張愛菊, 張金豹, 張改麗

（1.中國(guó)北方車輛研究所, 北京100072；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱150001）

基于改進(jìn)灰色模型的疲勞壽命預(yù)測(cè)及可靠性評(píng)估

張愛菊1, 張金豹2, 張改麗1

（1.中國(guó)北方車輛研究所, 北京100072；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱150001）

針對(duì)試驗(yàn)件中對(duì)數(shù)疲勞壽命均值隨應(yīng)力水平具有線性關(guān)系，但方差卻具有波動(dòng)性的狀況，引入改進(jìn)灰色模型對(duì)兩者進(jìn)行仿真分析。采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型多個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。結(jié)果顯示對(duì)數(shù)疲勞壽命均值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，具有很好的線性關(guān)系；波動(dòng)方差的擬合曲線順滑，不僅清晰地定性顯示其發(fā)展趨勢(shì)，還能夠定量地對(duì)均值和方差進(jìn)行預(yù)測(cè)，尤其是對(duì)疲勞極限以下的壽命均值和方差的預(yù)測(cè)，避免了經(jīng)驗(yàn)公式的使用。利用改進(jìn)灰色模型預(yù)測(cè)得到的疲勞壽命均值和方差，結(jié)合疲勞累積損傷模型對(duì)塊譜作用下的試驗(yàn)件可靠性進(jìn)行了評(píng)估；通過(guò)中位秩計(jì)算試驗(yàn)件的失效概率，驗(yàn)證了可靠性仿真結(jié)果的正確性。

改進(jìn)灰色模型；粒子群優(yōu)化；壽命預(yù)測(cè)；疲勞累積損傷模型；可靠性評(píng)估

1 前言

現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，且兼?zhèn)涓邏勖透呖煽啃缘囊?，因此常常需要在設(shè)計(jì)階段進(jìn)行可靠性預(yù)估來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)備是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，并利用評(píng)估結(jié)果進(jìn)一步指導(dǎo)設(shè)計(jì)的改進(jìn)，推動(dòng)設(shè)備的可靠性增長(zhǎng)進(jìn)程。在復(fù)雜設(shè)備的可靠性分析中，一般先采用有限元法進(jìn)行危險(xiǎn)面的受力分析，編制載荷譜，然后利用疲勞累積損傷模型進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)[1-3]。針對(duì)不同的載荷加載情況，國(guó)內(nèi)外學(xué)者建立了各種類型的疲勞累積損傷模型，其中線性Miner準(zhǔn)則以其簡(jiǎn)便準(zhǔn)確而最為常用[4,5]。在使用線性Miner準(zhǔn)則進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測(cè)和可靠性評(píng)估的過(guò)程中，疲勞累積損傷的概率分布需要通過(guò)疲勞壽命分布轉(zhuǎn)換獲得，因此有必要對(duì)疲勞壽命進(jìn)行計(jì)算分析[6]。

疲勞壽命多采用三參數(shù)S-N曲線公式表示，并假設(shè)疲勞壽命均值及方差都與應(yīng)力呈對(duì)數(shù)線性關(guān)系，該假設(shè)是在大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上得到的[7]。當(dāng)疲勞壽命數(shù)據(jù)比較散亂或只有小樣本時(shí)，通常利用上述假設(shè)對(duì)模型進(jìn)行擬合或預(yù)測(cè)[6,8]。但有些材料并不一定服從上述假設(shè)，李洪雙[9]等在利用加權(quán)最小二乘和Bootstrap法對(duì)材料LY12CZ的對(duì)數(shù)疲勞壽命方差進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)疲勞壽命的標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)力水平的對(duì)數(shù)線性關(guān)系假設(shè)是不合理的。由于疲勞試驗(yàn)件幾何尺寸和形狀、表面處理等的不同，失效樣本的不足或其它未知的信息，都會(huì)導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)信息出現(xiàn)不確定現(xiàn)象。

灰色系統(tǒng)理論[10]以其研究對(duì)象“外延明確，內(nèi)涵不明確”的特點(diǎn)為疲勞壽命預(yù)測(cè)提供了新的思路。本文中“內(nèi)涵不明確”指的是影響疲勞壽命不確定性的各類已知或未知的因素；“外延明確”則是指對(duì)疲勞壽命的預(yù)測(cè)，如小載荷下疲勞壽命的預(yù)測(cè)?；疑到y(tǒng)理論以“小樣本”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)序列的累加生成，弱化隨機(jī)擾動(dòng)因素的影響，利用累加后數(shù)據(jù)的指數(shù)增長(zhǎng)規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)，能夠真實(shí)地反映了疲勞壽命隨應(yīng)力水平的變化規(guī)律。文獻(xiàn)[3, 11]均采用灰色模型結(jié)合線性Miner準(zhǔn)則對(duì)疲勞壽命進(jìn)行了預(yù)測(cè)，且考慮了小載荷對(duì)疲勞壽命的影響，但兩者在計(jì)算過(guò)程中并未涉及疲勞壽命的分散性問(wèn)題，無(wú)法對(duì)機(jī)構(gòu)零部件的可靠性進(jìn)行評(píng)估。因此本文引入能同時(shí)考慮指數(shù)變化和線性變化的改進(jìn)灰色模型，分別對(duì)隨應(yīng)力水平呈線性變化的疲勞壽命均值和隨應(yīng)力水平波動(dòng)變化的方差進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型的參數(shù)由粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行估計(jì)；并利用疲勞累積損傷模型對(duì)塊譜作用下的試驗(yàn)件進(jìn)行了可靠性評(píng)估。

2 改進(jìn)灰色模型

設(shè)非等間距非負(fù)序列

有 ? ki= ki? ki?1≠ c o n s t ，若

式（5）累減還原得到原始數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果

式中, c1，c2，c3，v為待定參數(shù)。當(dāng)c1=0時(shí)可實(shí)現(xiàn)線性變化序列的預(yù)測(cè)；當(dāng)c2=0時(shí)為傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)模型，因此該式可以適用于線性和指數(shù)規(guī)律變化的數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)。

在灰色模型的參數(shù)估計(jì)中，相比最小二乘法，智能優(yōu)化算法如遺傳算法[13]、人工魚群算法[14]等估計(jì)的參數(shù)能夠使模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合精度更高。鑒于此，本文對(duì)改進(jìn)灰色模型的參數(shù)采用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行同時(shí)估計(jì)?？紤]擬合效果和適應(yīng)函數(shù)的簡(jiǎn)潔性，選用最小均方根誤差為適應(yīng)度函數(shù)

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[15]是一種基于群智能的進(jìn)化計(jì)算技術(shù)，源于對(duì)鳥群捕食行為的研究。通過(guò)在算法中初始化一組隨機(jī)粒子，跟蹤當(dāng)前最優(yōu)的粒子來(lái)搜索最優(yōu)解。設(shè)在N維的目標(biāo)搜索空間中，有M個(gè)粒子組成一個(gè)群體，其中在第t次迭代時(shí)粒子Pi的位置矢量表示為

表示的是群體信息的影響，體現(xiàn)粒子間的信息共享和合作。

在第t+1次迭代計(jì)算中，粒子P1可根據(jù)下式

更新自己的速度和位置，如圖1所示。

式中，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，一般取2； rand（）為介于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；ω為慣性權(quán)重，取大值時(shí)可使算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，取小值時(shí)則算法傾向于局部搜索。在本文計(jì)算中，慣性權(quán)重為隨迭代次數(shù)逐漸變化的量，表達(dá)式為ω

其中， ， ； 表示最大的迭代次數(shù)； Miter表示當(dāng)前迭代次數(shù)。

為防止粒子遠(yuǎn)離搜索空間，粒子的每一維速度vn都會(huì)限制在[-vnmax,vnmax]之間，即若vn＞vnmax，vn＝vnmax；vnmax＜-vnmax，vn＝-vnmax。邊界進(jìn)行反射處理。粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)步驟如圖2示。ω=max0.9ω=min0.1Mitermax

圖1 粒子位置更新示意圖

圖2 粒子群優(yōu)化實(shí)現(xiàn)步驟

4 疲勞累積損傷模型

對(duì)同一零部件，在不同應(yīng)力水平下，一般假設(shè)疲勞壽命服從同一種分布類型。當(dāng)疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，其概率密度函數(shù)為：

其中μN(yùn)，σN分別為對(duì)數(shù)疲勞壽命的均值和方差。

線性Miner準(zhǔn)則表達(dá)式

其中， n為載荷加載次數(shù)，N為疲勞壽命。

當(dāng)n = N時(shí)，疲勞累積損傷和疲勞壽命之間關(guān)系如圖3所示，有

將(19)和(20)式代入式(17)推導(dǎo)出疲勞累積損傷服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

圖3 疲勞累積損傷與壽命概率等效圖

疲勞累積損傷的功能函數(shù)為

從而得到時(shí)變可靠性預(yù)測(cè)模型[16,17]

式中，累積損傷臨界值μDc=1，k級(jí)載荷下累積損傷均值及方差隨作用次數(shù)的表達(dá)式為

可靠性仿真結(jié)果的驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)由中位秩計(jì)算得到的失效概率

轉(zhuǎn)換獲得，從而得到試驗(yàn)件的可靠性

其中i表示元件按從小到大排列的次序，m表示試驗(yàn)件數(shù)。

5 工程實(shí)例

算例分析的材料分別為45#鋼焊接接頭切口件（第一組）[18]和正火45#鋼切口件（第二組）[19]，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示，疲勞壽命單位為次。試驗(yàn)件應(yīng)力集中系數(shù)均為ki=2，應(yīng)力比r=-1。對(duì)數(shù)疲勞壽命預(yù)測(cè)與可靠性評(píng)估仿真過(guò)程如圖4所示。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖4 對(duì)數(shù)疲勞壽命預(yù)測(cè)及可靠性評(píng)估仿真過(guò)程

5.1 疲勞壽命擬合

兩組數(shù)據(jù)應(yīng)力水平之間均為非等間距，為便于計(jì)算，對(duì)原始數(shù)據(jù)中應(yīng)力水平間距進(jìn)行處理，第一組等效間距應(yīng)力水平

第二組等效間距應(yīng)力水平

等效間距ki計(jì)算結(jié)果如表1所示，即應(yīng)力水平隨等效間距的增大而減小。在兩個(gè)實(shí)例中，疲勞壽命均值均利用式（8）直接進(jìn)行擬合，而方差則需進(jìn)行一次累加，經(jīng)粒子群優(yōu)化算法估計(jì)的模型參數(shù)如表2所示，參數(shù)估計(jì)過(guò)程中迭代的均方根誤差如圖5所示，對(duì)數(shù)疲勞壽命均值和方差的擬合結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯觯惦S應(yīng)力水平線性關(guān)系擬合良好；擬合后的方差不僅波動(dòng)性減小，而且能夠顯示方差隨應(yīng)力水平的變化趨勢(shì)。第一組中方差擬合曲線隨應(yīng)力水平的減小而增大，第二組中方差擬合曲線則隨應(yīng)力水平的減小趨于平緩。

表2 采用粒子群優(yōu)化算法估計(jì)的改進(jìn)灰色模型參數(shù)

圖5 粒子群優(yōu)化算法迭代誤差

圖6 疲勞壽命方差和均值擬合及試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

5.2 可靠性評(píng)估

兩組數(shù)據(jù)的疲勞極限分別為409.2MPa（第一組）和331.6MPa（第二組）。在可靠性評(píng)估中，加載載荷形式如圖7所示，方框內(nèi)數(shù)字表示完成一次載荷譜加載各等級(jí)載荷作用次數(shù)，第一組中加載載荷都大于疲勞極限，而第二組則需要考慮小載荷對(duì)疲勞壽命的影響。利用改進(jìn)灰色模型預(yù)測(cè)加載載荷譜對(duì)應(yīng)疲勞壽命均值和方差如圖8所示，兩組預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)中對(duì)數(shù)疲勞壽命均值隨應(yīng)力水平均呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系；第一組對(duì)數(shù)壽命方差隨應(yīng)力水平的減小而逐漸變大，而第二組中方差則逐漸減小，但均無(wú)明顯的線性關(guān)系。

圖7 加載載荷譜

圖8 對(duì)數(shù)疲勞壽命均值和方差

將預(yù)測(cè)得到疲勞壽命均值及方差代入疲勞累積損傷模型即可對(duì)可靠性進(jìn)行評(píng)估，結(jié)果如圖9所示。兩組可靠性仿真結(jié)果在可靠度下降階段均能夠準(zhǔn)確擬合。第二組考慮小載荷的作用后仿真結(jié)果在可靠度下降初始階段更趨近于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而使零部件能夠更加安全地使用。

圖9 可靠度仿真結(jié)果及試驗(yàn)對(duì)比

6 結(jié)論

結(jié)合粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，灰色模型對(duì)對(duì)數(shù)疲勞壽命均值的線性關(guān)系和波動(dòng)方差的非線性關(guān)系均能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行光滑擬合和預(yù)測(cè)。在疲勞壽命準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上，結(jié)合疲勞累積損傷模型對(duì)塊譜下的試驗(yàn)件進(jìn)行可靠性評(píng)估，經(jīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，可靠度仿真結(jié)果良好。

驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明了灰色系統(tǒng)理論在疲勞壽命預(yù)測(cè)及可靠性評(píng)估的工程應(yīng)用價(jià)值，能夠不依賴于先驗(yàn)數(shù)據(jù)假設(shè)，而是從現(xiàn)有的小樣本，且雜亂分散的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)疲勞壽命的發(fā)展規(guī)律并進(jìn)行預(yù)測(cè)。在接近整體系統(tǒng)的層次，如可靠性評(píng)估，則更能趨于零部件疲勞壽命變化的真實(shí)性和準(zhǔn)確性。

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（編輯：鐘 媛）

Fatigue life prediction and reliability evaluation based on modified grey model

Zhang Aiju1, Zhang Jinbao2, Zhang Gaili1
(1. China North Vehicle Research Institure, Beijing 100072,China;2. School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)

The modified grey model was introduced to simulate the mean value of the logarithm fatigue life with linear relationship corresponding to the load level, and the variance with fluctuation. The multiple parameters of the model was estimated with particle swarm optimization. The result shows that the mean value fits well with the experiment data and has an excellent linear relationship; the fitting curve of the fluctuation variance is smoothed and demonstrates the growing trend clearly as well as quantificationally predicts the mean value and the variance, expecially for the ones under the fatigue limit, which avoids the employ of the empirical formula. With the mean value and the variance predicted by the modified grey model, the reliability was evluated under the block spectrum combining with the fatigue accumulated damage model. The simulation result of the reliability is verified with the failure probability computed by the median rank.

modified grey model; particle swarm optimization; life prediction; fatigue accumulated damage model; reliability evaluation

TG115.5+7

A

1672-4852（2015）04-0037-06

2015-11-12.

張愛菊（1964-），女，高級(jí)工程師.