。

反例若取m=2時方程為x2-2x+1=0，它的兩個根為1都大于-5。所以這道題并非無實數(shù)解。所以上述解答是錯誤的。

事實上，x1-5x2-5與x1+x2-10x1x225并不等價。前者是后者的充分條件，但不是必要條件，其錯誤的原因是將充分條件當作“充要條件”使用了。

新課程改革要求教師幫助學生設計恰當?shù)膶W習活動和形成有效的學習方式。數(shù)學教學中，適時地、恰當?shù)匾胍恍┓蠢瑢τ陟柟毯驼莆崭拍睢⒐?、定理和法則，培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力，特別是批判思維、逆向思維和邏輯思維能力，活躍課堂氣氛，都有著不可估量的作用。