潘竹生，莫毓昌

（浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華321004）

1 引言

可靠性是電力網(wǎng)、給水網(wǎng)、交通網(wǎng)和通信網(wǎng)等生命系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的重要特性，最近三十年來(lái)展開(kāi)了廣泛 研 究，其 中 基 于BDD（Binary Decision Diagram）［1，2］的網(wǎng)絡(luò)可靠性分析方法成為研究熱點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)可靠度BDD 分析方法包含邊排序、等價(jià)BDD生成和可靠度計(jì)算三個(gè)基本過(guò)程，其中生成緊湊的等價(jià)BDD 為核心。文獻(xiàn)［3］介紹了BDD 在雙端網(wǎng)絡(luò)可靠度計(jì)算中的具體實(shí)現(xiàn)，為BDD 在網(wǎng)絡(luò)可靠性計(jì)算中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。Kuo S Y［4～6］基于邊擴(kuò)展技術(shù)提出了自底向上的二端可靠度和K 端可靠度BDD 分析算法，利用邊擴(kuò)展EP（Edge expansion）技術(shù)有效識(shí)別同構(gòu)子圖，進(jìn)而構(gòu)建等價(jià)BDD，為大型網(wǎng)絡(luò)可靠度的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。Hardy G［7，8］提出了自頂向下的全端可靠度和K端可靠度BDD 分析算法，該算法利用分區(qū)等價(jià)類(lèi)有效識(shí)別同構(gòu)子網(wǎng)，較Kuo S Y［4～6］算法更為有效，能計(jì)算更大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)可靠度。Herrmann J U［9～11］針對(duì)Hardy G［7，8］算法中需要存儲(chǔ)大量BDD 節(jié)點(diǎn)而無(wú)法適用更大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的不足，提出了一階段完成的OBDD－A 算法，不再事先構(gòu)建完整BDD，而是邊構(gòu)造邊計(jì)算可靠度值。Kuo S Y 和Hardy G 算法利用邊擴(kuò)展技術(shù)或分區(qū)等價(jià)類(lèi)技術(shù)，高效識(shí)別同構(gòu)子網(wǎng)，從而構(gòu)造緊湊BDD。Herrmann J U 利用OBDD 本身特性，邊構(gòu)造邊計(jì)算可靠度值，只保留必要的BDD 節(jié)點(diǎn)，從而節(jié)省存儲(chǔ)空間，適用更大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)可靠度計(jì)算，但該算法無(wú)法得到完整緊湊的BDD。以上算法從BDD 構(gòu)建角度，較好地解決了存儲(chǔ)空間問(wèn)題，然而，BDD 所占存儲(chǔ)空間還嚴(yán)重依賴邊排序質(zhì)量［12］，高質(zhì)量的邊排序指導(dǎo)生成最簡(jiǎn)的BDD。在相同的構(gòu)建方法下，不同質(zhì)量的邊排序?qū)е翨DD尺度（節(jié)點(diǎn)數(shù)目）變化跨越幾個(gè)數(shù)量級(jí)［14］。

然而，尋找最優(yōu)邊排序問(wèn)題已被證明是一個(gè)NP完全問(wèn)題［13，14］，在已有研究中以Friedman S J等［12，15］提出的最優(yōu)排序算法性能最好，時(shí)間復(fù)雜度為O（n2·3n）。在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)可靠性分析中，大多采 用 啟 發(fā) 性 策 略［4～11，16～19］，如 廣 度 優(yōu) 先 遍 歷BFS（Breadth－First－Search）和深度優(yōu)先遍歷DFS（Depth－First－Search）。文獻(xiàn)［5，8，20］用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了“規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中BFS 策略優(yōu)于DFS 策略”。那么，在其他類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)中，BFS策略是否依然優(yōu)于DFS策略？如果是，指標(biāo)數(shù)據(jù)是什么？根據(jù)該指標(biāo)是否能找到更優(yōu)的邊排序策略？

本文利用邊界集（Boundary Set）思想，提出“邊界長(zhǎng)度BSL（Boudary Set Length）”概念，并用邊界長(zhǎng)度BSL 刻畫(huà)邊排序質(zhì)量指標(biāo)，從實(shí)驗(yàn)角度揭示邊界長(zhǎng)度BSL 和BDD 尺度（節(jié)點(diǎn)數(shù)目）之間的依賴關(guān)系，為邊排序質(zhì)量的判定提供重要依據(jù)。

2 邊排序和邊界集

定義1 三元組G＝（V，E，K）稱為一個(gè)K端網(wǎng)絡(luò)，其中：

（1）V＝｛V1，V2，…，Vn｝，稱為頂點(diǎn)集；

（2）E?V×V，稱為邊集；

（3）K?V，稱為K點(diǎn)集。

為了便于描述，對(duì)于E中的點(diǎn)對(duì)〈a，b〉，a，b∈V，通常賦予另一個(gè)名稱ei。

圖1中的K端網(wǎng)絡(luò)G對(duì)應(yīng)的三元組為（｛0，1，2，3，4，5，6｝，｛e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10｝，｛0，3，6｝）。

Figure 1 Network 1and edge ordering圖1 網(wǎng)絡(luò)1和邊排序

定義2 三元組G的邊排序Order是E至整數(shù)集合｛1，2，…，｜E｜｝上的一一對(duì)應(yīng)函數(shù)，Order：E→｛1，2，…，｜E｜｝。

根據(jù)定義可知，G的邊排序可以有｜E｜！種不同的可能。通常獲得邊排序的方法有BFS和DFS。

圖1中的K端網(wǎng)絡(luò)G，以節(jié)點(diǎn)“0”為排序起點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一種廣度優(yōu)先排序Order為：〈e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10〉。

圖1中的K端網(wǎng)絡(luò)G，以節(jié)點(diǎn)“0”為排序起點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一種深度優(yōu)先排序Order為：〈e1，e4，e8，e6，e2，e5，e3，e7，e10，e9〉。

定義3 給定K端網(wǎng)絡(luò)G＝（V，E，K），定義第k（0≤k≤｜E｜）層邊界集，F(xiàn)k：

圖1所示網(wǎng)絡(luò)，約定邊排序?yàn)閑1＜e2＜…＜e10，則各層邊界集如表1所示。

Table1 Boundary sets of the Network 1表1 網(wǎng)絡(luò)1各層邊界集

定義4 給定K端網(wǎng)絡(luò)G＝（V，E，K）和邊排序Order，定義邊界長(zhǎng)度BSL：

圖1 所示網(wǎng)絡(luò)，約定邊排序?yàn)閑1＜e2＜…＜e10，則BSL＝0＋2＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋2＋0＝25。

3 相同策略下BSL與BDD尺度相關(guān)

選擇經(jīng)典的DFS和BFS啟發(fā)性邊排序策略，在Square Lattice、Torus Lattice、DeBruijn 和NearestNeighbor規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中，求解二端網(wǎng)絡(luò)連通可靠度，考察BSL和BDD 尺度之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)過(guò)程為：生成規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，指定｛s，t｝點(diǎn)對(duì)；根據(jù)不同排序起點(diǎn)完成邊排序，生成等價(jià)BDD，計(jì)算指定｛s，t｝點(diǎn)對(duì)的可靠度值，記錄BDD 尺度（節(jié)點(diǎn)數(shù)目）和BSL，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2 和表3 所示。統(tǒng)計(jì)取最小BSL時(shí)對(duì)應(yīng)的BDD 尺度在結(jié)果集中的位序（取前三），統(tǒng)計(jì)取最大BSL時(shí)對(duì)應(yīng)的BDD尺度在結(jié)果集中的位序（取后三），實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4和表5所示。

Table 2 Results for（s，t）＝（0，15）in 4×4Square Lattice networks表2 4×4Square Lattice network 實(shí)驗(yàn)結(jié)果（s，t）＝（0，15）

Tables 3 Results for（s，t）＝（0，9）in the nearest neighbor networks（nodes＝10degree＝6）表3 Nearest neighbor network（10節(jié)點(diǎn)6度）實(shí)驗(yàn)結(jié)果（s，t）＝（0，9）

Table 4 Relationship between BSLvalues and BDD sizes for DFS表4 DFS策略下BSL 與BDD尺度之間的關(guān)系

Table 5 Relationship between BSLvalues and BDD sizes for BFS表5 BFS策略下BSL 與BDD尺度之間的關(guān)系

表2 和 表3 中，“StartNode”表 示 排 序 起 點(diǎn)，“BDDSize”表 示BDD 節(jié) 點(diǎn) 數(shù) 目（尺 度），“BDDOrder”表示按BDDsize由小到大排序后得到的序號(hào)，“BSLOrder”表示按BSL由小到大排序后得到的序號(hào)。由表1 數(shù)據(jù)可得：對(duì)于Square Lattice網(wǎng)絡(luò)，在相同策略下，BSL較大時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize較大；當(dāng)BSL最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize最大；BSL較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize較?。划?dāng)BSL最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize最小，如圖2所示。由表3數(shù)據(jù)可得：對(duì)于Nearest Neighbor網(wǎng)絡(luò)，在BFS策略下，結(jié)論與Square Lattice網(wǎng)絡(luò)相同；在DFS策略下，結(jié)論不明顯。

Figure 2 Correlation distribution of BSLOrderand BDDOrder圖2 BSLOrder 與BDDOrder 序號(hào)相關(guān)性分布

表4和表5數(shù)據(jù)為相關(guān)網(wǎng)絡(luò)考慮所有｛s，t｝點(diǎn)對(duì)時(shí)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。其中，Best表示“在BSL最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize也最小”的出現(xiàn)次數(shù)；Worst表示“在BSL最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize也最大”的出現(xiàn)次數(shù)；Ratio＿B表示“BSL最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize取前三小”的占比；Ratio＿W表示“BSL最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDDSize取后三大”的占比。顯然，在給定的四類(lèi)網(wǎng)絡(luò)中，邊界集長(zhǎng)度和BDDSize保持了相似的關(guān)系。由此得到結(jié)論：

結(jié)論1 相同策略下，取較小BSL，可以獲得較小BDD 尺度；反之，取較大BSL時(shí)，所得BDD尺度較大；一般情況下，BSL取最值時(shí)，BDD 尺度可以取到最值（或接近最值）。

4 不同策略下BSL 與BDD 尺度相關(guān)性

為了更好地進(jìn)行比較研究，引入FGS（Fastest－Growth－Strategy）邊排序。該策略對(duì)前｜V｜/2條邊排序時(shí)，每排一條邊，BSL增加2；之后，BSL保持不變或減小，直到所有邊被排序。實(shí)驗(yàn)過(guò)程為：在Square Lattice、Torus Lattice、DeBruijn 和NearestNeighbor規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中，隨機(jī)選擇｛s，t｝點(diǎn)對(duì)，在不同的邊排序策略下（僅僅策略不同），生成等價(jià)BDD，記錄BDD 尺度（節(jié)點(diǎn)數(shù)目）和BSL如表6～表9所示。

Table 6 Relationship between BSL values and BDD sizes in the 4×4square lattice networks表6 4×4Square Lattice BSL與BDD尺度之間的關(guān)系

Table 7 Relationship between BSLvalues and BDD sizes in 4×4Torus Lattice networks表7 4×4Torus Lattice BSL 與BDD尺度之間的關(guān)系

Table 8 Relationship between BSLvalues and BDD sizes in DeBruijn（Order＝4）表8 DeBruijn（4Order）BSL 與BDD尺度之間的關(guān)系

Table 9 Relationship between BSLvalues and BDD sizes in the Nearest Neighbor networks（nodes＝10，degree＝8）表9 Nearest Neighbor network（Nodes＝10，Degree＝8）BSL 與BDD尺度之間的關(guān)系

分析表6中數(shù)據(jù)得圖3和圖4。圖3中不同策略在相同｛s，t｝點(diǎn)對(duì)時(shí)有不同BSL，其中，F(xiàn)GS對(duì)應(yīng)的BSL最 大，DFS 次 之，BFS 最 小。圖4 中不同策略在相同｛s，t｝點(diǎn)對(duì)時(shí)有不同BDD 尺度，除｛5，9｝點(diǎn)對(duì)外，保持了與BSL相同（或相似）的變化特性。聯(lián)合圖3和圖4可得，BDD 尺度與BSL有緊密相關(guān)性。

表7～表9 中，ΔBDD1 表 示FGS 和DFS 下BDD 尺度的縮減比，ΔBDD2表示DFS和BFS下BDD 尺 度 的 縮 減 比，ΔBS1 表 示FGS 和DFS 下BSL的縮減比，ΔBS2表示DFS和BFS下BSL的縮減比。由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得：對(duì)于Torus Lattice，比較FGS和DFS，BSL縮減36%以上，對(duì)應(yīng)的BDD尺度縮減9.3%（如｛2，9｝點(diǎn)對(duì)）到59.9%（如｛5，10｝點(diǎn)對(duì)）不等；比較DFS 和BFS，BSL縮減16%以上，對(duì)應(yīng)的BDD 尺度縮減65%以上；對(duì)于De－Bruijn網(wǎng)絡(luò)如表7 所示，一般情況下，BSL減小時(shí)，BDD 尺 度 也 減 小，BSL增 大 時(shí)，BDD 尺 度 增大，｛4，13｝點(diǎn)對(duì)除外；對(duì)于Nearest Neighbor網(wǎng)絡(luò)如表8 所示，與Torus Lattice網(wǎng)絡(luò)有相似特性?？偨Y(jié)四種不同類(lèi)型的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，可得結(jié)論2。

Figure 3 Graphic representation of the BSLvalues in 4×4square Lattice networks圖3 4×4Square Lattice BSL 變化

Figure 4 Graphic representation of the BDD sizes in 4×4square Lattice networks圖4 4×4Square Lattice中BDD 尺度變化

結(jié)論2 不同策略下，BSL較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDD 尺度較??；反之，BSL較大時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDD 尺度較大；BSL與BDD 尺度保持穩(wěn)定（或基本穩(wěn)定）的正相關(guān)性。

5 應(yīng)用

為了更好地驗(yàn)證以上結(jié)論，設(shè)計(jì)一種新的邊排序策略（記為BSMFS），該策略的核心思想為最小邊界長(zhǎng)度優(yōu)先，即邊排序過(guò)程中盡可能保持最小邊界長(zhǎng)度。驗(yàn)證在獲得更小BSL時(shí)，對(duì)應(yīng)的BDD 尺度是否更小。首先在Square Lattice網(wǎng)絡(luò)中，隨機(jī)選擇｛s，t｝點(diǎn)對(duì)，在不同的邊排序策略下，生成等價(jià)BDD，記錄BDD 尺度（節(jié)點(diǎn)數(shù)目）和BSL，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表10所示。

分析表6 和表10 中數(shù)據(jù)，比較BSMFS 策略和BFS策略所對(duì)應(yīng)的BSL和BDD 尺度，除了｛2，6｝點(diǎn)對(duì)在BSL減小時(shí)BDD 尺度有所增加外，其余所 有 點(diǎn) 對(duì) 隨 著B(niǎo)SL減 小，BDD 尺 度 減 小；BSL不變，BDD 尺度保持不變，保持上述結(jié)論。進(jìn)一步地，在實(shí)際工程網(wǎng)絡(luò)（Net1為土耳其Bursa市水網(wǎng)示意模型［20］，Net2為生命線網(wǎng)絡(luò)模型［21］，Net3為日本Kobe市的供水網(wǎng)絡(luò)［22］）中，隨機(jī)選擇｛s，t｝點(diǎn)對(duì)，在不同的邊排序策略下，生成等價(jià)BDD，記錄BDD節(jié)點(diǎn)數(shù)目（尺度）和BSL，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表11所示。

分析表11中數(shù)據(jù)得圖5和圖6。圖5為工程網(wǎng)絡(luò)中，相同｛s，t｝點(diǎn)對(duì)時(shí)不同邊排序策略下不同的BSL分布，由圖可得FGS 對(duì)應(yīng)的BSL最大，BSMFS對(duì) 應(yīng) 的BSL最 小，DFS 和BFS 對(duì) 應(yīng) 的BSL接近且交錯(cuò)分布。圖6為相同｛s，t｝點(diǎn)對(duì)時(shí)不同邊排序策略下不同的BDD 尺度分布，一般情況下，F(xiàn)GS 對(duì) 應(yīng) 的BDD 尺 度 較 大，BSMFS 對(duì) 應(yīng) 的BDD 尺度較小，DFS和BFS對(duì)應(yīng)的BDD尺度接近且分布有所交錯(cuò)。比較策略FGS和BSMFS，BSL較大時(shí)，得到較大BDD 尺度，BSL較小時(shí)，BDD 尺度較小，BSL和BDD 尺度有相似的變化曲線。比較DFS和BFS，在隨機(jī)得到的12組｛s，t｝點(diǎn)對(duì)中，有9 組 保 持“BSL小，對(duì) 應(yīng) 的BDD 尺 度 ?。籅SL大，對(duì)應(yīng)的BDD 尺度大”相關(guān)性，占75%；點(diǎn)對(duì)｛2，5｝，BSL和BDD 尺度都非常接近；另外2組如｛3，4｝｛4，10｝，BSL接近，但BSL較大時(shí)BDD 尺度反而小。

Table 10 Results of BSMFS in 4×4Square networks表10 BSMFS策略在Square Lattice中的指標(biāo)數(shù)據(jù)

Table 11 Results of BSMFS in practical networks表11 BSMFS策略在實(shí)際工程網(wǎng)絡(luò)中的指標(biāo)數(shù)據(jù)

Figure 5 Graphic representation of the BSL values in engineering network圖5 工程網(wǎng)絡(luò)中BSL 尺度變化

Figure 6 Graphic representation of the BDD sizes in engineering network圖6 工程網(wǎng)絡(luò)中BDD 尺度變化

6 結(jié)束語(yǔ)

本文用邊界長(zhǎng)度BSL刻畫(huà)邊排序質(zhì)量，在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中研究了邊界長(zhǎng)度BSL與BDD 尺度之間的關(guān)系，得出“邊界長(zhǎng)度BSL與BDD 尺度具有正相關(guān)性”，即較小BSL對(duì)應(yīng)的BDD 尺度較小，較大BSL對(duì)應(yīng)的BDD 尺度較大，多數(shù)情況下，BSL取最值時(shí)，BDD 尺度能取到（或接近）最值。并以此為依據(jù)設(shè)計(jì)新策略最小邊界長(zhǎng)度優(yōu)先BSMFS，在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和工程網(wǎng)絡(luò)中的進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)表明，邊界長(zhǎng)度BSL指標(biāo)數(shù)據(jù)，能從宏觀角度刻畫(huà)邊排序質(zhì)量，這為特定網(wǎng)絡(luò)選擇（或設(shè)計(jì)）高性能邊排序提供了重要的參考依據(jù)。下一步研究工作：（1）尋找其他指標(biāo)數(shù)據(jù)，從微觀角度進(jìn)一步刻畫(huà)邊排序質(zhì)量；（2）圍繞新的指標(biāo)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)更優(yōu)邊排序策略。

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