段志強(qiáng)，劉 平，邢光成

（1.湖北省測(cè)繪成果檔案館，湖北 武漢 430074）

基于橢球膨脹法限制長(zhǎng)度變形的認(rèn)識(shí)和實(shí)踐

段志強(qiáng)1，劉 平1，邢光成1

（1.湖北省測(cè)繪成果檔案館，湖北 武漢 430074）

根據(jù)長(zhǎng)度變形及用橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系限制變形的基本理論，簡(jiǎn)要說明了引起長(zhǎng)度變形的因素，推導(dǎo)了橢球膨脹法的計(jì)算公式，并編寫程序?qū)崿F(xiàn)了橢球膨脹法模型算法。

長(zhǎng)度變形；橢球膨脹法；投影面；中央子午線

由原始測(cè)量數(shù)據(jù)經(jīng)處理到最終獲得平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，這一過程實(shí)際上要經(jīng)過由自然地球表面獲得的測(cè)量原始數(shù)據(jù)歸化到參考橢球面上，然后再經(jīng)過某種投影轉(zhuǎn)化到平面上。由地球表面到參考橢球面的計(jì)算稱為高程歸化，將經(jīng)過高程歸化的測(cè)量元素依據(jù)一定的投影方式投影到平面上，稱為投影轉(zhuǎn)化。這2個(gè)過程都會(huì)使原測(cè)量元素變形。

1 引起長(zhǎng)度變形的主要因素及限制辦法

引起變形的因素主要有長(zhǎng)度邊高出橢球面的大地高和偏離中央子午線這2項(xiàng)。在一般城市測(cè)量或工程測(cè)量中，要求地面水平邊長(zhǎng)在經(jīng)過高程歸化和高斯投影改化2項(xiàng)計(jì)算后，每km長(zhǎng)度變形不超過2.5 cm （精密工程測(cè)量要求更嚴(yán)格），也就是要求控制點(diǎn)成果間按坐標(biāo)反算的長(zhǎng)度與實(shí)地直接測(cè)量得到的長(zhǎng)度差值盡可能小。在使用這些控制點(diǎn)的數(shù)據(jù)時(shí)可以不進(jìn)行任何化算，就可滿足城市或其他工程的大比例尺測(cè)圖和施工放樣要求。

限制投影變形的方法有：采用改變投影面的方法（抵償投影面的高斯正形投影）、移動(dòng)中央子午線方法（任意帶高斯正形投影）以及這2種方法同時(shí)使用，即具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。當(dāng)城市或工程?hào)|西跨度過大，上述方法都不能達(dá)到目的時(shí)，就要考慮將城市或工程分為2個(gè)或2個(gè)以上投影帶建立多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)系來解決投影變形問題。

1.1 從自然地球表面到參考橢球面產(chǎn)生的長(zhǎng)度變形

地面點(diǎn)測(cè)量的基準(zhǔn)面是大地水準(zhǔn)面，其基準(zhǔn)線是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的垂線。而參考橢球面是地面點(diǎn)計(jì)算的基準(zhǔn)面，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的法線是計(jì)算的基準(zhǔn)線。這是因?yàn)榇蟮厮疁?zhǔn)面與參考橢球面之間存在大地水準(zhǔn)面差距Δ N，各地面點(diǎn)的垂線與其法線存在垂線偏差u。由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不重合，經(jīng)過某線段的平均水準(zhǔn)面也就不平行于橢球面。從理論上講，在長(zhǎng)度歸算過程中應(yīng)首先消除這種影響。

以下討論都假定已經(jīng)消除了垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響或者說忽略這種影響，而僅僅考慮地面高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響。與垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響相比，地面高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響是顯著的。

地面一段水平長(zhǎng)度為S的邊，歸算至國家規(guī)定的橢球面上要加如下改正（取一次項(xiàng)）：

歸算邊的相對(duì)變形為：

1.2 從橢球面采用高斯投影到平面的長(zhǎng)度變形

將經(jīng)過高程歸化后的橢球面上的長(zhǎng)度量，采用高斯投影轉(zhuǎn)換到平面上，其長(zhǎng)度變形為：

其相對(duì)變形為：

式中， S0=S+Δ S1，即S0為實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)S歸算到參考橢球體面上的邊長(zhǎng)；ym為歸算邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)“自然值”的平均值為參考橢球面平均曲率半徑,即經(jīng)過曲面任意一點(diǎn)所有可能方向上的法截線曲率半徑RA的算術(shù)平均值（M為子午圈曲率半徑，N為卯酉圈曲率半徑）。由式（3）可以看出，Δ S2的值總為正，即橢球面上長(zhǎng)度投影至高斯平面上總是增大的。Δ S2值與成正比，說明離中央子午線愈遠(yuǎn)變形愈大。

2 橢球膨脹法的實(shí)現(xiàn)

通過采用改變投影面、移動(dòng)中央子午線以及同時(shí)使用它們可以達(dá)到限制長(zhǎng)度變形的目的。在工程實(shí)踐中是通過一定的測(cè)量計(jì)算方法，建立區(qū)域相對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)系的過程來具體實(shí)現(xiàn)的。例如，如果僅移動(dòng)中央子午線的方法能達(dá)到限制變形到規(guī)定值，就簡(jiǎn)單進(jìn)行高斯投影換帶計(jì)算即可。

2.1 采用抬高投影面的方法建立獨(dú)立坐標(biāo)系

高程歸化改正長(zhǎng)度變形的基本原理是，通過抬高投影面(膨脹、平移、變形)使得點(diǎn)位的大地高減小，從而達(dá)到減小變形的目的。

所謂“抬高投影面”實(shí)際上是改變橢球參數(shù)，然后在新的橢球參數(shù)下重新進(jìn)行有關(guān)投影計(jì)算。這一方法統(tǒng)稱為“橢球變換法”。 實(shí)現(xiàn)抬高投影面一般有2種選擇：橢球變換法和比例縮放法。一般情況下，比例縮放法只適合很小的區(qū)域，且理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但計(jì)算模型簡(jiǎn)單容易實(shí)現(xiàn)；橢球變換法可適合較大區(qū)域，理論上較嚴(yán)謹(jǐn)，但計(jì)算模型相對(duì)復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)相對(duì)繁瑣。橢球變換法又分為橢球膨脹法、橢球平移法和橢球變形法3種。

2.2 橢球膨脹法實(shí)現(xiàn)獨(dú)立坐標(biāo)系的建立

在橢球變換法中，橢球膨脹法是理論較為嚴(yán)謹(jǐn)且相對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的一種方法，因而被普遍應(yīng)用到獨(dú)立坐標(biāo)系的建立。

如圖1所示，設(shè)原橢球?yàn)镋0，對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，扁率為f。

圖1 橢球膨脹法示意圖

沿地面上一點(diǎn)P0的法線方向?qū)⒃瓩E球面E0抬高到由dh所定義的投影面高度，即得到E1橢球，按橢球膨脹法定義有，膨脹后橢球中心位置不變（dXo=dYo=dZo=0），坐標(biāo)軸指向不變（εx=εy=εz=0），尺度不變（dk=0），扁率不變（df=0），第一偏心率不變（de=0），僅長(zhǎng)半軸發(fā)生了改變（da≠0）。當(dāng)然，在長(zhǎng)半軸發(fā)生改變的情況下，要使得扁率不變，短半軸一定發(fā)生改變（db≠0），并且改變后還滿足條件：

設(shè)改變后的橢球長(zhǎng)半軸為a1，短半軸為b1，扁率為f1，則橢球膨脹后有a1=a+da。又根據(jù)扁率的定義有原橢球E0的扁率原橢球經(jīng)過膨脹后形成的橢球E1的扁率因扁率不變，即f1=f，則：

因分母（a+da）a不等于0，所以有：

因上式中b·da不等于0，所以有b1不等于b。設(shè)（b1-b）=db（短半軸的膨脹量），則得

2.3 橢球膨脹法建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法及程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)橢球膨脹法原理，確定長(zhǎng)半軸改變量da是關(guān)鍵，目前主要有以下3種方法確定長(zhǎng)半軸改變量。

1）高程直接補(bǔ)償法。即投影面的大地高變化量dh直接表現(xiàn)為對(duì)橢球長(zhǎng)半徑的變化量的影響。如將原標(biāo)準(zhǔn)參考橢球面大地高視為0 m，抬高dh后新的橢球面平均大地高程用Hm表示。設(shè)長(zhǎng)半軸變化量為da，則：

2）法線方向增長(zhǎng)法。即投影面的平均大地高Hm表現(xiàn)為對(duì)卯酉圈曲率半徑N 的影響，即dN=dh=Hm（dN為測(cè)區(qū)卯酉圈曲率半徑變化量）。設(shè)投影面基準(zhǔn)點(diǎn)處的緯度為Bm（因基準(zhǔn)點(diǎn)一般設(shè)在測(cè)區(qū)平均緯度某點(diǎn)處，所以Bm實(shí)際上是測(cè)區(qū)平均緯度）。

根據(jù)橢球上元素間的關(guān)系式有：

3）平均曲率半徑法。投影面的大地高Hm表現(xiàn)為對(duì)橢球平均曲率半徑的影響。即在E0橢球上指定一個(gè)位置基準(zhǔn)點(diǎn)P0，其緯度為B0，基準(zhǔn)點(diǎn)上參考橢球的平均曲率半徑的變動(dòng)量設(shè)為Hm，R0為參考橢球E0的基準(zhǔn)點(diǎn)處平均曲率半徑。設(shè)新橢球E1基準(zhǔn)點(diǎn)處的平均曲率半徑為Rm，則Rm=R0+Hm。再設(shè)新橢球E1基準(zhǔn)點(diǎn)處的平均緯度為Bm，則可得到：

式（8）推導(dǎo)過程如下，首先列出橢球面上計(jì)算的基本公式。

子午圈曲率半徑：

卯酉圈曲率半徑：

平均曲率半徑：

W稱為第一輔助緯度函數(shù)；V稱為第二輔助緯度函數(shù)，e'2為第二偏心率。

設(shè)E0基準(zhǔn)點(diǎn)處曲率半徑為R0，依據(jù)平均曲率半徑基本公式，用確定投影面基準(zhǔn)點(diǎn)的緯度B0代替上述B，則有：

對(duì)于新橢球E1基準(zhǔn)點(diǎn)處有Rm=R0+Hm，于是對(duì)于新橢球E1基準(zhǔn)點(diǎn)處，再套用上述關(guān)于a的表達(dá)式得：

式中，

1

依據(jù)橢球膨脹法理論定義有dXo=dYo=dZo=0，εx=εy=εz=0，dk=0，df=0，da≠0。據(jù)此再根據(jù)廣義大地坐標(biāo)微分公式，推導(dǎo)出橢球變化后各點(diǎn)大地坐標(biāo)的變化量：

式中，

則點(diǎn)在新橢球中的大地坐標(biāo)表示為：

根據(jù)計(jì)算得到的各點(diǎn)在新橢球中的大地坐標(biāo)，再采用新的橢球參數(shù)進(jìn)行高斯投影正算，即可實(shí)現(xiàn)國家標(biāo)準(zhǔn)帶坐標(biāo)系到區(qū)域相對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

2.4 實(shí)例驗(yàn)證

基于VB語言，依據(jù)以上數(shù)學(xué)模型，用橢球膨脹法通過改變投影面和移動(dòng)中央子午線，實(shí)現(xiàn)了將國家標(biāo)準(zhǔn)帶坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到區(qū)域相對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)系中，并通過多項(xiàng)工程數(shù)據(jù)證實(shí)計(jì)算完全正確。圖2為程序界面圖，表1為4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算例。計(jì)算示例引用文獻(xiàn)[1]中的數(shù)據(jù)，其原參考橢球?yàn)镮AG75（1980西安坐標(biāo)系橢球），原中央子午線99°，基準(zhǔn)點(diǎn)經(jīng)度101°16'32"（作為新中央子午線）、緯度26°37'（作為測(cè)區(qū)平均緯度），正常高1 200 m，高程異常-1.8 m。

圖2 程序界面示意圖

表1 4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算例

3 結(jié) 語

采用不同的“橢球變換法”計(jì)算出的獨(dú)立坐標(biāo)值會(huì)有一定差異，即使采用同一種“橢球變換法”（如橢球膨脹法）。如果在確定長(zhǎng)半軸改變量上采用了不同模型，計(jì)算出的獨(dú)立坐標(biāo)也會(huì)有差異，但它們各自系統(tǒng)內(nèi)相對(duì)關(guān)系都是正確的。為避免出現(xiàn)獨(dú)立坐標(biāo)計(jì)算值不一致的情況，一個(gè)城市或一個(gè)工程應(yīng)該采用一種算法。如果某些軟件沒有要求用戶輸入測(cè)區(qū)平均緯度，則一定是用原始點(diǎn)坐標(biāo)反求出的各點(diǎn)緯度取平均值來作為測(cè)區(qū)平均緯度，這樣會(huì)因?yàn)榻o出點(diǎn)的緯度分布不同而計(jì)算出不同的平均緯度，對(duì)最終轉(zhuǎn)換結(jié)果產(chǎn)生一定影響。

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B

1672-4623（2015）01-0128-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.01.042

段志強(qiáng)，高級(jí)工程師，主要從事地理信息系統(tǒng)及地圖制圖等方面的研究。

2014-02-25。