薛亞茹, 楊 靜, 錢步仁

(中國(guó)石油大學(xué)地球物理與信息工程學(xué)院,北京 102249)

一基于高階稀疏Radon變換的預(yù)測(cè)多次波自適應(yīng)相減方法

薛亞茹, 楊 靜, 錢步仁

(中國(guó)石油大學(xué)地球物理與信息工程學(xué)院,北京 102249)

利用高分辨率稀疏Radon變換和正交變換兩種原子構(gòu)成過(guò)完備的信號(hào)重構(gòu)空間,使得地震信號(hào)在此高階高分辨率稀疏Radon變換域中能夠被稀疏表示;結(jié)合基于過(guò)完備字典的信號(hào)稀疏表示,提出高分辨率稀疏Radon變換和正交多項(xiàng)式變換結(jié)合的高階稀疏Radon變換(HOSRT)。所提方法通過(guò)將地震數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)多次波變換到高階稀疏Radon空間,用完備的高階稀疏Radon變換原子稀疏表示,并在該域進(jìn)行自適應(yīng)相減,能夠有效分離一次波和多次波;而且由于構(gòu)造的完備空間克服了正交性的問(wèn)題,壓制過(guò)程中降低了對(duì)一次波的損傷。對(duì)合成地震記錄和實(shí)際資料的處理結(jié)果表明該方法能夠提高多次波的壓制效果,同時(shí)還可以較好地保留一次波振幅AVO(振幅隨偏移別距的變化)特性。關(guān)鍵詞:Radon變換; 正交多項(xiàng)式變換; 過(guò)完備字典; 自適應(yīng)相減; AVO(振幅隨偏移距的變化)

壓制多次波的方法有預(yù)測(cè)相減法和濾波法兩大類[1]?；诓▌?dòng)理論的預(yù)測(cè)相減法(SRME)有波場(chǎng)外推法、反饋迭代法和逆散射級(jí)數(shù)法[2]。Verschuur等利用基于一次波能量最小化的方法實(shí)現(xiàn)多次波自適應(yīng)相減[3],會(huì)損傷一次波的AVO(振幅隨偏移距的變化)信息。一些學(xué)者提出了自適應(yīng)相減方法的約束條件,例如基于模式的自適應(yīng)相減技術(shù)[4],利用多次波和一次波在變換域差異的自適應(yīng)相減技術(shù)[5],非平穩(wěn)回歸自適應(yīng)相減技術(shù)[6],在二階統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)上完成多次波壓制;如L1范數(shù)的自適應(yīng)相減算法,假設(shè)相減后數(shù)據(jù)的L1范數(shù)模最小[7,8];考慮了實(shí)際地震數(shù)據(jù)一次波和多次波的非正交性的基于獨(dú)立分量技術(shù)的自適應(yīng)相減方法[9];李鐘曉等[10]和Li等[11]提出的基于卷積混合盲分離方法,亦不需要一次波和多次波正交假設(shè)。濾波法中Radon變換是目前壓制多次波常用且有效的方法之一[12]。Thorson提出一種基于最小熵的高分辨率Radon變換[13];Sacchi提出基于Bayes理論的隨機(jī)反演方法[14]。為提高Radon變換分辨率,許多學(xué)者提出了各種改進(jìn)形式的高分辨率Radon變換[15]。Wang等[16]提出速度子空間的思想,通過(guò)貪婪算法實(shí)現(xiàn)稀疏Radon變換,提高了計(jì)算速度。Wang等[12]將地震數(shù)據(jù)分解為常規(guī)Radon變換和一階Radon變換,改善了一次波AVO特性。在Radon 域切除多次波也會(huì)影響一次波的振幅。為了解決這一問(wèn)題,Wang等[17]利用Radon參數(shù)作為濾波器的模板,在時(shí)間域?qū)崿F(xiàn)自適應(yīng)相減;石穎等[18]將預(yù)測(cè)多次波在Radon域的投影作為Radon域非線性濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)做自適應(yīng)相減。上述兩種方法采用在Radon域?qū)崿F(xiàn)多次波的非線性濾波,最終仍是在時(shí)間域做多次波自適應(yīng)相減,無(wú)法避免兩波重疊處對(duì)一次波有所損傷的問(wèn)題。有的學(xué)者提出在Radon域直接自適應(yīng)相減[19],Li等[20-21]提出在Radon域用匹配濾波器進(jìn)行一次波和多次波分離,但這種方法仍會(huì)面臨Radon變換不保幅的問(wèn)題。針對(duì)Radon變換非正交問(wèn)題及時(shí)間域自適應(yīng)相減損傷一次波的問(wèn)題,筆者提出一種基于高階稀疏Radon變換(HOSRT)的預(yù)測(cè)多次波自適應(yīng)相減方法來(lái)壓制多次波,將常規(guī)Radon變換延拓至高階,結(jié)合過(guò)完備字典下信號(hào)的稀疏表示在該域進(jìn)行自適應(yīng)相減。

1 高階Radon變換

1.1 Radon變換的基本原理

Radon變換根據(jù)積分路徑的不同可以分為線性、拋物和雙曲Radon變換,在此處以拋物Radon變換為例給出變換方法,該方法可以推廣至其他類型的Radon變換。

拋物Radon變換模型方程[22]為

(1)

該模型表示地震數(shù)據(jù)可以被表示成一系列拋物路徑的恒等振幅同相軸的線性組合。m(τ,q)為每一函數(shù)的加權(quán)系數(shù)。當(dāng)同相軸振幅發(fā)生變化時(shí),會(huì)引起q參數(shù)的擴(kuò)散,導(dǎo)致分辨率降低。稀疏Radon變換的基本原理是將信號(hào)的Radon參數(shù)與反演矩陣結(jié)合,提高Radon域能量較大參數(shù)的反演權(quán)重,通過(guò)多次迭代,Radon變換將聚焦在某些參數(shù)區(qū)域,較好地分離了各參數(shù)。然而由于稀疏Radon變換是由常振幅的同相軸構(gòu)成,稀疏的Radon參數(shù)反變換到t-x域后會(huì)造成同相軸AVO信息的丟失,因此在利用稀疏Radon變換處理數(shù)據(jù)時(shí)需要權(quán)衡Radon分辨率與t-x域數(shù)據(jù)保幅。

1.2 高階Radon變換

高階Radon變換考慮了振幅隨炮檢距變化的特性,可以較好地保留地震數(shù)據(jù)的AVO現(xiàn)象,在地震數(shù)據(jù)重建中得到較好的應(yīng)用[23]。本文中從基于過(guò)完備詞典的信號(hào)稀疏表示角度重新闡述高階Radon變換的基本原理。

常見(jiàn)的信號(hào)分解變換是在完備的正交基函數(shù)上進(jìn)行的,如Fourier變換、小波變換,它們對(duì)給定信號(hào)的表示形式唯一且對(duì)信號(hào)特性有一定的要求。將這些表現(xiàn)形式拓展,找到能夠?qū)⑿盘?hào)完全或者近似表示的一組原子,即可組成一個(gè)過(guò)完備字典(字典原子數(shù)目大于每個(gè)原子的維數(shù)),并在這個(gè)字典上能夠使用一種稀疏的表示來(lái)逼近原始信號(hào)。利用過(guò)完備詞典對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示[24]可以有效提高信號(hào)在變換域的分辨率,但須解決兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題:一是如何構(gòu)造過(guò)完備詞典,二是如何尋找稀疏解。

常規(guī)Radon變換主要考慮了地震同相軸路徑的變化,而沒(méi)有考慮振幅變化。采用常數(shù)振幅同相軸作為地震數(shù)據(jù)分解的基函數(shù),這樣的基函數(shù)與實(shí)際同相軸振幅隨炮檢距變化的特點(diǎn)不一致,所以導(dǎo)致Radon域參數(shù)的擴(kuò)散,即分辨率的降低。地震振幅隨炮檢距變化可以用多項(xiàng)式表示[25],正交多項(xiàng)式變換[26]將地震AVO特性用較少的幾個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)表征，因此引入描述振幅變化的變換空間,與積分路徑空間共同構(gòu)成過(guò)完備空間,在過(guò)完備字典中加入表示振幅隨炮檢距變化的正交多項(xiàng)式,將Radon變換與正交多項(xiàng)式變換結(jié)合構(gòu)成高階Radon變換。

設(shè){pj(x),j=0,1,…，N}是由N+1個(gè)偏移距坐標(biāo)x確定的單位正交多項(xiàng)式集,pj(x)是j階代數(shù)多項(xiàng)式,滿足pi(x)pj(x)=δij。地震數(shù)據(jù)d(t,x)在某時(shí)刻的振幅變化可以用正交多項(xiàng)式擬合[28],即

(2)

式中,cj(t)為t時(shí)刻振幅隨偏移距變化的j階正交多項(xiàng)式的分解系數(shù),稱之為正交多項(xiàng)式系數(shù)譜。公式(2)將地震數(shù)據(jù)分解為一系列多項(xiàng)式的線性組合,符合地震數(shù)據(jù)AVO變化的特點(diǎn)。

Radon變換描述了積分路徑的變化,正交多項(xiàng)式包括了振幅的變化,這兩個(gè)字典互不相干,構(gòu)成新的過(guò)完備字典,可以將地震數(shù)據(jù)分解為一系列沿積分路徑振幅變化的同相軸疊加。將式(1)和(2)結(jié)合可以得到高階Radon變換的離散表示

(3)

由于{pj(x),j=0,1,…,N}是正交多項(xiàng)式多項(xiàng)式集,式(3)兩側(cè)同時(shí)乘以pj(x)可以得到高階Radon變換的共軛解

(4)

該變換將地震數(shù)據(jù)分解為各階Radon剖面,其中m0(τ,q)表示沿積分路徑的疊加結(jié)果,與常規(guī)Radon變換一致;m1(τ,q)表示沿積分路徑同相軸振幅的斜率變化特征;m2(τ,q)表示同相軸振幅的曲率變換特征;更高階的Radon變換描述了同相軸振幅的變換細(xì)節(jié),甚至包含了噪聲。通常采用二階Radon變換,m0(τ,q)、m1(τ,q)、m2(τ,q)也是AVO反演的重要參數(shù)。

1.3 高階稀疏Radon變換

上述高階Radon變換用矩陣形式可以表示為

(5)

式中,L0、L1、L2分別表示疊加、梯度和曲率算子。與常規(guī)Radon變換相比,將變換算子由零階L0擴(kuò)展到了高階算子L0、L1、L2,因此命名為高階Radon變換。高階Radon變換的稀疏模型為

(6)

式(6)是一個(gè)NP問(wèn)題,通?？紤]近似解法,常用方法有匹配追蹤算法(match pursuit,MP)[27]和基追蹤算法(basis pursuit, BP)[27]。MP 算法采用了貪心的思想,每次選擇一組最優(yōu)的原子使得其與前一步的殘差內(nèi)積達(dá)到最大。Wang利用該方法實(shí)現(xiàn)快速的稀疏Radon變換[16]。該方法關(guān)鍵是如何選擇最優(yōu)的原子組。Wang將Radon變換的共軛解作為原子選擇的初始值,從中選取幅度較大的參數(shù)作為下一步反演的參數(shù)空間(即原子)。但是當(dāng)考慮到AVO特性時(shí),振幅不一定能夠反映同相軸的能量。例如同相軸各道振幅疊加為零,在Radon剖面上就無(wú)法識(shí)別出來(lái),因此選用同相軸能量作為同相軸識(shí)別的標(biāo)志比振幅閾值要穩(wěn)定。

由于高階Radon 變換是Radon變換與正交多項(xiàng)式變換結(jié)合,根據(jù)Pasval定理[28]可以得到Radon域能量分布

(7)

該能量表示了不同τ時(shí)間沿不同曲率方向同相軸的能量分布。利用該閾值作為變換子空間的選擇依據(jù),通過(guò)迭代方法選出反演的最優(yōu)原子。高階稀疏Radon變換的實(shí)現(xiàn)方法可以分為以下步驟。

(1)用原始數(shù)據(jù)d作為初始化殘差數(shù)據(jù) dresi,初始化Radon參數(shù)m為零;

(2)重復(fù)以下步驟直至滿足停止條件:

②用公式(7)計(jì)算Radon能量分布,據(jù)局部極大值選取Radon子空間 Si,

③利用共軛梯度法最小化代價(jià)函數(shù)

(8)

式中,mi是在上述子空間Si下的最小二乘解。由于子空間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原有的空間參數(shù),因此計(jì)算速度會(huì)大大提高。

④更新參數(shù)m=m+mi, 殘差數(shù)據(jù)dresi=dresi-Lmi。

最后所有的子空間Si構(gòu)成了高階稀疏Radon變換。

2 高階稀疏Radon變換的多次波自適應(yīng)相減

利用Radon變換壓制多次波通常要求一次波和多次波有足夠大的剩余時(shí)差差別,在很多情況下該假設(shè)無(wú)法滿足,多次波的壓制性能和保護(hù)一次波振幅的性能下降?；诓▌?dòng)方程的多次波預(yù)測(cè)相減可以處理較復(fù)雜的地質(zhì)情況,在很多情況下預(yù)測(cè)多次波和一次波是相交的,不滿足正交性,通過(guò)自適應(yīng)相減后,損傷了一次波能量。將兩者方法結(jié)合,把地震數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)多次波均變換到高階Radon空間,在t-x空間相交的一次波和多次波在Radon空間得到了適當(dāng)?shù)姆蛛x,經(jīng)自適應(yīng)相減后可以減小對(duì)一次波的損傷。

假設(shè)地震數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)多次波的高階Radon變換為D和M,濾波器為f,在Radon空間一次波和多次波得到較好分離,因此期望相減后剩余能量最小,也就是多次波得到最大程度的壓制,即

(9)

其中*表示褶積算子,易得濾波算子

f=(MTM+λI)-1MTD.

(10)

式中,MTM為預(yù)測(cè)多次波模型的自相關(guān);MTD為預(yù)測(cè)多次波模型數(shù)據(jù)與輸入地震數(shù)據(jù)的互相關(guān);λI為阻尼約束因子,增加多次波模型的自相關(guān)逆矩陣求解的穩(wěn)定性。

經(jīng)過(guò)上述自適應(yīng)相減后,原始地震數(shù)據(jù)中只保留了一次波能量,經(jīng)過(guò)高階Radon反變換,一次波能量得到較好的保持。

3 實(shí)例分析

高階稀疏Radon變換預(yù)測(cè)多次波壓制主要利用了基于過(guò)完備字典稀疏信號(hào)的高階稀疏Radon變換的保幅和高分辨率的特性。圖1(a)是某一合成地震數(shù)據(jù)記錄,道間距為25 m,采樣點(diǎn)為150,采樣間隔為2 ms,包含三種類型AVO:第一個(gè)同相軸振幅隨炮檢距增長(zhǎng),其振幅均值、梯度和曲率分別為0.6,0.05,-0.1;第二個(gè)同相軸振幅首先衰減,經(jīng)過(guò)零點(diǎn)后又開(kāi)始增長(zhǎng),其振幅均值、梯度和曲率分別為0.1,-0.7, 0.1;第三個(gè)同相軸振幅隨炮檢距衰減,其振幅均值、梯度和曲率分別為0.6,-0.2,0.1。圖2(a)是其稀疏Radon變換結(jié)果,可以看到第二個(gè)同相軸由于振幅均值較小,在Radon參數(shù)識(shí)別時(shí)產(chǎn)生誤差,導(dǎo)致分辨率降低;其反變換數(shù)據(jù)及其誤差如圖1(b)和(c)所示,可以發(fā)現(xiàn)利用稀疏Radon變換重構(gòu)的第二個(gè)同相軸遠(yuǎn)偏移距偏離了真實(shí)路徑,產(chǎn)生較大的誤差;同時(shí)重構(gòu)數(shù)據(jù)在近偏移距也存在較大誤差。高階稀疏Radon剖面道數(shù)為50,變換的結(jié)果m0(τ,q)、m1(τ,q)、m2(τ,q)如圖2(b)、(c)和(d)所示,其分辨率高于常規(guī)Radon變換的分辨率,并且各階Radon剖面真實(shí)反映了各個(gè)同相軸振幅變化的三個(gè)參數(shù),保留了同相軸的AVO特性;其反變換結(jié)果和誤差剖面如圖1(d)和(e)所示,可以看到該方法較好地重構(gòu)了原數(shù)據(jù)。

圖1 Radon變換與高階Radon變換重構(gòu)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.1 Reconstruction comparison between Radon transform (RT) and HOSRT

圖2 Radon變換與高階Radon變換對(duì)比Fig.2 Resolution comparison of RT and HOSRT

第二個(gè)模型用以說(shuō)明高階Radon變換多次波壓制效果。圖3(a)所示為某同相軸相交的地震記錄模型,采樣間隔為2 ms,其水平同相軸表示動(dòng)校正一次波模型,彎曲同相軸表示多次波。假設(shè)多次波已知,都采用基于一次波能量最小化的單道相減方法,時(shí)間域自適應(yīng)相減結(jié)果如圖3(b)所示,可以看到相交部分的一次波由于與多次波不滿足正交關(guān)系也被壓制。GRT(greedy Radon transform)自適應(yīng)壓制的結(jié)果如圖3(c)所示,可以看到多次波有些殘留;誤差剖面如圖3(e)所示,在近偏移距一次波振幅誤差較大,這一點(diǎn)對(duì)AVO反演和疊加成像不利。HOSRT壓制多次波的結(jié)果及誤差剖面如圖3(d)和(f)所示,一次波振幅隨炮檢距衰減的特性明顯顯示出來(lái),在誤差剖面上基本沒(méi)有殘留。此例中GRT和HOSRT自適應(yīng)相減數(shù)據(jù)的窗口長(zhǎng)度一致,均為50,而匹配濾波器階數(shù)為10階。

圖4是利用理想多次波作為預(yù)測(cè)多次波,自適應(yīng)相減前后Radon剖面的對(duì)比。圖4(a)是GRT自適應(yīng)相減結(jié)果的變換域剖面,利用HOSRT進(jìn)行自適應(yīng)相減的結(jié)果如圖4(b)所示,可以看到前者在近偏移距處多次波仍有殘留;由于一次波和多次被基本分離,基于HOSRT的多次波自適應(yīng)相減基本沒(méi)有影響一次波參數(shù),圖4(c)、(d)亦證明了這一點(diǎn)。 原始數(shù)據(jù)的變換域零階如圖4(c)所示,而圖4(d)中為HOSRT自適應(yīng)相減結(jié)果的變換域零階,可看出在壓制干凈多次波的同時(shí),HOSRT變換對(duì)一次波的AVO保護(hù)得很好。

圖3 多次波壓制效果對(duì)比Fig.3 Comparison of demultiple results

圖4 自適應(yīng)相減Radon剖面對(duì)比Fig.4 Comparison of Radon parameters

為進(jìn)一步衡量HOSRT保留一次波振幅特性的能力,定義以下三個(gè)衡量參數(shù):零炮檢距道能量相對(duì)誤差ee(relative error of energy);一次波振幅均值相對(duì)誤差ea(relative error of amplitude average); 一次波振幅梯度相對(duì)誤差eg(relative error of amplitude gradient)。定義Ptrue表示真實(shí)一次波零炮檢距數(shù)據(jù),P表示去多次波后零炮檢距結(jié)果,Atrue和A分別表示一次波真實(shí)振幅均值和去多次波后的振幅均值;Gtrue和G分別表示一次波真實(shí)振幅梯度和去多次波后的振幅梯度,則上述三個(gè)參數(shù)定義分別為

(11)

(12)

(13)

假定Δτ0表示一次波與多次波在零偏移距旅行時(shí)差,Δτmax表示最遠(yuǎn)偏移距旅行時(shí)差,圖5反映了一次波在一定Δτ0的情況下,隨著多次波遠(yuǎn)偏移距的變化各參數(shù)的變化曲線?？梢钥闯?HOSRT較好地保留了一次波的能量及振幅變化特性,該優(yōu)勢(shì)有利于AVO參數(shù)的反演。

圖6所示為某實(shí)際地震數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)多次波在時(shí)間域和高階Radon域自適應(yīng)相減的對(duì)比。圖6(a)為一個(gè)實(shí)際單炮180道的地震數(shù)據(jù)剖面,每道采樣1 500點(diǎn);圖6(b)為基于波動(dòng)方程預(yù)測(cè)(SRME)方法得到的多次波;圖6(c)為在時(shí)間域中利用自適應(yīng)相減法去除多次波的結(jié)果,紅圈所在的局部放大為圖6(e);圖6(d)為利用本文中介紹的基于高階Radon變換的自適應(yīng)相減法去除多次波結(jié)果,紅圈所在的局部放大為圖6(f)。如圖中所示,高階Radon變換預(yù)測(cè)多次波自適應(yīng)相減方法能夠更有效地壓制多次波,同時(shí)保持有效波的幅度變化信息。該例中所用自適應(yīng)濾波器皆為10階,開(kāi)窗長(zhǎng)度為10。

圖5 GRT和HOSRT自適應(yīng)相減相對(duì)誤差比較Fig.5 Relative error comparison between GRT and HOSRT

圖6 兩種方法壓制實(shí)際數(shù)據(jù)中多次波結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of marine data demultiple results

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)結(jié)合正交多項(xiàng)式變換和高分辨率Radon變換,構(gòu)成高階稀疏Radon變換。此方法中兩種變換原子構(gòu)成的過(guò)完備字典可以對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行稀疏表示,從而提高變換域的分辨率;同時(shí)將自適應(yīng)相減過(guò)程從時(shí)間域平移到高階稀疏Radon域中,克服了時(shí)間域壓制多次波損傷一次波振幅的問(wèn)題,在完備且稀疏的HOSRT中進(jìn)行預(yù)測(cè)多次波的自適應(yīng)相減,既可以改善對(duì)多次波的壓制效果,提高降噪水平,又可以保護(hù)一次波振幅變化不受損傷,保存更多的一次波AVO信息。

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(編輯 修榮榮)

Multiples prediction and adaptive subtraction with high-order sparse Radon transform

XUE Yaru, YANG Jing, QIAN Buren

(CollegeofGeophysicsandInformationEngineeringinChinaUniversityofPetroleum,Beijing102249,China)

An adaptive subtraction in high-order sparse Radon domain for multiple-elimination is proposed. Subtraction in time domain can damage primary while it is overlapped with multiples. Radon transform is not an orthogonal transformation; its inversion will loss data trivial. For primary-preservation, the high-resolution sparse Radon transform is incorporated with orthogonal polynomial transformation and sparse representation by an overcomplete dictionary, thus a high-order sparse Radon transform is achieved. The high-order sparse Radon transform not only keeps primary amplitude but improves the resolution of multiple elimination. The adaptive subtraction in high-order sparse Radon domain will decrease the damage to the primaries. The experiments with synthetic data and field data show good performances in multiple elimination and AVO(amplitude versus offset)-preservation.

Radon transform;orthogonal polynomial transform; overcomplete dictionary; adaptive subtraction; AVO(amplitude versus offset)

2014-03-21

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41204095)

薛亞茹(1972-)， 女，副教授，博士，從事信號(hào)處理方面的研究。E-mail：xueyaru@cup.edu.cn。

1673-5005(2015)01-0043-07

10.3969/j.issn.1673-5005.2015.01.006

TE 132

A

薛亞茹,楊靜,錢步仁. 基于高階稀疏Radon變換的預(yù)測(cè)多次波自適應(yīng)相減方法[J].中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,39(1):43-49.

XUE Yaru, YANG Jing, QIAN Buren. Multiples prediction and adaptive subtraction with high-order sparse Radon transform [J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2015,39(1):43-49.