劉冠豪++楊品杰++葉險峰

摘 要：邊坡變形監(jiān)測與預測預報是邊坡災害防治的重要技術(shù)措施，也是目前研究的熱點和難點。該文針對邊坡變形監(jiān)測時間間隔不定、數(shù)據(jù)樣本少、預測精度要求高等問題，以某庫岸邊坡上的D02監(jiān)測點為例，采用拉格朗日插值算法進行非等時距序列轉(zhuǎn)換，結(jié)合灰色系統(tǒng)原理，建立非等時距灰色預測模型進行變形分析與預測。研究結(jié)果表明：（1）庫岸邊坡在該點的垂直位移變化經(jīng)歷了加速變形-減速變形-緩慢變形三個階段，其變形速率分別為-1.599mm/月、-0.103mm/月和-0.039mm/月，總體呈暫時趨穩(wěn)態(tài)勢；（2）建立的非等時距灰色預測模型有效解決了因天氣、施工和人為等因素影響，導致觀測周期難以保持一致，出現(xiàn)原始數(shù)據(jù)時距不等的問題，且預測結(jié)果具有很高的精度，有一定的推廣應用價值。

關(guān)鍵詞：庫岸邊坡 拉格朗日插值 灰色系統(tǒng)模型 變形分析與預測

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）01（a）-0051-04

隨著社會經(jīng)濟發(fā)展和能源需求增大，我國先后開工或建成了許多大型水利水電工程，如三峽大壩、小浪底水庫、南水北調(diào)工程、金沙江梯級電站等。大型水利水電工程庫區(qū)的水位與水文變化，導致庫岸山體穩(wěn)定性降低，誘發(fā)大量不穩(wěn)定邊坡、崩塌、滑坡、泥石流等地質(zhì)災害，常造成山體變形破壞、河道堵塞、泥沙淤積、工程施工建設與運營使用受損，甚至引起工程失效和潰壩等災難，已成為社會關(guān)注的熱點。1963年意大利262 m高的瓦依昂拱壩因左岸山體滑坡而潰壩，造成1925人死亡。1976年美國93m高的提堂土壩潰決造成11人死亡、25000人無家可歸[1]。2008年汶川地震造成震區(qū)山體破壞，誘發(fā)大量次生地質(zhì)災害，導致近2000座水庫受損[2]。因此，對庫岸邊坡進行變形監(jiān)測，并根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)進行邊坡變形分析與預測預報是一項重要的技術(shù)工作，對保障水利水電工程施工與運營安全具有重要意義。

庫岸邊坡變形破壞受眾多不確定性因素影響，是一個復雜的非線性過程。其變形分析涉及變形數(shù)據(jù)處理與分析、變形物理解釋和變形預測預報等方面[3]。目前，國內(nèi)外學者對邊坡變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理與分析做了深入研究，取得了一定的理論研究成果，并發(fā)揮了實用效益[4]。早期基于巖土力學原理，結(jié)合工程經(jīng)驗，采用有限元（1967）、離散元[5]、邊界元[6]和非連續(xù)變形分析[7]等方法，建立邊坡變形值與相關(guān)環(huán)境參數(shù)值的函數(shù)關(guān)系式進行邊坡變形分析。但因受其力學機理粗淺或假設不合理、以及參數(shù)獲取等限制，致使計算結(jié)果與實際相差較大，預測精度受到很大影響。隨著概率與數(shù)理統(tǒng)計、時間序列分析、非線性理論和人工智能等現(xiàn)代數(shù)學與計算理論的誕生和發(fā)展，國內(nèi)外學者在此基礎上建立了眾多邊坡變形分析模型與方法[8-11]。每種變形分析模型都有一定的適用條件和局限性，單一的模型或方法已難以準確預測出庫岸邊坡的變形情況，需要改進或建立已有的模型方法，使其更好地分析邊坡實際變形狀態(tài)與趨勢[1]。庫岸邊坡變形的影響因素眾多，往往不能用單一變量表示，同時監(jiān)測時間常為不等間隔，因此灰色預測理論需在多變量非等步長研究上取得突破。該文針對邊坡變形監(jiān)測時間間隔不等，且影響變形因素眾多、數(shù)據(jù)樣本少、預測精度要求高等問題，引入拉格朗日插值算法進行非等時距數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換，結(jié)合灰色系統(tǒng)原理，建立非等時距灰色預測模型，進行邊坡變形分析與趨勢預測，并采用后驗差方法檢驗預測精度。

1 研究方法

1.1 拉格朗日插值法

1.1.1 插值算法原理

在庫岸邊坡變形研究中，可以用函數(shù)y=f（x）來表示其變形值在某點隨時間變化的數(shù)量關(guān)系。但這種函數(shù)關(guān)系沒有明顯解析式，通常通過實驗觀測得到y(tǒng)=f（x）在某區(qū)間[a，b]上的一系列點的函數(shù)值yi=f（xi），即一張表（xi，yi），（i=0，1，2，…，n）。根據(jù)該函數(shù)表“插出”（構(gòu)造）一個既能反映函數(shù)f（x）特性、又計算簡單的函數(shù)（x）來近似f（x），并使得（xi）=f（xi），（i=0，1，2，…，n）。這種求函數(shù)近似式的方法稱為插值法，其數(shù)學表達式為：

設函數(shù)y=f（x）定義在區(qū)間[a，b]上，x0，x1，…，xn是[a， b]上取定的n+1個互異節(jié)點，且在這些點處的函數(shù)值f（x0），f（x1）， …，f（xn）為已知，即yi=f（xi），（i=0，1，2，…， n）。若存在一個f（x）的近似函數(shù)（x），滿足

（1）

則稱（x）為f（x）的一個插值函數(shù)。f（x）為被插值函數(shù)，點xi為插值節(jié)點，式（1）為插值條件，而誤差函數(shù)R（x）=f（x）-（x）稱為插值余項，區(qū)間[a，b]為插值區(qū)間，插值點在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插，否則稱外插。

1.1.2 拉格朗日插值多項式

通過n+1個不同的節(jié)點（xi，yi），構(gòu)造一個特殊n次多項式li（x），使其在各節(jié)點上滿足：

（2）

即 （3）

由條件lk（xi）=0 （i≠k）可知：x0，x1，…，xk-1，xk+1，…，xn都是n次多項式lk（x）的零點，故可設

（4）

其中Ak為待定常數(shù)。由lk（xk）=1，可求得

（5）

將公式（5）代入公式（4），則

（6）

因此，以n+1個n次基本插值多項式（公式（6））為基礎的n次代數(shù)插值多項式為：

（7）

公式（7）稱為n次拉格朗日插值多項式，用于解決該文灰色系統(tǒng)模型中的非等時距問題。

1.2 灰色模型

1.2.1 灰色原理與方法

灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本、貧信息”不確定型系統(tǒng)為研究對象，用灰色數(shù)學模型將觀測數(shù)據(jù)序列看做隨時間變化的灰色量（過程）。通過累加生成和累減生成逐步使灰色量白化，從而建立相應于微分方程解的模型并作出預測預報。其主要模型方法與計算步驟如下。endprint

1）生成原始數(shù)列：

（8）

2）累加生成序列：

（9）

并且X（0）與X（1）滿足：

（k=a，…，n） （10）

若生成的數(shù)列仍不滿足條件，則可進行多次累加：

（11）

3）建立微分方程：

（12）

4）平滑差分：

（13）

5）最小二乘法求解：

（14）

公式（11）和公式（12）即為灰色預測的兩個基本模型。當kn時，稱為模型預測值。

1.2.2 精度評定

采用后驗差方法檢驗灰色模型的精度，它由后驗差比值C和小誤差概率P共同描述。

設由灰色模型得到：

（15）

計算殘差：

（16）

記原始數(shù)列及殘差數(shù)列的方差分別為和，則

（17）

式中

（18）

計算后驗差比值C和小誤差概率P：

（19）

模型精度等級=max{所在的級別，所在的級別}，其判別式如下（表1）。

1.3 改進的灰色模型

1.3.1 等時距變換

灰色模型要求原始數(shù)據(jù)必須是等時距，但由于沉降觀測持續(xù)時間長，易受到天氣、施工及人為因素影響，常導致觀測周期難以保持一致，從而出現(xiàn)原始數(shù)據(jù)時距不等。因此，在按等時距灰色理論建模型之前，需要對實測數(shù)據(jù)進行等時距變換，其具體過程如下。

取庫岸邊坡沉降觀測斷面在觀測時刻的累計沉降作為原始數(shù)據(jù)序列，記為

（20）

各時段時間間隔為ti=ti+1-ti，⊿tj=tj+1-tj，i，j{1，2，…n}。當i≠j時，⊿ti≠tj，即表示各時段的時間間隔不相等。

平均時間間隔：

（21）

計算等時間間隔點的累計灰沉降值XL（1）（k），（k=1，2，…，n）：

（22）

式中，i的取值應滿足，從而得到等時距數(shù)據(jù)序列：

（23）

1.3.2 非等時距建模

將擬合成一階線性微分方程，即

（24）

式中a，u為待定常數(shù)。a為發(fā)展系數(shù)，其大小反映了序列的增長速度，u為灰色作用量。按照最小二乘法原理求解可得：

（k為時間間隔點） （25）

取時所對應的時間t=0，則k時間間隔點所對應的時間t=（k-1）。故t時刻所對應的預測沉降值為：

（26）

聯(lián)合公式25和公式26，得到非等時距預測模型：

（27）

由于非等時距灰色模型是經(jīng)過拉格朗日插值與等時距變換而成，故其精度評定方法與等時距灰色模型相同。

2 實例分析

2.1 形變分析

以湖南省張家界市慈利縣境內(nèi)的某水庫壩址右岸山體一邊坡為研究對象，該邊坡存在變形失穩(wěn)風險，直接影響水庫大壩及其下游5km處的城鎮(zhèn)安全。自2000年以來，在該邊坡體上布設了沉降監(jiān)測點，并采用GPS、水準測量和變形監(jiān)測方法進行各監(jiān)測點的形變監(jiān)測，以分析邊坡的變形規(guī)律與趨勢?，F(xiàn)以該邊坡上的D02號監(jiān)測點的垂直位移變化值為例進行邊坡變形分析與預測（表2）。

利用公式（2）～（7）和公式（20）～ （23），進行等時距變化處理（表3）。

為了便于分析計算結(jié)果，則將D02監(jiān)測點垂直位移變形的等時距變換值以時間為橫坐標、變形值為縱坐標，繪制成變形過程線圖（圖1），以直觀反映出觀測點垂直位移變形的規(guī)律、趨勢和幅度。

從圖1和表3可知：D02監(jiān)測點垂直位移在前5個月內(nèi)沉降顯著，呈加速變形趨勢，變形速率為-1.599 mm/月；在第5～49月期間，D02監(jiān)測點沉降速度減少，呈減速變形趨勢，變形速率為-0.103 mm/月；在第49～62月期間，D02監(jiān)測點沉降速度減少，呈緩慢變形趨勢，變形速率為-0.039 mm/月?？傮w而言，邊坡體上的D02監(jiān)測點在監(jiān)測后的5年內(nèi)經(jīng)歷了加速變形、減速變形和緩慢變形等階段，并趨于穩(wěn)定。

2.2 模型預測

由于D02監(jiān)測時間間隔各不相等，而等時距變換后的時間為非整月或半月的月份，即非規(guī)則月份，不便于模型預測和應用分析?，F(xiàn)以0.5個月為單位，經(jīng)拉格朗日插值，計算各規(guī)則監(jiān)測時間間隔，則可以建立插值后的時間序列：{t}={0， 0.5， 1， 4， 5， 7.5， 9， 11.5， 14.5， 17， 18.5， 19.5， 22.5， 28， 32.5， 35.5，37.5， 40.5， 44， 47.5， 50.5，53，56，60.5， 62}。

由于該時間序列觀測值仍不等時距，則采用灰色非等時距建模方法，進行累加生成和累減生成變換處理，且保證處理用于灰色非等時距預測模型的原始序列值滿足非負性和遞增性要求。由表3可知，經(jīng)拉格朗日插值后的觀測數(shù)據(jù)仍不能滿足非負性要求，因此，需要在建模前進行如下處理。

注：平均時間間隔=62/24=2.58（月）

①移軸。

尋找數(shù)列中絕對值最大的負數(shù)（-13.3），然后取該負數(shù)的絕對值，并將該絕對值設為min，再對數(shù)列中每個數(shù)值加上min，得到數(shù)列{x（0）（t）} ={11.00， 6.56， 5.03， 5.27， 4.26， 4.31， 4.08， 3.47， 2.71， 2.40， 2.40， 2.38， 2.27， 2.06， 1.83， 1.69， 1.50， 1.79， 1.16， 0.51， 0.65， 1.72， 0.40， 0.40， 0.00}。

由于x（0）（2）< x（0）（1），表明移軸后數(shù)列仍然不滿足建模所需的遞增條件，不能建立一階灰色非等距模型，因此，需要對移軸后的數(shù)列進行累加生成。

②累加生成。

一次累加生成，結(jié)果為：{x（1）（t）} ={11，17.56， 22.59， 27.86， 32.12， 36.42， 40.50， 43.97， 46.68， 49.08， 51.48， 53.86， 56.12， 58.18， 60.01， 61.70， 63.20， 64.99， 66.15， 66.66， 67.30， 69.02， 69.42， 69.82， 69.82}。該數(shù)列x（1）（23）=x（1）（24），仍不滿足建模所需的遞增條件，則需對其進行二次累加生成。

二次累加生成，結(jié)果為：{x（2）（t）} ={11， 28.56， 51.15， 79.01， 111.12， 147.55， 188.05， 232.02， 278.70， 327.77， 379.25， 433.11， 489.23， 547.41， 607.42， 669.13， 732.33， 797.32， 863.46， 930.12， 997.42， 1066.44， 1135.87， 1205.69， 1275.51}。該數(shù)列已滿足非負、遞增的建模要求。

③二階建模。

利用二次累加生成的數(shù)列{x（2）（t）}，進行二階灰色非等距建模，可得：

最小二乘原理求解，可得：a=-0.0206，u=-8.3530，則對應的非等距灰色預測模型為：

用公式（28）計算D02監(jiān)測點各非等時距灰色預測值（表4、圖2）。

注：表中“實際值”為監(jiān)測點實際監(jiān)測時間經(jīng)等時距插值處理后得到的垂直位移形變值；“預測值”為按監(jiān)測點時間序列進行非等時距灰色模型計算的垂直位移形變值；“-”表示沒有實際觀測值；殘差值=實際值-觀測值；相對誤差=|差值/實際值|。

由表4和圖2知：D02監(jiān)測點的實際值和預測值比較吻合，殘差值圍繞y=0上下波動，初步預測模型預測良好。

2.3 精度檢驗

由公式（16）～（18），計算可得：

=-0.064，=-10.66，=5.14，=0.24

計算后驗差比值：，即C<0.35。

計算小誤差概率：1，即0.95

模型預測精度等級=max{P所在的級別，C所在的級別}=1級（好）。因此，非等距灰色模型在邊坡變形預測中具有很高精度，可以滿足實際工作需要。例如，該模型預測D02監(jiān)測點在2007年7月9日的變形值為-15.4mm，而該點在2007年8月16日采集的實際數(shù)據(jù)計算出的變形值為-14.6mm，殘差值為0.8mm、相對誤差為5.48%，滿足邊坡變形分析的精度要求。

3 結(jié)論與討論

1）D02監(jiān)測點近5年的觀測結(jié)果表明，庫岸邊坡在該點的垂直位移變化經(jīng)歷了加速變形-減速變形-緩慢變形三個階段，在監(jiān)測至第5個月、第5～49個月和第49～62個月的變形速率分別為-1.599mm/月、-0.103mm/月和-0.039mm/月，故該邊坡總體呈暫時趨穩(wěn)態(tài)勢。

2）采用拉格朗日插值算法進行非等時距序列轉(zhuǎn)換，結(jié)合灰色系統(tǒng)原理，建立非等時距灰色預測模型進行邊坡變形分析與預測，有效解決了因天氣、施工和人為等影響因素而導致觀測周期難以保持一致出現(xiàn)原始數(shù)據(jù)時距不等的問題，且預測結(jié)果具有很高的精度，能夠滿足實際需要。

3）隨著預測時間的延長，非等時距灰色模型的預測精度會有所降低，需要在實踐應用中對模型反復進行試驗分析，厘定出滿足預測精度要求的數(shù)據(jù)序列的有效時間長度，以提高模型的精度與實用性。

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