馬 帥， 張風(fēng)波， 洪楚僑， 劉雙琪， 鐘家峻， 王世朝

(中海石油(中國)有限公司湛江分公司，廣東湛江 524057)

多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型的建立與求解

馬 帥， 張風(fēng)波， 洪楚僑， 劉雙琪， 鐘家峻， 王世朝

(中海石油(中國)有限公司湛江分公司，廣東湛江 524057)

在階梯井多個生產(chǎn)段同時對多個油層合采時產(chǎn)能預(yù)測難度較大。針對該問題，依據(jù)滲流力學(xué)、工程流體力學(xué)、油藏工程和數(shù)值分析有關(guān)理論，考慮油藏各向異性、滲流干擾、井筒管流壓降和鉆完井污染等因素，利用離散化處理方法，建立了階梯井與薄互層油藏耦合的多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型，分析了該模型具有唯一解的充要條件，給出了求解方法。利用某三層薄互層油藏數(shù)據(jù)進(jìn)行了實例計算，分析了井筒徑向流率、井筒流量和井筒流壓的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)階梯井生產(chǎn)過程中，井筒徑向流率分布規(guī)律滿足高階偶次多項式，流量分布規(guī)律滿足三次多項式，流壓沿井筒呈拋物線狀分布且越靠近跟端下降越快，并認(rèn)為管流摩阻造成的壓降和產(chǎn)量損失不可避免；將利用該模型計算的全井產(chǎn)量與Joshi公式的計算結(jié)果進(jìn)行了對比，發(fā)現(xiàn)二者僅相差1.79%。研究表明，建立的多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型的計算結(jié)果合理，為相關(guān)產(chǎn)能預(yù)測提供了新方法。

階梯水平井 薄互層 耦合 數(shù)學(xué)模型 產(chǎn)能預(yù)測

階梯水平井簡稱階梯井，是由具有一定高程差的2個或2個以上水平段和連接段組成的單井筒井型[1-3]。目前,國內(nèi)有關(guān)階梯井的產(chǎn)能計算模型不多，以下幾個具有一定代表性：黃世軍等[4]針對有夾層的薄互層油藏提出了油藏-井筒耦合模型，首次對階梯井的產(chǎn)能進(jìn)行了半解析計算，得到了階梯井的流率和流壓分布剖面；陸程等[5]針對雙臺階水平井建立了簡單耦合模型，通過分析影響雙臺階水平井產(chǎn)量的造斜角和造斜段長度等因素，給出了判斷水平井是否發(fā)生倒灌回流現(xiàn)象的臨界造斜角和臨界造斜段長度，以及發(fā)生倒灌回流現(xiàn)象后地面井口處是否有產(chǎn)量的極限造斜角和極限造斜段長度；任嵐等[6]建立了穿過3個獨(dú)立斷塊油層的油藏-井筒耦合模型，認(rèn)為物性較好的儲層靠近階梯井跟端、物性較差的儲層靠近趾端的情況下產(chǎn)能最大。但以上模型考慮的因素不夠完善，只能針對特定生產(chǎn)段的階梯井，存在一定局限性，且實際運(yùn)算中結(jié)果受離散化程度影響較大，故各油田常將階梯井看作多個水平井，用Joshi公式[7]進(jìn)行產(chǎn)能預(yù)測。不過Joshi公式也有其不足，即在多層合采階梯井條件下采用該公式分段求解，會忽略各微元段之間的勢干擾，且僅能得到全井產(chǎn)量，無法得到微觀井筒入流規(guī)律和流壓剖面。為了能夠更加準(zhǔn)確地針對任意層合采的階梯井進(jìn)行產(chǎn)能計算，筆者基于流體力學(xué)、工程流體力學(xué)、油藏工程和數(shù)值分析有關(guān)理論，建立了階梯井與薄互層油藏耦合的多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型。

1 模型的建立

以3層合采階梯井為例進(jìn)行說明。

1.1 假設(shè)條件

模型針對薄互層油藏建立，因此作如下假設(shè)：1)油層較薄，水平段在垂向上位于油層中部；2)僅水平段產(chǎn)液，連接段對產(chǎn)能無貢獻(xiàn)。

1.2 離散化處理

將整個井筒水平段進(jìn)行離散化處理，形成一系列長度為Lws的微元段，由此衍生出參數(shù)Nsegi和Nst，其表達(dá)式分別為：

(1)

(2)

式中：Nsegi為第i個水平段的微元段個數(shù)；lnt()為截斷函數(shù)；Lhi為第i個水平段的井筒長度，m；Lws為微元段長度，m；Nst為整個階梯井的微元段個數(shù)；Nr為水平段的個數(shù)，即油層個數(shù)。

離散處理后，為方便表示，用i或a定位水平段，用j或b定位水平段上的某個微元段，下文中出現(xiàn)的下標(biāo)i,j則表示第i個水平段上的第j個微元段，簡稱i,j微元段。

1.3 油藏滲流模型

油藏滲流過程可分為3個階段：

1) 第1階段,流體從油藏邊界流向近井地帶(理想滲流壓降)[8-9]，表達(dá)式為：

(3)

2) 第2階段，流體在近井地帶流經(jīng)鉆完井污染帶(表皮附加壓降)，表達(dá)式為：

(4)

(5)

式中：Δpsi,j為流體流經(jīng)近井地帶到鉆完井污染帶的i,j微元段的表皮壓降，MPa；hi為第i個油層的厚度，m;SDi,j為i,j微元段處的表皮系數(shù)。

表皮模型采用圓錐剖面模型[10]求解，需要給出水平段跟端、趾端的表皮。

3) 第3階段，流體通過井壁和完井管柱之間的環(huán)空流入井筒內(nèi)部壓降(完井管柱壓降)[10-11]，其表達(dá)式為：

(6)

式中：Δpani,j為流體流經(jīng)完井管柱i,j微元段的附加壓降，MPa；Boi為第i個油層中原油的體積系數(shù)；ρoi為第i個油層中原油的密度，kg/m3；Kani為第i個水平段環(huán)空填充砂的滲透率，D；Kgi為第i個水平段礫石充填層的滲透率，D；中間參數(shù)E，Tgi和Asi的計算方法見文獻(xiàn)[11-12]。

這3個階段都伴隨有各自的壓降，串聯(lián)后形成了油藏滲流總壓降，具體表達(dá)式為：

Δpfti,j=Δpri,j+Δpsi,j+Δpani,j

(7)

式中：Δpfti,j為油藏滲流總壓降，MPa。

1.4 井筒管流模型

利用井筒管流模型模擬單相原油在井筒中的一維變質(zhì)量流動，模型求解的本質(zhì)是管流壓降，包括沿程摩阻壓降、管流加速壓降、壁面徑向流動干擾壓降以及高程差引起的重力壓降。

1.4.1 沿程摩阻壓降

i,j微元段內(nèi)管流流量的表達(dá)式為：

(8)

式中：qwi,j為i,j微元段內(nèi)的管流流量，m3/s。

對應(yīng)管流流速的表達(dá)式為：

(9)

式中：vwi,j為i,j微元段內(nèi)的流體流速，m/s；Di為對應(yīng)完井方式下原油實際流經(jīng)截面的半徑，m。

通過流速可以計算出每個微元段的雷諾數(shù)Rei,j，其表達(dá)式為：

(10)

(11)

(12)

式中：ρowi,j為i,j微元段內(nèi)流體的密度，kg/m3；μowi,j為i,j微元段內(nèi)流體的黏度，mPa·s。

由此可計算出i,j微元段內(nèi)部管流沿程的摩阻壓降，其表達(dá)式為：

(13)

式中：Δpfi,j為i,j微元段內(nèi)管流沿程摩阻壓降，MPa；λfi,j為微元段沿程水力摩阻系數(shù)[13]；Cwfi,j為壁面流入矯正系數(shù)，計算方法見文獻(xiàn)[14-16]。

據(jù)此可計算出當(dāng)前微元段到整個階梯井跟端的摩阻壓降，表達(dá)式為：

(14)

(15)

式中：ΔpFi,j為當(dāng)前微元段到整個階梯井跟端的摩阻壓降，MPa；Δpfca為第a個連接段產(chǎn)生的摩阻壓降，MPa；Lca為第a個連接段的長度，m；Da為第a個連接段的內(nèi)徑，m。

1.4.2 加速壓降

任意水平微元段流體從當(dāng)前位置到1號水平段跟端產(chǎn)生的加速壓降為：

(16)

式中：Δpacci,j為任意水平微元段流體從當(dāng)前位置到1號水平段跟端產(chǎn)生的加速壓降，MPa。

1.4.3 重力壓降

任意水平微元段流體從當(dāng)前位置到1號水平段跟端產(chǎn)生的重力壓降為：

(17)

式中：Δpgi,j為任意水平微元段流體從當(dāng)前位置到1號水平段跟端產(chǎn)生的重力壓降，MPa；ha，ha+1為第a個和第a+1個儲層的厚度，m。

由此得到井筒管流總壓降，具體表達(dá)式為：

Δpwbi,j=Δpfi,j+Δpacci,j+Δpgi,j

(18)

式中：Δpwbi,j為井筒管流總壓降，MPa。

1.5 穩(wěn)態(tài)耦合模型

油藏滲流模型和井筒管流模型不是兩個獨(dú)立的系統(tǒng)，在水平微元段中心處，兩個系統(tǒng)的壓力值相等[17]。這就是整個耦合模型的穩(wěn)態(tài)耦合條件，由此可建立線性方程組，具體表達(dá)式為：

(19)

式中：qst為全井段產(chǎn)量，m3/s，pei為第i個油層壓力，MPa。

綜上所述，建立的3層合采階梯井產(chǎn)能計算模型如圖1所示。

2 模型求解

欲求解式(19)，需給定pwf或qst，即模型求解有2種模式:給定1號水平段跟端流壓pwf模式和給定全井產(chǎn)量qst模式。筆者以給定pwf模式進(jìn)行求解說明。

2.1 具備唯一解條件驗證

式(19)可以表示為：

A(Nst+1)×(Nst+1)X(Nst+1)×1=B(Nst+1)×1

(20)

式中：各下標(biāo)均表示矩陣維數(shù)。

A為線性方程組的系數(shù)矩陣，可表示為：

(21)

式中:最后一列的0表示零向量，其他0表示零矩陣；Ai為第i個地層的系數(shù)矩陣(Nsegi×Nsegi)。

Ai的具體表達(dá)式為：

(22)

式(21)中，φiαβ為第i個地層中第β個微元段在第α個微元段產(chǎn)生的影響系數(shù)[7-8]，具體表達(dá)式為：

(23)

X為方程組的未知數(shù)矩陣，具體形式為：

(25)

B為方程組的常數(shù)矩陣，具體形式為：

B=[0b1b2…bi…bNr]T

(26)

其中bi=[Δpi1Δpi2…Δpij…ΔpiNsegi]T

(27)

Δpi,j=pei-(Δpsi,j+Δpani,j+ΔpFi,j+

Δpacci,j+Δpgi,j+pwf)

(28)

給定pwf后，方程組中有qst和qi,j等Nst+1個未知數(shù)，方程組中有Nst+1個方程。方程與未知數(shù)個數(shù)相等，因而方程組具備唯一解的必要條件，但仍需要驗證是否存在唯一解。其增廣矩陣為：

(29)

如有唯一解，則：

(30)

式中：r()為矩陣的秩。

2.2 迭代求解

校核結(jié)果需滿足給定的誤差限：

(31)

式中：ξ為相對誤差限系數(shù)。

3 實例計算

為更好地驗證上述模型，利用某3層薄互層油藏數(shù)據(jù)進(jìn)行了實例計算。各項參數(shù)見表1、表2。

Lws取5 m，NM取4，ξ取0.5%，給定跟端流壓16 MPa，可計算得到流率、流量和流壓沿井筒方向的剖面。同時，Joshi公式雖然難以反映井筒入流規(guī)律，但具有對水平井全井段產(chǎn)量預(yù)測準(zhǔn)確度高的特點，因此采用Joshi公式對3個水平段的生產(chǎn)進(jìn)行了離散化模擬對比。

井筒徑向流率分布剖面見圖2。

從圖2可以看出，階梯井徑向流率呈現(xiàn)U形分布組合，井筒跟端流率最大，中間段流率最?。欢鳭oshi公式?jīng)]有考慮井筒微元段之間的干擾，離散處理后得到的流率是均勻分布的。擬合中間段流率，得到高階偶數(shù)次多項式函數(shù)，兩端值達(dá)到中間的3倍。

井筒流量分布剖面見圖3。

由圖3可知，與流率分布相反，越靠近跟端，摩阻造成的流量損失越大。該實例條件下，摩阻造成減產(chǎn)39.11 m3/d。與Joshi公式進(jìn)行對比，二者所得流量分布規(guī)律一致，且全井產(chǎn)量相差僅為1.79%，說明該模型的預(yù)測結(jié)果是合理的。對全井段進(jìn)行擬合，認(rèn)為其流量分布遵循三次多項式規(guī)律，即跟端高、趾端低。

井筒流壓分布剖面見圖4。

由圖4可知，流壓在跟端沒有損失，摩阻導(dǎo)致越遠(yuǎn)離跟端流壓損失越多。該實例條件下，摩阻造成趾端損失流壓0.68 MPa。由于Joshi公式計算的產(chǎn)量比多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型稍高，故其流壓也相對較高，但二者分布規(guī)律一致，證明了該模型是合理的。對全井段進(jìn)行擬合，認(rèn)為其流壓呈拋物線分布，即越靠近跟端流量越大，流壓越低且降低趨勢逐漸增大，該實例跟端斜率為趾端的21倍，全井有1/2的流壓消耗在前1/4井段。

4 結(jié)論與建議

1) 采用離散化手段建立了多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型，該模型考慮了表皮系數(shù)、完井方式、層間原油物性差異等的影響，且能夠?qū)θ我鈱雍喜傻碾A梯井進(jìn)行產(chǎn)量計算。

2) 求解多層合采階梯井產(chǎn)能計算模型得到了階梯井井筒入流規(guī)律，即呈高階偶次多項式的形態(tài)，且每個階梯中，跟端流率通常達(dá)到中間段的3倍，這表明在該類井完井或調(diào)剖設(shè)計時有必要對井筒進(jìn)行分段處理。

3) 全井產(chǎn)量計算值與Joshi公式的計算結(jié)果相差僅為1.79%，流壓剖面與Joshi公式一致，說明了該模型的合理性；流量剖面呈三次多項式分布，流壓剖面呈拋物線狀分布；由于跟端流體大量匯集，導(dǎo)致大部分流壓消耗在靠近跟端的井段，故開發(fā)邊底水油藏時應(yīng)預(yù)防水體在跟端突破。

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[編輯 令文學(xué)]

Development and Solution to the Coupling Model of the Productivity of Interbeded Reserviors in Stepped Horizontal Wells

Ma Shuai, Zhang Fengbo, Hong Chuqiao, Liu Shuangqi, Zhong Jiajun, Wang Shichao

(ZhanjiangBranchofCNOOCLtd.，Zhanjiang,Guangdong， 524057,China)

It is difficult to forecast the production capacities of stepped horizontal wells when producing multiple reservoirs at multiple sections. On the basis of the relevant theories such as seepage mechanics, engineering fluid mechanics, reservoir engineering and numerical analysis, a new detailed coupled model of stepped wells and thin interbedded reservoirs was established by utilizing discretization processing and considering factors such as anisotropy, filtering interference, pipe flow pressure drop and contamination caused by drilling and/or completion. This productivity calculation model of multilayer commingled production of stepped wells has a unique solution. Taking a three thin interbedded reservoir as an example, we analyzed with this model the wellbore radial flow rate, wellbore flow and wellbore flow pressure distribution rules of stepped horizontal wells. Numerical simulation results showed that flow friction in the wells should not be overlooked, and the stepped horizontal well flow rate distribution presented the shape of a high-order polynomial, the flow rate distribution adhered to cubic polynomial law, flow pressure distribution stayed within parabolic limits, and pressure dropped faster at the heel section. The entire well production calculated by this model is just 1.79% less than Joshi’s. It demonstrated that the calculation results for production were reasonable and provided a new method for productivity prediction of stepped horizontal wells.

stepped horizontal well； thin interbed； coupling； mathematical model； productivity forecast

2015-02-12；改回日期：2015-06-08。

馬帥(1989—)，男，河南澠池人，2011年畢業(yè)于西南石油大學(xué)石油工程專業(yè)，2014年獲西南石油大學(xué)油氣田開發(fā)工程專業(yè)碩士學(xué)位，助理工程師，從事油氣藏開發(fā)和產(chǎn)能評價工作。

?油氣開采?

10.11911/syztjs.201505016

TE319+.1;TE32+8

A

1001-0890(2015)05-0094-06

聯(lián)系方式：(0759)3911521，mashuai6@cnooc.com.cn。