周立偉

摘 要：函數(shù)值域的求法是高中數(shù)學(xué)中教材并不直接說明，但是卻具有較大實(shí)用價(jià)值的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。嘗試采用大類總結(jié)的思維方式，對(duì)各種常規(guī)函數(shù)的值域求法進(jìn)行一個(gè)跨章節(jié)跨知識(shí)點(diǎn)的集中總結(jié)。所謂大類總結(jié)，指的是打亂章節(jié)設(shè)置和知識(shí)點(diǎn)排列，從思維方法的類別上入手，把不同知識(shí)點(diǎn)整理到同一板塊的題型中去，形成立體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 值域 大類總結(jié)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）11（b）-0241-02

通過近幾年數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在函數(shù)的學(xué)習(xí)方面有著不小的問題。究其原因，主要在于學(xué)生從初中的數(shù)學(xué)思維層次躍升到中職或者高中的數(shù)學(xué)層次時(shí)，有很多不適應(yīng)的地方。筆者所從教的中職數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容基本和高中內(nèi)容相同，因此，以下均簡(jiǎn)稱為高中數(shù)學(xué)。

如果初中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)用“方程”二字可以概括的話，那么高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)就可以用“函數(shù)”二字進(jìn)行總結(jié)。高中數(shù)學(xué)在很多的知識(shí)點(diǎn)里，均引入了變量和參數(shù)的概念，從初中機(jī)械的公式套用，轉(zhuǎn)變到現(xiàn)在的靈活多變，分類討論和數(shù)形結(jié)合的基本思維方法，更是貫穿始終，成為高中數(shù)學(xué)的一大亮點(diǎn)，當(dāng)然，同時(shí)也成為了很多學(xué)生心目中的一大難點(diǎn)。

在從事數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果不能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)思維的跨越，則學(xué)生根本無法應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)中如此龐雜和靈活的解題技巧，也達(dá)不到高考的基本要求。因此，在不斷地改進(jìn)教學(xué)方法的同時(shí)，筆者也在進(jìn)行很多思考，試圖能把許多學(xué)生望而生畏的數(shù)學(xué)，變得豐富多彩一些和簡(jiǎn)單易學(xué)一些。在這些筆者嘗試過的教學(xué)方法中，“大類總結(jié)”是一個(gè)非常有實(shí)效的方法。這種方法打亂章節(jié)設(shè)置和知識(shí)點(diǎn)排列，從思維方法的類別上入手，把不同知識(shí)點(diǎn)整理成一串，用具體思維過程作為其聯(lián)系的紐帶。這種總結(jié)與循序漸進(jìn)的章節(jié)學(xué)習(xí)配合起來，能構(gòu)成一張縱橫交錯(cuò)的立體知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益。

針對(duì)學(xué)生們普遍叫難的函數(shù)值域求法，筆者根據(jù)上述的教學(xué)思維理念，做了一個(gè)書面的嘗試，并在幾個(gè)年級(jí)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。現(xiàn)將大致過程和內(nèi)容記錄如下。

基本初等函數(shù)分為：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。若將其中的幾個(gè)綜合起來，則可以得到一些更復(fù)雜的函數(shù)。但是萬變不離其宗，圍繞著基本初等函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，很多值域的問題還是可以得到解決的。

函數(shù)值域的常規(guī)解法，可大致分為以下九類。

（1）配方法。

二次函數(shù)或形如類的函數(shù)。二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合。

（3）換元法。

換元法指的是通過觀察，也可通過解析式變形，在函數(shù)的解析式中，得出一些具有相同形式的元素，設(shè)其整體為一個(gè)新的變量，達(dá)到換元的目的。但是，使用換元法時(shí)要注意跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)，務(wù)必考慮這個(gè)新變量的取值范圍。

例3：求下列函數(shù)的值域。

以上9類求函數(shù)值域的求法，筆者對(duì)學(xué)生戲稱為“獨(dú)孤九劍”，在使用時(shí)要能針對(duì)具體題型進(jìn)行方法歸類，在記憶和鞏固的時(shí)候一定要特征鮮明，并且不斷地進(jìn)行練習(xí)和加強(qiáng)。

此項(xiàng)內(nèi)容若編寫成教案，應(yīng)該合理安排課時(shí)，再多添加一些新的練習(xí)題，并可根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行刪減。根據(jù)筆者實(shí)踐，普通高中學(xué)生對(duì)該思維方法掌握得較好，內(nèi)容較適中，但中專學(xué)生基礎(chǔ)略差，上述9類方法要?jiǎng)h去一些，根據(jù)2015年上海市教委教研室頒布的新的《中職數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，有些內(nèi)容作了較大的調(diào)整，因此，在具體教學(xué)時(shí)，要再進(jìn)行例題的組合和整理。此外，這些求函數(shù)值域的辦法，也可以在學(xué)生的數(shù)學(xué)課外興趣班里進(jìn)行嘗試，對(duì)于學(xué)生全面了解《函數(shù)》這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)和前后傳承，有很大的幫助。

由于大類總結(jié)的方法往往打破了教材上的章節(jié)界限，因此，可能需要在相應(yīng)章節(jié)教授完畢后，以專題或者復(fù)習(xí)課的方式拿出來進(jìn)行講授。這樣對(duì)于構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)縱向網(wǎng)絡(luò)是有很大幫助的。如果高三或者高復(fù)班的教師用來進(jìn)行高考第二輪復(fù)習(xí)，也應(yīng)具有一定的實(shí)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 董艷梅，吳武琴.求函數(shù)值域的常用方法[J].昆明冶金高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1999，15（2）：19-23.

[2] 林如愷，江杰.求函數(shù)值域的幾種方法[J].樂山師范高等師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1999（3）：100-103.

[3] 顧淑建.函數(shù)值域（最值）求法的“七種武器”[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（11）：71-72.