周 清，王奉偉

(1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西南昌 330013;2.江西省數(shù)字國土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西南昌 330013)

GM(1，1)模型是灰色系統(tǒng)理論的重要內(nèi)容，由于建模過程簡單，模型表達(dá)式簡潔，便于求解，能較好地對系統(tǒng)行為特征值進(jìn)行預(yù)測，在很多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但是GM(1，1)模型在應(yīng)用的過程中也出現(xiàn)了預(yù)測精度不高的情形，因此對GM(1，1)模型的改進(jìn)是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)，背景值的構(gòu)造是影響GM(1，1)模型擬合和預(yù)測精度的關(guān)鍵因素之一。譚冠軍(2000)，姚穎康等(2009)采用了區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法優(yōu)化傳統(tǒng)的GM(1，1)模型;周世健等(2002)，李大軍等(2002)采用了背景值最佳生成系數(shù)法重構(gòu)背景值，建立了PGM(1，1)模型;王鐘羨等(2003)，李星毅等(2011)，王國興(2013)，羅黨等(2003)，毛文晉等(2011)，胡炎丙等(2013)采用了積分重構(gòu)背景值方法對傳統(tǒng)的GM(1，1)模型進(jìn)行改進(jìn)。為進(jìn)一步探究三種方法的適用性和優(yōu)劣性，文中通過三個(gè)實(shí)例進(jìn)行比較分析。

1 傳統(tǒng)的GM(1，1)模型

傳統(tǒng)的GM(1，1)的建模原理及過程如下:

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為

進(jìn)行一次累加生成得到新的序列

其中α、μ為待定參數(shù)，通過最小二乘有

式中

解方程(3)得:

GM(1，1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為

還原到原始數(shù)據(jù)可得原始序列的灰色預(yù)測模型為

2 背景值的改進(jìn)

2.1 區(qū)間面積和重構(gòu)背景值

譚冠軍(2000)，姚穎康(2009)認(rèn)為傳統(tǒng)的GM(1，1)模型在求解待定參數(shù)α，μ時(shí)，通過梯形面積代替曲邊梯形面積，造成模型預(yù)測精度的降低。傳統(tǒng)模型的背景值為

背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更合適，但是原始序列是離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，同時(shí)x(1)(t)未知，因此考慮將區(qū)間［k，k+1］等分為n個(gè)小區(qū)間，用n個(gè)小區(qū)間的面積和構(gòu)造背景值。

重構(gòu)的背景值為

2.2 背景值最佳生成系數(shù)法重構(gòu)背景值

傳統(tǒng)的GM(1，1)模型在定義背景值時(shí)認(rèn)為在Δt=1的很短時(shí)間內(nèi)，x(t)→x(t+Δt)之間不會(huì)發(fā)生突變，因此取它們的平均值為背景值，但是在實(shí)際應(yīng)用過程中也不可避免的會(huì)出現(xiàn)突變的情況，故而提出了一種新的背景值構(gòu)造方法，構(gòu)建PGM(1，1)模型，如(11)式(周世健，2002;李大軍，2002)。式中p為背景值最佳生成系數(shù)。

2.3 積分法構(gòu)建背景值

王鐘羨等(2003)，李星毅等(2011)，王國興(2013)，羅黨等(2003)，毛文晉等(2011)，胡炎丙等(2013)同樣認(rèn)為背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更加合理，因此采用積分法重構(gòu)背景值如(12)式。

3 實(shí)例分析

實(shí)例1:以x=e0.8(i－1)，i=1，2，…，7生成原始數(shù)據(jù)，x(0)={1.000，2.226，4.953，11.023，24.533，54.598，121.510}。用傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，區(qū)間面積和、背景值最佳生成系數(shù)、積分四種重構(gòu)背景值方法對模型進(jìn)行擬合和預(yù)測。為了便于比較分析，采用MAE和MAPE為評(píng)價(jià)指標(biāo)。其中，MAE= (∑e)/n，MAPE=(∑(e/y))/n，e為殘差值，n數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。具體結(jié)果見表1、表2。

表1 各模型擬合情況對比(實(shí)例1)Table 1 Simulated Values for Four Models(Example 1)

表2 各模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值對比(實(shí)例1)Table 2 Comparison of the results with Predicted Values of the Four Models(Example 1)

從實(shí)例1的擬合和預(yù)測精度可以看出，對于呈近似指數(shù)增長的序列，三種方法均優(yōu)于傳統(tǒng)的GM (1，1)模型，但是區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法改進(jìn)效果更為明顯。

實(shí)例2:原始數(shù)列 ={2.718，7.389，20.086，54.598，148.41，403.43，1096.61}(王國興，2013)。由于數(shù)據(jù)增長急劇，這是一個(gè)高增長序列。采用前五組數(shù)據(jù)建模并預(yù)測后兩組數(shù)據(jù)，結(jié)果見表3、表4。

表3 各模型擬合情況對比(實(shí)例2)Table 3 Simulated Values for Four Models(Example 2)

表4 各模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值對比(實(shí)例2)Table 4 Comparison of the results with Predicted Values of the Four Models(Example 2)

由表3和表4發(fā)現(xiàn)，對于高增長的序列，三種方法的擬合和預(yù)測精度均高于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法改進(jìn)效果尤為明顯。

實(shí)例3:利用黃聲享等(2003)中某煉鋼廠鋼爐的沉降觀測點(diǎn)的10期沉降觀測數(shù)據(jù)，={2.79，4.34，5.17，6.97，7.63，8.4，9.13，9.74，10.09，10.46}。由于數(shù)據(jù)變化平緩，為低增長數(shù)列。采用前七組數(shù)據(jù)建模并預(yù)測后三組數(shù)據(jù)，結(jié)果見表5、表6。

表5 各模型擬合情況對比(實(shí)例3)Table 5 Simulated Values for Four Models(Example 3)

表6 各模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值對比(實(shí)例3)Table 6 Comparison of the results with Predicted Values of the Four Models(Example 3)

從實(shí)例3的擬合和預(yù)測精度可以看出，對于低增長的序列，三種方法與傳統(tǒng)的GM(1，1)模型在擬合精度上相當(dāng)，但在預(yù)測精度上背景值最佳生成系數(shù)法構(gòu)建的PGM(1，1)模型更高，其他兩種方法和傳統(tǒng)的GM(1，1)模型相當(dāng)。

4 結(jié)論

通過實(shí)例分析發(fā)現(xiàn)，對于呈近似指數(shù)增長的序列及高增長序列，應(yīng)用區(qū)間面積和重構(gòu)背景值方法改進(jìn)GM(1，1)模型，在擬合和預(yù)測精度上較傳統(tǒng)的GM(1，1)模型、積分重構(gòu)背景值改進(jìn)GM(1，1)模型、PGM(1，1)模型更好。對于低增長序列，三種方法和傳統(tǒng)的GM(1，1)模型擬合精度相當(dāng)，但是在預(yù)測精度上PGM(1，1)模型更好。

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