金 瑾，武玲玲，樊 藝

（畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州畢節(jié)551700）

高階非線性復(fù)微分方程組的亞純?cè)试S解

金 瑾，武玲玲，樊 藝

（畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州畢節(jié)551700）

利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論和微分方程的研究技巧，研究了一類(lèi)高階代數(shù)微分方程組的亞純解，并且微分方程組的亞純解或同為允許的，或同為非允許的.推廣和改進(jìn)了一些結(jié)論.

代數(shù)微分方程組；亞純函數(shù)；允許解；Nevanlinna理論；值分布理論

1 主要結(jié)果

關(guān)于非線性微分方程組的允許解問(wèn)題，有許多數(shù)學(xué)研究者做了很多的工作，獲得了很多優(yōu)秀的結(jié)果［1－16］.我們利用Nevanlinna值分布理論，對(duì)如下一類(lèi)代數(shù)微分方程組的亞純解的存在性問(wèn)題進(jìn)行研究：

而

都是系數(shù)為亞純函數(shù)的微分多項(xiàng)式.（i），（u），（v），（r）是有限指標(biāo)集，對(duì)于Φ1的分子分母的任一單項(xiàng)式

對(duì)于Φ2的分子分母的任一單項(xiàng)式

函數(shù)｛a（i）（z）｝，｛b（j）（z）｝，｛ai（z）｝，｛bj（z）｝，｛ci（z）｝，｛dj（z）｝都為亞純函數(shù)，且都是w1，w2的小函數(shù)，即

定義1 如果（w1，w2）是非線性高階微分方程組（1.1）的亞純解，S（r）為非線性高階微分方程組（1.1）的所有系數(shù)的特征函數(shù)之和，即

若（w1，w2）滿足S1（r）＝o（T（r，w1）），S2（r）＝o（T（r，w2））（r?I），稱(chēng)（w1，w2）為問(wèn)題（1.1）的亞純?cè)试S解，若（w1，w2）滿足S1（r）≠o（T（r，w1）），S2（r）≠o（T（r，w2））（r?I），稱(chēng)（w1，w2）為問(wèn)題（1.1）的非亞純?cè)试S解.

定義2 設(shè)（w1，w2）是高階微分方程組（1.1）的亞純解，則（w1，w2）的級(jí)為

其中：

定義3 設(shè)（w1，w2）是非線性高階微分方程組（1.1）的亞純解，如果（w1，w2）中的分量w1，w2滿足

則分量w1，w2為微分方程組（1.1）允許分量.其中I是對(duì)數(shù)測(cè)度為有窮的例外值集.

在以上定義以及眾多數(shù)學(xué)工作者研究的基礎(chǔ)上，我們得到以下的結(jié)論：

定理1 設(shè)（w1，w2）是非線性高階微分方程組（1.1）的亞純解，若滿足下列條件之一：

則（w1，w2）中的兩個(gè)分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

2 引理及證明

引理1［2］設(shè)

其中

則

這里

引理2［5］設(shè)R（z，w）是關(guān)于w（z）的不可約的有理函數(shù)，系數(shù)｛ai（z）｝，｛bj（z）｝是亞

純函數(shù).如果w（z）是亞純函數(shù)，則有

3 定理的證明

由引理1—2得：

其中：

又

則

由非線性微分方程組（1.1）和上述結(jié)論可得：

若（w1，w2）中的分量w1為允許的，分量w2為非允許的，由（3.1）和（3.2）式得：

其中I1為對(duì)數(shù)測(cè)度有限的例外值集.又

由（3.5）和（3.6）式可知，至多除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有窮的例外值集后有

這與定理的條件矛盾.

若（w1，w2）中的分量w1為允許的，分量w2為非允許的，由（3.1）和（3.2）式得：

其中I2為對(duì)數(shù)測(cè)度有限的例外值集.又

由（3.7）和（3.8）式可知，至多除去一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有窮的例外值集后有

這與定理?xiàng)l件矛盾.

因此，（w1，w2）中的兩個(gè)分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

［1］ TODA N.On the conjecture of gackstatter and laine concerning the differential equation（w′［J］.Kodai Math J，1983，6：238－249.

［2］ 高凌云.關(guān)于兩類(lèi)復(fù)微分方程組的允許解［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，43（1）：149－136.

［3］ 高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2004，24（1）：96－101.

［4］ 高凌云.Malmquist型復(fù)差分方程組［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，55（2）：293－300.

［5］ 金瑾，李澤清.一類(lèi)高階非線性代數(shù)微分方程組的非亞純?cè)试S解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，27（2）：292－298.

［6］ 金瑾.高階非線性代數(shù)微分方程組的可允許解［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，37（2）：114－119.

［7］ 金瑾.高階非線性微分方程組的亞純?cè)试S解的值分布［J］.畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，31（8）：25－33.

［8］ lAINE I.Nevanlinna theory and compiex differential equation［M］.Berlin：Walter de Gruyter，1993：20－105.

［9］ KORHONEN R.A new clunie type theorem for difference polynomials［J］.J Difference Equ Appl，2011，17（3）：387－400.

［10］ HILLE E.Ordinary differential equations in the complex domain［M］.New York：Wiley－Interscience，1976：12－65.

［11］ 金瑾.高階微分方程解與其小函數(shù)的關(guān)系［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，28（1）：43－51.

［12］ 金瑾.關(guān)于一類(lèi)高階齊次線性微分方程解的增長(zhǎng)性［J］.中山大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，52（1）：51－55.

［13］ 金瑾.高階微分方程解的超級(jí)的輻角分布［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，32（12）：178－187.

［14］ 金瑾，石寧生.一類(lèi)微分方程的解及其解的導(dǎo)數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41（22）：185－190.

［15］ 金瑾.一類(lèi)高階齊次線性微分方程亞純解的超級(jí)不動(dòng)點(diǎn)［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，45（1）：18－22.

［16］ 金瑾.關(guān)于亞純函數(shù)φ（z）fn（z）f（k）（z）的值分布［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（6）：711－718.

Meromorphic admissible solution of systems of higher order non－linear complex differential eguations

JIN Jin，WU Ling－ling，F(xiàn)AN Yi

（Department of Mathematics and Compute Science，Bijie University，Bijie 551700，China）

In this paper，applying Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions and investigation skills of differential equations，we study the meromorphic solutions of higher order algebraic differential equation system，obtain that the solution of the system are all admissible or nonadmissible，improvements and extensions such results are presented in this paper.

algebraic differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

O 174.52 ［學(xué)科代碼］ 110·41 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0022－04

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.005

2013－08－01

貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項(xiàng)目（2010GZ43286，2012GZ10526）；畢節(jié)市科研基金資助項(xiàng)目（201102）.

金瑾（1962—），男，教授，主要從事復(fù)分析研究.