張炳婷，趙建平，陳 麗,盛艷梅

(曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院,山東 曲阜 273165)

一種約束穩(wěn)定性最小均方噪聲對(duì)消算法*

張炳婷，趙建平，陳 麗,盛艷梅

(曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院,山東 曲阜 273165)

研究了最小均方誤差(LMS)算法、歸一化的最小均方(NLMS)算法及變步長NLMS算法在自適應(yīng)噪聲干擾抵消器中的應(yīng)用，針對(duì)目前這些算法在噪聲對(duì)消器應(yīng)用中的缺點(diǎn)，將約束穩(wěn)定性最小均方(CS-LMS)算法應(yīng)用到噪聲處理中，并進(jìn)一步結(jié)合變步長的思想提出來一種新的變步長CS-LMS算法。通過MATLAB進(jìn)行仿真分析，結(jié)果證實(shí)提出的算法與其他算法相比，能很好地濾除掉噪聲從而得到期望信號(hào)，明顯的降低了穩(wěn)態(tài)誤差，并擁有好的收斂速度。

約束穩(wěn)定性；變步長；噪聲抵消；穩(wěn)態(tài)誤差

0 引 言

目前自適應(yīng)噪聲對(duì)消器的用途十分廣泛，常被用于語音通信的噪聲抵消，天線旁瓣干擾消除和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)檢測中的干擾抵消等領(lǐng)域[1]。自適應(yīng)噪聲抵消器的核心是自適應(yīng)濾波器，通過自適應(yīng)算法來實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)的控制，從而實(shí)現(xiàn)最佳濾波。在具體的自適應(yīng)噪聲抵消系統(tǒng)中，信號(hào)的輸入增加了相關(guān)的噪聲信號(hào)作為參考輸入信號(hào)，從而獲得更多的噪聲信息，達(dá)到好的降噪效果，能夠從被噪聲干擾的環(huán)境中獲得有用信號(hào)[2]。針對(duì)不同的自適應(yīng)算法在自適應(yīng)噪聲對(duì)消應(yīng)用中存在的不足之處，本文將一種新的算法約束穩(wěn)定性最小均方(Constraint Stability LMS,CS-LMS)算法[3]應(yīng)用到自適應(yīng)噪聲對(duì)消的系統(tǒng)當(dāng)中，進(jìn)行仿真比較分析。最后結(jié)合變步長的思想提出變步長的CS-LMS算法，進(jìn)行進(jìn)一步的仿真研究。

1 自適應(yīng)噪聲對(duì)消系統(tǒng)的原理

自適應(yīng)噪聲對(duì)消器是一個(gè)具有兩端輸入的自適應(yīng)濾波器，主要分析采用LMS算法的噪聲對(duì)消器，它的原理圖如圖1所示：原始信號(hào)d(n)從信號(hào)源發(fā)出的有用信號(hào)s(n)與從噪聲源產(chǎn)生的噪聲g(n)干擾疊加得到的，而參考輸入信號(hào)x(n)是一個(gè)與有用信號(hào)s(n)無關(guān)，與噪聲信號(hào)g(n)相關(guān)的信號(hào)即是噪聲源產(chǎn)生的信號(hào)h(n)。經(jīng)過分析，同源噪聲在某種程度上是相關(guān)的，而噪聲和有用信號(hào)間是相互獨(dú)立的這個(gè)前提下，經(jīng)過多次自適應(yīng)濾波器的迭代，使濾波器的輸出y(n)無限接近噪聲干擾信號(hào)g(n)，這樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)e(n)就近似等于我們需要的有用信號(hào)s(n)[4]。系統(tǒng)的均方誤差即輸出信號(hào)的均方值：

E[e(n)2]=E[d(n)-y(n)2]=E{[s(n)+g(n)-y(n)]2}=E[s(n)2]+E{[g(n)-y(n)]2}+2E{s(n)[g(n)-y(n)]}

(1)

因?yàn)閟(n)與g(n)和h(n)是不相關(guān)的，則式(1)可寫為E[e(n)2]=E[s(n)2]+E{[g(n)-y(n)]2}，又信號(hào)的輸入功率和自適應(yīng)調(diào)節(jié)無關(guān)，所以要讓E[e(n)2]最小即使E{[g(n)-y(n)]2}最小，也就是系統(tǒng)的輸出信號(hào)e(n)與有用信號(hào)s(n)的均方差最小。在自適應(yīng)對(duì)消系統(tǒng)中，自適應(yīng)濾波器在的調(diào)節(jié)下改變自身的權(quán)系數(shù)，使得系統(tǒng)的輸出誤差均值E[e(n)2]最小，從而達(dá)到干擾對(duì)消的目的[5]。

圖1 自適應(yīng)噪聲對(duì)消系統(tǒng)框

2 算法的分析

2.1 傳統(tǒng)的LMS算法

最小均方誤差(LMS)算法，它是以期望響應(yīng)和濾波器輸出信號(hào)之間誤差的均方最小值為準(zhǔn)則，并使用誤差來控制自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)，是最終輸出的權(quán)系數(shù)達(dá)到最佳的權(quán)系數(shù)。針對(duì)自適應(yīng)噪聲對(duì)消系統(tǒng)，LMS算法的表達(dá)式：

y(n)=w(n)Tx(n)

(2)

d(n)=s(n)+g(n)

(3)

e(n)=d(n)-y(n)

(4)

w(n+1)=w(n)+ue(n)x(n)

(5)

式中，x(n)是參考輸入信號(hào),d(n)是輸入端的原始信號(hào),y(n)是自適應(yīng)濾波器輸出的信號(hào),w(n)是濾波器的抽頭系數(shù)。則誤差信號(hào)e(n)是有用信號(hào)s(n)的最佳估計(jì)。式(5)是自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)向量的遞推公式，u是步長因子，當(dāng)滿足0

w(n+1)=w(n)+u(n)e(n)x(n)

(6)

式(6)中u(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))，β控制步長函數(shù)的取值范圍，α控制步長函數(shù)的形狀。該算法具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較快的收斂速度。但是在外界噪聲嚴(yán)重的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差較大。

2.2 NLMS算法

對(duì)于基本的LMS算法，它的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差和自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù)矢量的系數(shù)目和輸入信號(hào)的輸入功率有關(guān)，當(dāng)輸入信號(hào)功率增大時(shí)，會(huì)帶來大的穩(wěn)態(tài)誤差，對(duì)梯度噪聲敏感，這一問題在噪聲抵消系統(tǒng)中尤為關(guān)鍵。為了解決這一問題，對(duì)基本的LMS的步長因子進(jìn)行了歸一化[7]的處理，從而降低了算法對(duì)梯度噪聲的敏感度，減小了穩(wěn)態(tài)誤差，提高了收斂速度。

具體來說NLMS算法的步長因子表達(dá)式：

(7)

權(quán)向量更新表達(dá)式：

(8)

其中uo是固定步長因子，當(dāng)滿足0

該算法的步長表達(dá)式：

保護(hù)裝置中非選擇性動(dòng)作概率是指當(dāng)電氣設(shè)備發(fā)生故障時(shí)跳閘的越級(jí)動(dòng)作。越級(jí)跳閘的原因有很多種如環(huán)境，溫度，電子元件參數(shù)的不穩(wěn)定等。因而在設(shè)計(jì)電力保護(hù)系統(tǒng)設(shè)備時(shí)要充分考慮這些因素。對(duì)于可能發(fā)生的越級(jí)跳閘，要采用必要的方案對(duì)策。仔細(xì)研究對(duì)于因環(huán)境，溫度變化或者元器件的損害導(dǎo)致的越級(jí)跳閘動(dòng)作發(fā)生的概率，計(jì)算因這些因素導(dǎo)致的發(fā)生越級(jí)跳閘非選擇性動(dòng)作概率。

u(n)=β[1-exp(-α|e(n)e(n-1)|)]

(9)

權(quán)向量的更新表達(dá)式：

(10)

就是在步長函數(shù)中不直接使用誤差信號(hào)e(n)的平方，而是使用前一時(shí)刻的誤差信號(hào)e(n-1)與當(dāng)前時(shí)刻的誤差信號(hào)e(n)的乘積即e(n-1)e(n)來代替，降低了算法對(duì)噪聲的敏感度。同時(shí)采用變步長算法。達(dá)到在收斂階段，采用大的步長，加快收斂速度，等到收斂穩(wěn)定后，采用小的步長，來降低穩(wěn)態(tài)誤差的目的。

2.3 CS-LMS算法

與NLMS算法不同CS-LMS算法在運(yùn)算的過程中放松了對(duì)NLMS算法的約束條件，使用拉格朗日乘子法求解最佳優(yōu)化問題，得到約束穩(wěn)定性最小均方CS-LMS算法的權(quán)值更新方程。它的權(quán)向量更新表達(dá)式為：

(11)

式(11)中δe(n)=e(n)-e(n-1)，是相鄰的誤差增量，‖δx(n)‖2=‖x(n)-x(n-1)‖2是參考輸入信號(hào)增量的范數(shù)的平方，當(dāng)‖δx(n)‖2≠0算法收斂。由于NLMS算法優(yōu)化問題的約束條件是讓后驗(yàn)誤差為零，過于苛刻，會(huì)使算法在穩(wěn)態(tài)時(shí)收斂過度，會(huì)產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差，而CS-LMS算法放松約束條件后使后驗(yàn)誤差趨于一定值，這樣改善了NLMS算法穩(wěn)態(tài)誤差偏大的現(xiàn)狀[9]。

2.4 改進(jìn)的變步長CS-LMS算法

CS-LMS算法的步長仍是固定的，本文在CS-LMS算法的基礎(chǔ)上結(jié)合變步長的思想提出了變步長的CS-LMS算法。這樣可以達(dá)到在收斂階段，采用大的步長，加快收斂速度，等到收斂穩(wěn)定后，采用小的步長，來降低穩(wěn)態(tài)誤差的目的。將文獻(xiàn)[10]中提出變步長算法與CS-LMS算法結(jié)合得到的變步長CS-LMS算法的步長表達(dá)式如下：

u(n)=αu(n-1)+β|e(n)e(n-1)|

(12)

權(quán)向量更新表達(dá)式：

(13)

該算法采用變步長的思想，解決了穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度間的矛盾，同時(shí)又放松了約束條件，進(jìn)一步的減小了穩(wěn)態(tài)誤差，歸一化的處理讓算法降低了對(duì)梯度噪聲的敏感度。

3 仿真結(jié)果及性能對(duì)比分析

3.1 算法對(duì)輸入信號(hào)敏感程度的分析

將不同的算法應(yīng)用到噪聲抵消系統(tǒng)中，驗(yàn)證不同算法在不同大小的輸入信號(hào)下濾除噪聲的性能，主要從穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度兩個(gè)方面來進(jìn)行對(duì)比。針對(duì)不同算法選取相同的輸入正弦信號(hào)s(n)=2*sin(0.01*pi*n)，噪聲信號(hào)noise=randn(1,n)，其中濾波器的階數(shù)是4，為保證算法的收斂，步長選取適當(dāng)?shù)闹?。?duì)于固定步長LMS算法，取步長為u=0.003，G-SVSLMS算法中選取β=0.006,α=0.8，NLMS算法中uo=0.04,γ=1，CS-LMS算法中uo=0.3,γ=1，分別做200次獨(dú)立仿真，采樣點(diǎn)數(shù)為2 000，以瞬時(shí)誤差作為均方誤差的簡單估計(jì)，求它們的統(tǒng)計(jì)平均，得到算法的學(xué)習(xí)曲線圖如圖2所示。由圖2可以看出，CS-LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差確實(shí)都要優(yōu)于其他的算法。

圖2 不同算法的學(xué)習(xí)曲線

將噪聲信號(hào)改為noise=0.5*randn(1,n)，即改變輸入信號(hào)的功率時(shí)再用相同的4種算法進(jìn)行仿真分析，得到的學(xué)習(xí)曲線如圖3所示。對(duì)比圖2與圖3可以清楚地看到NLMS算法和CS-LMS算法的收斂速度不受輸入信號(hào)功率變化的影響，克服了對(duì)輸入噪聲較為敏感的缺點(diǎn)。而另外兩種算法對(duì)輸入信號(hào)功率變化十分敏感。綜上CS-LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都要優(yōu)于其他算法，而且不易受輸入信號(hào)功率變化的影響。

圖3 不同算法的學(xué)習(xí)曲線

3.2 不同算法噪聲對(duì)消結(jié)果的分析

將CS-LMS算法、VSSNLMS算法和變步長的CS-LMS算法應(yīng)用到具體的自適應(yīng)噪聲對(duì)消系統(tǒng)中，定義濾波器的輸入正弦信號(hào)為s(n)=2*sin(0.01*pi*n)，噪聲信號(hào)為noise=0.5*randn(1,n)，其中濾波器的階數(shù)是4，為保證算法的收斂，步長選取適當(dāng)?shù)闹?。將變步長CS-LMS算法中α=0.7,β=0.09，VSSNLMS算法中α=0.8,β=0.04，CS-LMS算法的uo=0.2,γ=1每種算法獨(dú)立做200次仿真，然后對(duì)其求平均值。

圖4是有用的正弦信號(hào)、噪聲信號(hào)和加入噪聲信號(hào)后的正弦信號(hào)，圖5是不同的LMS算法自適應(yīng)對(duì)消后的結(jié)果，與圖4中的正弦信號(hào)相比，明顯看出CS-LMS算法和本文提出的變步長CS-LMS算法濾除噪聲恢復(fù)信號(hào)的效果要好。圖6是變步長VSSNLMS算法、CS-LMS算法、變步長CS-LMS算法的學(xué)習(xí)曲線圖，顯然CS-LMS算法、變步長CS-LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差低于變步長VSSNLMS，收斂速度也要快許多，這其中本文提出的變步長CS-LMS的性能最好。

圖4 信號(hào)的波形

圖5 不同LMS算法的噪聲對(duì)消后的結(jié)果

圖6 不同算法的學(xué)習(xí)曲線

4 結(jié) 語

文中對(duì)目前自適應(yīng)噪聲對(duì)消器的應(yīng)用和原理做了簡單的說明，研究了傳統(tǒng)的LMS算法、NLMS算法及變步長算法的對(duì)消過程，針對(duì)它們的不足之處，將CS-LMS算法應(yīng)用到自適應(yīng)噪聲對(duì)消系統(tǒng)中，并結(jié)合變步長的思想，提出了一種新的變步長CS-LMS算法，最后對(duì)文中提到的算法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果證明，在自適應(yīng)噪聲對(duì)消的應(yīng)用中，本文提出的算法降低了對(duì)梯度噪聲的敏感度，同時(shí)不僅加快了算法的收斂速度，也大幅度的減小穩(wěn)態(tài)誤差。但是穩(wěn)態(tài)誤差的收斂過程起伏較大，在接下來的研究當(dāng)中，會(huì)對(duì)本文的算法進(jìn)一步的改進(jìn)，并在硬件當(dāng)中進(jìn)行實(shí)施。

[1] Widrow B,Mccool J M, Arimoer M G. Stationary and No Stationary Learning Characteristic of the LMS Adaptive Filter[J],Proc IEEE,1976,64(8):1151-1162.

[2] 褚?guī)V.基于DSP的自適應(yīng)噪聲抵消器設(shè)計(jì)[D].武漢:武漢理工大學(xué)，2005. CHU Rong.Design of Adaptive Filter based on DSP System [D].Wuhan: Wuhan University of Technology,2005.

[3] Amjad Khan G,Dr. Sreenivasa Murthy K E.Noise Cancellation in Speech Signals by Using a Constrained Stability LMS Algorithm. International Journal of Engineering Research and Applications (IJERA) Vol. 2, Issue 1, Jan-Feb.

[4] 任曉亞，宋愛民.自適應(yīng)算法在干擾抵消器應(yīng)用中的比較研究[J].通信技術(shù)，2007,40(12):48-50. REN Xiao-ya, SONG Ai-min. Comparison of Adaptive Filtering Algorithm Used in Interference Cancellation System[J].Communications Technology,2007,40(12),48-50.

[5] 曹斌芳.自適應(yīng)噪聲抵消技術(shù)的研究[D].長沙:湖南大學(xué), 2007. CAO Bin-fang .Research on Adaptive Noise Cancelling Technology [D].Changsha: Hunan University,2007.

[6] 高鷹,謝勝利．一種變步長LMS自適應(yīng)濾波算法及分析[J].電子學(xué)報(bào)，2001,29(08)：1094-1097． GAO Ying, XIE Sheng-li. A Variable Step Size LMS Adaptive Filtering Algorithm and Its Analysis [J].Act Electronic Sinica,2001,29(08)：1094-1097．

[7] 張琦,王霞等.自適應(yīng)回波抵消中變步長NLMS算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2013,29(01):35 - 41. ZHANG Qi,WANG Xia, et al. Variable Step Size NLMS Algorithms in Echo Cancellation [J].Journal of Data Acquisition and Processing,2013,29(01):35-41.

[8] 宋杰，龍騰，何友.一種新的直達(dá)波干擾變步長NLMS算法[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),2015,35(01):105-110. SONG Jie, LONG Teng,HE You. An Adaptive Cancellation of Direct Wave Interference Using a New Variable-Step-Size NLMS Algorithm [J]. Translation of Beijing Institute of Technology, 2015，35(01)：105-110.

[9] 張會(huì)芝，楊育捷，王鮮芳 .一種約束穩(wěn)定性最小均方波束形成算法[J].電光與控制,2014,3(21):33-37. ZHANG Hui-zhi, YANG Yu-jie, WANG Xian-fang. A Constrained Stability Least Mean Square Beam Forming Algorithm[J].Electronic Optics & Control,2014,3(21),33-37.

[10] 強(qiáng)建龍，蔡燦輝.一種改進(jìn)的低復(fù)雜度變步長LMS算法[J].通信技術(shù)，2014,47(03):258-261. QIANG Jian-long, CAI Can-hui. An Improved Low Computational Complexity Variable Step-Size LMS Algorithm [J]. Communications Technology,2014,47(3),258-261.

A Constrained Stability Least Mean Square Noise Cancellation Algorithm

ZHANG Bing-ting，ZHAO Jian-ping，CHEN Li，SHENG Yan-mei

(College of Physics Engineering ，Qufu Normal University ， Qufu Shandong 273165，China )

The least mean square error (LMS) algorithm, normalized least mean square (NLMS) algorithm and variable step NLMS algorithm in adaptive noise canceller are studied, and aiming at the shortcomings of these algorithms in applications, the constrained stability least mean square (CS-LMS) algorithm is applied to dealing with noise,and further combined with the thought of variable step size,a new variable step size CS-LMS algorithm is proposed. Simulation with MATLAB indicates that this proposed algorithm, as compared with other algorithms, could fairly filter out the noise so as to acquire the desired signal, significantly reduce the steady-state error, and has excellent convergence speed.

constraint stability; variable step size; noise cancellation; steady-state error

2015-03-25；

2015-07-19 Received date:2015-03-25；Revised date：2015-07-19

國家自然科學(xué)基金(No.11302118)；山東省自然科學(xué)基金資助(No.ZR2014FM011)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.11302118)，Natural Science Foundation of Shandong Province (No.ZR2014FM011)

TN929.5

A

1002-0802(2015)09-1010-05

張炳婷(1990—)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)；

趙建平(1964—)，男，教授，主要研究方向?yàn)闊o線通信技術(shù)；

陳 麗(1990—)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楣饫w通信技術(shù)；

盛艷梅(1991—)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚怼?/p>

10.3969/j.issn.1002-0802.2015.09.006