王紅偉

(上海師范大學 建筑工程學院, 上海 201418)

基于NEXT/ERA時域聯(lián)合算法的模態(tài)參數(shù)識別

王紅偉

(上海師范大學 建筑工程學院, 上海 201418)

摘要:歸納總結(jié)了NEXT法和特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法的基本思想,以及實施的基本步驟.在此基礎(chǔ)上,基于matlab編制了模態(tài)識別程序.以東海大橋監(jiān)測數(shù)據(jù)作為算例進行數(shù)值分析,成功識別了大橋的豎向振動動力學參數(shù).識別結(jié)果可為橋梁動力特性計算,抗震分析,健康監(jiān)測和損傷識別等提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù).

關(guān)鍵詞:模態(tài)參數(shù); 環(huán)境激勵; 結(jié)構(gòu)模態(tài)

近年來,橋梁的安全性、耐久性與正常使用日漸得到關(guān)注,促使橋梁健康監(jiān)測、損傷識別技術(shù)、模態(tài)參數(shù)識別技術(shù)迅速發(fā)展,并且日益成為國內(nèi)外學術(shù)界和工程界的研究熱點.姜浩等研究了在環(huán)境激勵下對橋梁結(jié)構(gòu)進行模態(tài)參數(shù)識別的一種時域聯(lián)合算法,通過對某一預應力混凝土連續(xù)梁橋結(jié)構(gòu)的仿真,驗證了方法的有效性[1].呂中亮等介紹了多點激勵模態(tài)參數(shù)識別方法的基礎(chǔ)上,總結(jié)了近十多年來多點激勵模態(tài)參數(shù)識別方法中的進展,并分析了多點激勵參數(shù)識別方法在基于環(huán)境激勵下模態(tài)參數(shù)識別中的發(fā)展與應用[2].很多大學的課題組都進行了模態(tài)參數(shù)識別的研究[3-8],重點在理論方法上進行研究.本研究在此基礎(chǔ)上,重點進行程序編制和工程實例驗證工作,可為橋梁抗震分析和健康監(jiān)測提供幫助.

1NExT法(響應間的互相關(guān)函數(shù)理論)

NExT法的主要思想是受白噪聲環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)兩點之間響應的互相關(guān)函數(shù)和脈沖響應函數(shù)表達式相似,求出兩點之間響應的互相關(guān)函數(shù)后,利用時域中模態(tài)識別方法進行模態(tài)參數(shù)識別.

n個自由度線性時不變結(jié)構(gòu)的動力特性方程可用振動微分方程式(1)表示:

(1)

輸出信號x(t)可以利用標準變換為模態(tài)坐標系下的形式:

(2)

假定是實模態(tài),式(2)兩邊同時乘以ΦT,則M、C、K是對角陣.則有:

(3)

由杜哈密積分,得出:

(4)

由式(2)和式(4)得到如下結(jié)果:

(5)

由式(3),當系統(tǒng)k點受到外力f(t)激勵時,系統(tǒng)l點得響應Xlk(t)可表示為:

(6)

當系統(tǒng)的k點受到單位脈沖力作用時,由式(6)就得到系統(tǒng)l點的脈沖響應hlk(t),可表示為:

(7)

在k點白噪聲激勵下,系統(tǒng)l,p兩測點的響應分別為xlk(t)和xpk(t),這兩個響應的互相關(guān)函數(shù)的表達式可以寫成:

(8)

將式(6)代入式(8)得到如下等式:

(9)

假設式中激勵f(t)為理想白噪聲,根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義,則有:

(10)

式中:αk為僅同激勵點k有關(guān)的常數(shù)項.δ(t)是狄拉克(Dirac delta)函數(shù).

將式(10)代入式(9)中并積分,得到:

(11)

式中:β=t-τ.

利用式(4)的定義,考慮周期T,對式(11)進行整理得:

(12)

將式(7)和式(12)進行對照比較,可以看出,線性系統(tǒng)在白噪聲激勵下兩點響應的互相關(guān)函數(shù)和脈沖激勵下的脈沖響應的數(shù)學表達式在形式上是完全一致的.互相關(guān)函數(shù)確實可以表征為一系列復指數(shù)函數(shù)的疊加形式.在這點上,相關(guān)函數(shù)具有和系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)同樣的性質(zhì).同時各測點的同階模態(tài)振型乘以同一因子時,并不改變模態(tài)振型的特征.因此,互相關(guān)函數(shù)可以用來替代脈沖響應函數(shù)進行環(huán)境激勵下的模態(tài)參數(shù)識別.

為了使用該方法,將一個響應信號作為參考信號,該參考信號和其他響應信號可以求得互譜密度函數(shù),對互譜密度函數(shù)進行傅里葉逆變換就能夠得到互相關(guān)函數(shù).參考信號位置的選擇必須考慮到在那個位置所有的模態(tài)都能夠被觀測到.如果參考信號位置在某一模態(tài)的節(jié)線上,那么該模態(tài)就不能被識別出來.

2特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法(ERA法)

特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)(或自由響應)的離散時間序列,構(gòu)成廣義的Hankel矩陣,然后對它進行奇異值分解,通過奇異值分解的結(jié)果得到系統(tǒng)的最小實現(xiàn),最后對最小實現(xiàn)的狀態(tài)矩陣進行特征值分解,可得到系統(tǒng)動力學參數(shù).

考慮m個輸入、n個輸出的N個自由度線性時不變系統(tǒng),在時間離散域上的狀態(tài)方程和觀測方程可分別寫成下列形式:

(13)

(14)

式中:x(k)為kΔt時刻系統(tǒng)的狀態(tài)矢量(2N維);y(k)為kΔt時刻系統(tǒng)響應矢量(n維);p(k)為kΔt時刻系統(tǒng)激勵矢量(m維);A是系統(tǒng)矩陣(2N×2N);B是控制矩陣(2N×m);C是輸出矩陣(n×2N);其中kΔt為采樣時間間隔.

矩陣(A,B,C)反映了系統(tǒng)特征.特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法是給定y(k)去構(gòu)成系統(tǒng)的(A,B,C),也就是要求辨識一組狀態(tài)方程的內(nèi)部描述去實現(xiàn)所要求的外部特性.但對同一輸入輸出關(guān)系,有無窮多個系統(tǒng)實現(xiàn),人們感興趣的是其中狀態(tài)空間模型階數(shù)最小的實現(xiàn),稱為最小系統(tǒng)實現(xiàn).對應最小階系統(tǒng)實現(xiàn)的特征值集稱為固有特性參數(shù).

對式(13)和式(14)進行z變換,得到:

由上面兩式可以得到:

(15)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣(n×m):

(16)

或

(17)

因單位脈沖響應函數(shù)矩陣H(k)與傳遞函數(shù)矩陣服從z變換對,由式(17)可以得到下列脈沖響應函數(shù)矩陣序列式(18),也稱Markov參數(shù).由Markov參數(shù)可組成下列(r+1)×(s+1)廣義Hankel矩陣,如式(19)所示.

(18)

(19)

或

(20)

如果系統(tǒng)是完全可控和可觀測的,則可控性矩陣Q和可觀測性矩陣P的秩都是2N.系統(tǒng)的階數(shù)為2N,則系統(tǒng)矩陣的秩為2N.理想情況下,Hankel矩陣的秩為2N.但由于噪聲干擾,由實測數(shù)據(jù)生成的H(k-1)會有秩的虧損.當r與s的值足夠大后,矩陣的秩才保持不變.適當?shù)剡x擇r與s的值,既保持矩陣的秩不變,又使H(k-1)尺寸最小.

由式(20),得到:

(21)

對上式進行奇異值分解,得到:

(22)

矩陣H(0)的秩可由非零奇異值的個數(shù)確定.

(23)

式中:U2N、V2N分別由U和V前2N列構(gòu)成的矩陣.

假設存在一個矩陣H*,滿足下列關(guān)系:

(24)

式中:I2N是2N階單位矩陣.

由式(21)和式(24),得到:

上式說明:H*是H(0)的一種廣義逆矩陣,便可得到下式.

(25)

式中:0m、0n為m階、n階零矩陣;Im、In為階m、n階單位矩陣.

由式(19)和式(20)得到:

進一步,上式可化為:

上式與式(18)比較,兩者由極其相似的形式,即h(k+1)=CAKB.

式中:

(26)

上列關(guān)系是特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法的基本公式,系通過奇異值分解獲得最小階系統(tǒng)實現(xiàn).應該指出,由于測量噪聲、結(jié)構(gòu)的非線性影響和計算截斷誤差影響,H(k)的秩不一定等于系統(tǒng)真實的階次,還需通過一定準則剔除噪聲模態(tài).

解矩陣A的特征值問題,可得到特征值λi和相應的特征矢量φi,有下式成立:

(27)

式中:λ=diag[λ1λ2…λ2N],Φ=diag[φ1φ2…φ2N].

考慮拉氏變換與z變換的關(guān)系:

(28)

可求下列模態(tài)參數(shù):

結(jié)構(gòu)模態(tài)與噪聲模態(tài)的鑒別.

引入模態(tài)幅值相關(guān)因子γ來評估模態(tài)置信度.在模態(tài)空間上,線性時不變系統(tǒng)的特征值和特征矢量是確定量,而噪聲模態(tài)具有隨機性.引入模態(tài)幅值相關(guān)因子γ,通過某階實測模態(tài)的幅值與真實模態(tài)的幅值在時間歷程上的相關(guān)程度鑒別結(jié)果模態(tài)和噪聲模態(tài),一般認為,γ≥0.5即可認為所識別的模態(tài)為結(jié)構(gòu)本身真實的模態(tài).

在t=kΔt(k=0,1,…,r-1)離散時刻,單位脈沖響應函數(shù)矩陣序列的值為:

(29)

同樣

(30)

式中:β是由噪聲干擾產(chǎn)生的誤差矩陣.

將式(29)和式(30)進行比較,得到:

(31)

考慮到第i階模態(tài),式(31)可寫成:

(32)

β越小,表明第i階模態(tài)具有理想線性特性,模態(tài)的純度越高.

實測的模態(tài)幅值時間歷程可根據(jù)Hankel矩陣分解得到:

(33)

利用辨識的特征值外推的模態(tài)幅值時間歷程為:

(34)

式中:[b1b2…bn]=Φ-1B.

這樣,第j階模態(tài)的幅值相關(guān)因子為:

(35)

γj在0和1之間取值.γj→1表明該階模態(tài)接近真實模態(tài);γj→0表明該階模態(tài)是噪聲模態(tài).

3NExT/ERA算法操作流程

NExT/ERA算法的應用可以歸納為以下幾步:

(1) 選擇合適的參考點;

(2) 計算各測點與參考點的互相關(guān)函數(shù);

(3) 選擇合適的互相關(guān)函數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)造Hankel矩陣H(0);

(4) 對Hankel矩陣H(0)進行奇異值分解,計算出U2N、V2N及Σ2N;

(5) 構(gòu)造Hankel矩陣H(1),并且得到系統(tǒng)最小實現(xiàn)的矩陣;

(6) 計算矩陣A的特征值和特征向量;

(7) 剔除虛假模態(tài),最后得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù).

4NExT/ERA算法數(shù)值仿真算例

以東海大橋監(jiān)測數(shù)據(jù)作為算例進行數(shù)值分析.

東海大橋是我國第一座真正意義上的跨海大橋,工程起點為蘆潮港客運碼頭東側(cè)約5.6 km,靠北約1.4 km的海灘與現(xiàn)有老大堤的交接處,終點為浙江省嵊泗縣崎嶇列島的小城子山(進入洋山深水港區(qū)的接線點),蘆潮港至小城子山線路總長度約32 km.其中大橋海上段約28 km.大橋設主通航孔橋一座,為雙塔單索面半漂浮體系疊合梁斜拉橋,主塔為倒Y型鋼筋混凝土結(jié)構(gòu),塔高150 m,主跨420 m,大橋南北走向,其從北向越東偏1.18°.

東海大橋作為上海國際航運中心洋山深水港區(qū)重要的配套工程,為保證東海大橋交通暢通和提高大橋的維護管理水平,東海大橋上安裝了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng).大橋健康監(jiān)測系統(tǒng)將大橋分8個區(qū)段,共計478個傳感器.其中主航道斜拉橋位于第5區(qū)段,安裝有169個傳感器,實時監(jiān)測大橋的加速度響應、位移響應、風速/風向、大氣溫度、結(jié)構(gòu)溫度、索力、結(jié)構(gòu)應變,伸縮縫位移等(圖1).

主梁布設了14個豎向加速度傳感器和7個橫向加速度傳感器,分別布置在主跨的1/4、跨中和邊跨的跨中,共計7個斷面,每個斷面布設兩個豎向加速度傳感器和一個橫向加速度傳感器,其傳感器布設的橫向和立面圖如下:

用NexT/ERA算法識別系統(tǒng)的模態(tài)特性,獲得數(shù)據(jù)如表1所示:

表1中給出了所識別出的15階系統(tǒng)模態(tài)參數(shù),圖1至圖10是前10階模態(tài)振型圖.在計算中發(fā)現(xiàn),所取Hankel矩陣的階數(shù)越高,識別出的系統(tǒng)模態(tài)階次越多,但是,當Hankel矩陣階數(shù)達到一定值時,所識別出的模態(tài)階數(shù)不再變化,達到穩(wěn)定的狀態(tài).

本研究中所用的14個傳感器采集的都是東海大橋的豎向加速度,所以識別出的模態(tài)都是豎向彎曲模態(tài)或者扭轉(zhuǎn)模態(tài),橫向彎曲并未識別出來.

5總結(jié)

介紹了一種環(huán)境振動模態(tài)分析的時域算法:自然環(huán)境激勵技術(shù)和特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法結(jié)合,稱為NExT/ERA法.針對結(jié)構(gòu)振動的離散狀態(tài)空間數(shù)學模型,逐步推演了NExT/ERA算法流程并給出了相應的理論解釋.最后對一座雙塔單索面半漂浮體系疊合梁斜拉橋數(shù)值模型進行仿真分析,通過模擬該結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)隨機白噪聲激勵下的響應,應用NExT/ERA算法識別出該斜拉橋的部分模態(tài)參數(shù),并對所得結(jié)果進行了分析.

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(責任編輯：顧浩然)

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Modal parameter identification based on NEXT/ERA time-domain joint algorithmWANG Hongwei

(Architecture Engineering College, Shanghai Normal University, Shanghai 201418, China)

Abstract:This paper summarizes the basic idea of NEXT algorithm and features of the system, and the basic steps of implementation.On this basis,a modal identification program is written using Matlab.The monitoring data of East China Sea bridge are selected as an example of numerical analysis.Dynamic parameters of vertical vibration of the bridge are successfully identified.The recognition results can be served for the dynamic characteristics of bridge seismic analysis, and to provide the basis data for health monitoring and damage identification.

Key words:modal parameters; environmental incentive; structural modal

通信作者:王紅偉,中國上海市奉賢區(qū)海思路100號,上海師范大學建筑工程學院結(jié)構(gòu)實驗室,郵編:201418,E-mail:whw@shnu.edu.cn

基金項目:MTS土木結(jié)構(gòu)試驗系統(tǒng)在橋墩低周反復試驗中的準確性和穩(wěn)定性研究(SK201420)

收稿日期:2014-02-21

中圖分類號:TU 997

文獻標志碼:A

文章編號:1000-5137(2015)02-0146-08