費(fèi)秀海,張建華,王中華

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

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因子vonNeumann代數(shù)上的非線性(m,n)導(dǎo)子

費(fèi)秀海,張建華,王中華

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710062)

設(shè)m和n是任意固定的非零整數(shù),且(m+n)(m-n)≠0,M是一個因子von Neumann代數(shù),δ是M上的一個映射(沒有可加性或連續(xù)性假設(shè)).用矩陣分塊方法證明了:若對任意的A,B∈M,有mδ(AB)+nδ(BA)=mδ(A)B+mAδ(B)+nδ(B)A+nBδ(A),則δ是一個可加導(dǎo)子.

因子von Neumann代數(shù);(m,n)導(dǎo)子;(m,n)Jordan導(dǎo)子;導(dǎo)子;內(nèi)導(dǎo)子

0 預(yù)備知識

設(shè)δ是有單位元的環(huán)R上有單位元代數(shù)A的一個線性映射,m和n是任意固定的整數(shù),若對任意的A,B∈A,有δ(AB)=δ(A)B+Aδ(B),則稱δ是導(dǎo)子;若對任意的A∈A,有δ(A)=AA0-A0A(其中A0∈A ),則稱δ是內(nèi)導(dǎo)子;若對任意的A∈A,有δ(A2)=δ(A)A+Aδ(A),則稱δ是Jordan導(dǎo)子;若對任意的A,B∈A,有δ[A,B]=[δ(A),B]+[A,δ(B)],則稱δ是Lie導(dǎo)子(其中[A,B]=AB-BA表示A與B的Lie積);若對任意的A,B∈A,有

(1)

則稱δ是(m,n)導(dǎo)子;若對任意的A∈A且m+n≠0,有(m+n)δ(A2)=2mδ(A)A+2nAδ(A),則稱δ是(m,n)Jordan導(dǎo)子.顯然,(1,-1)導(dǎo)子是Lie導(dǎo)子,(1,0)導(dǎo)子和(0,1)導(dǎo)子都是導(dǎo)子,2-無撓代數(shù)上(1,1)導(dǎo)子是Jordan導(dǎo)子.

近年來,關(guān)于環(huán)(或代數(shù))上使得滿足某種條件的可加或線性映射成為導(dǎo)子和Jordan導(dǎo)子的研究已取得了許多結(jié)果[1-13].Herstein[1]證明了特征不為2的素環(huán)上的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子;Bre?ar等[2]對該結(jié)論做了進(jìn)一步刻畫并給出了更簡明的證法;Cusack[3]把該結(jié)論推廣到半素環(huán)上;文獻(xiàn)[4-5]證明了von Neumann 代數(shù)上的導(dǎo)子是內(nèi)導(dǎo)子;文獻(xiàn)[6-8]分別證明了von Neumann代數(shù)M到其對偶M*的導(dǎo)子是內(nèi)導(dǎo)子,von Neumann代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子是內(nèi)導(dǎo)子,B(H)上的I點(diǎn)Jordan可導(dǎo)映射是內(nèi)導(dǎo)子;文獻(xiàn)[9]定義了(m,n)Jordan導(dǎo)子,并證明了2mn(m+n)|m-n|-無撓素環(huán)上的(m,n)Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子;文獻(xiàn)[10]根據(jù)m和n的不同取值,證明了在廣義矩陣代數(shù)上零點(diǎn)或冪等元處(m,n)可導(dǎo)映射是導(dǎo)子、Jordan導(dǎo)子或Lie導(dǎo)子.本文證明因子von Neumann代數(shù)M上的(m,n)可導(dǎo)映射(沒有可加性或連續(xù)性假設(shè))是一個可加導(dǎo)子.

設(shè)H是數(shù)域C上的Hilbert空間,B(H )是H上的全體有界線性算子,M是作用在H上的von Neumann代數(shù),I是B(H )內(nèi)的單位算子,Z是M的中心.若Z=M∩M′=CI, 則稱M是一個因子von Neumann代數(shù),因子von Neumann代數(shù)M為素代數(shù)是指對任意的算子A,B∈M,如果AMB={0}蘊(yùn)含算子A=0或B=0.

設(shè)P1是M內(nèi)的一個非平凡投影,令P2=I -P1,則可加M分解為

M=P1MP1+P1MP2+P2MP1+P2MP2=M11+M12+M21+M22.

從而對任意的算子A∈M,可將A分解成A=A11+A12+A21+A22,其中Aij∈Mij,1≤i,j≤2.

引理1δ(0)=0,δ(Pi)=P1δ(Pi)P2+P2δ(Pi)P1(i=1,2).

證明:因?yàn)?/p>

mδ(0)+nδ(0)=mδ(0)0+m0δ(0)+nδ(0)0+n0δ(0)=0,

所以(m+n)δ(0)=0,從而δ(0)=0.又由于PiPi=Pi(i=1,2),從而有

(2)

在式(2)兩邊分別乘以Pj(j=1,2),得Pjδ(Pi)Pj=0(i,j=1,2),從而δ(Pi)=P1δ(Pi)P2+P2δ(Pi)P1(i=1,2).證畢.

設(shè)T0=P1δ(P1)P2-P2δ(P1)P1.對任意的算子A∈M,定義映射Φ(A)=δ(A)-[A,T0],則容易驗(yàn)證Φ也是因子von Neumann代數(shù)M上的一個(m,n)可導(dǎo)映射,且Φ(P1)=0=Φ(P2).

引理2Φ(Mij)?Mij(1≤i,j≤2).

證明:對任意的Aii∈Mii(i=1,2),有

(3)

在式(3)兩邊分別乘以Pj(j=1,2)且j≠i,得(m+n)PjΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2),從而PjΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2).在式(3)左邊乘以Pi、右邊乘以Pj(i≠j),得nPiΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2),從而PiΦ(Aii)Pj=0(1≤i≠j≤2).在式(3)左邊乘以Pj(i≠j)、右邊乘以Pi,得mPjΦ(Aii)Pi=0(1≤i≠j≤2),從而PjΦ(Aii)Pi=0(1≤i≠j≤2).所以Φ(Mii)?Mii(i=1,2).

對任意的Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有

(4)

在式(4)兩邊分別乘以Pi和Pj(j≠i),可得nPiΦ(Aij)Pi=0,mPjΦ(Aij)Pj=0,從而PiΦ(Aij)Pi=PjΦ(Aij)Pj=0(1≤i≠j≤2).在式(4)左邊乘以Pj(j≠i)、右邊乘以Pi,得(m-n)PjΦ(Aij)Pi=0(1≤i≠j≤2),從而PjΦ(Aij)Pi=0(1≤i≠j≤2).所以Φ(Mij)?Mij(1≤i≠j≤2).證畢.

引理3對任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(AiiAij)=Φ(Aii)Aij+AiiΦ(Aij);2)Φ(AijAjj)=Φ(Aij)Ajj+AijΦ(Ajj).

證明:對任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),由引理2有

(5)

由式(5)可得m(Φ(AiiAij)-Φ(Aii)Aij-AiiΦ(Aij))=0,從而有Φ(AiiAij)=Φ(Aii)Aij+AiiΦ(Aij).類似地,可以證明2)成立.證畢.

引理4對任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(Aii+Aij)=Φ(Aii)+Φ(Aij);2)Φ(Aii+Aji)=Φ(Aii)+Φ(Aji).

證明:對任意的Aii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),有

(6)

在式(6)兩邊分別乘以Pi和Pj(j≠i),由引理2可得nPiΦ(Aii+Aij)Pi=nΦ(Aii),mPjΦ(Aii+Aij)Pj=0.從而有

PiΦ(Aii+Aij)Pi=Φ(Aii),PjΦ(Aii+Aij)Pj=0, 1≤i≠j≤2.

在式(6)左邊乘以Pj(j≠i)、右邊乘以Pi,由引理2可得(m-n)PjΦ(Aii+Aij)Pi=0,從而有

PjΦ(Aii+Aij)Pi=0 (1≤i≠j≤2).

下證PiΦ(Aii+Aij)Pj=Φ(Aij)(1≤i≠j≤2).由于有

(7)

在式(7)左邊乘以Pi、右邊乘以Pj(j≠i),由引理2可得nΦ(Aij)=nPiΦ(Aii+Aij)Pj,從而Φ(Aij)=PiΦ(Aii+Aij)Pj(1≤i≠j≤2).所以Φ(Aii+Aij)=Φ(Aii)+Φ(Aij)(1≤i≠j≤2).類似地,可以證明2)成立.證畢.

引理5對任意的Aii,Bii∈Mii,Aij,Bij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(Aij+Bij)=Φ(Aij)+Φ(Bij);2)Φ(Aii+Bii)=Φ(Aii)+Φ(Bii);3)Φ(Aij+Aji)=Φ(Aij)+Φ(Aji).

證明:對任意的Aij,Bij∈Mij(1≤i≠j≤2),由于Aij+Bij=(Pi+Aij)(Pj+Bij),且(Pj+Bij)(Pi+Aij)=0,因此由引理2和引理4有

從而有Φ(Aij+Bij)=Φ(Aij)+Φ(Bij).

對任意的Aii,Bii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),一方面,由引理3中1)有

(8)

另一方面,由引理5中1)和引理3中1)有

(9)

比較式(8),(9)得(Φ(Aii+Bii)-Φ(Aii)-Φ(Bii))Aij=0,從而

(Φ(Aii+Bii)-Φ(Aii)-Φ(Bii))Mij=0.

由于M是素代數(shù),所以有Φ(Aii+Bii)=Φ(Aii)+Φ(Bii).

對任意的Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),由于

(10)

在式(10)兩邊乘以Pi(i=1,2),由引理2可得PiΦ(Aij+Aji)Pi=0(i=1,2).在式(10)左邊乘Pi、右邊乘以Pj(j≠i),可得PiΦ(Aij+Aji)Pj=Φ(Aij).在式(10)左邊乘以Pj(j≠i)、右邊乘以Pi,可得PjΦ(Aij+Aji)Pi=Φ(Aji).從而有Φ(Aij+Aji)=Φ(Aij)+Φ(Aji)(1≤i≠j≤2).證畢.

引理6對任意的A11∈M11,A12∈M12,A21∈M21,A22∈M22,有

Φ(A11+A12+A21+A22)=Φ(A11)+Φ(A12)+Φ(A21)+Φ(A22).

證明:對任意的A11∈M11,A12∈M12,A21∈M21,A22∈M22,由引理2和引理4有

(11)

在式(11)左邊乘以P1、右邊乘以P2,得mP1Φ(A12)P2=mP1Φ(A11+A12+A21+A22)P2,從而得

Φ(A12)=P1Φ(A11+A12+A21+A22)P2.

在式(11)兩邊同時乘以P1,得

(m+n)P1Φ(A11)P1=(m+n)P1Φ(A11+A12+A21+A22)P1,

從而可得

Φ(A11)=P1Φ(A11+A12+A21+A22)P1.

類似地,可以證明

Φ(A21)=P2Φ(A11+A12+A21+A22)P1,Φ(A22)=P2Φ(A11+A12+A21+A22)P2,

從而有Φ(A11+A12+A21+A22)=Φ(A11)+Φ(A12)+Φ(A21)+Φ(A22).證畢.

引理7對任意的Aii,Bii∈Mii,Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),有:

1)Φ(AiiBii)=Φ(Aii)Bii+AiiΦ(Bii);2)Φ(AijAji)=Φ(Aij)Aji+AijΦ(Aji).

證明:對任意的Aii,Bii∈Mii,Aij∈Mij(1≤i≠j≤2),由引理3中1),一方面,

(12)

另一方面,

(13)

比較式(12),(13)得(Φ(AiiBii)-Φ(Aii)Bii-AiiΦ(Bii))Aij=0,從而

(Φ(AiiBii)-Φ(Aii)Bii-AiiΦ(Bii))Mij=0,

由于M是素代數(shù),所以有Φ(AiiBii)=Φ(Aii)Bii+AiiΦ(Bii).

對任意的Aij∈Mij,Aji∈Mji(1≤i≠j≤2),由于

(Aij-AijAji)(Aji+Pi)=0, (Aji+Pi)(Aij-AijAji)=AjiAij-AjiAijAji+Aij-AijAji,

從而由引理2、引理3和引理6可知:一方面,

(14)

另一方面,

(15)

比較式(14),(15)可得

(16)

在式(16)兩邊乘以Pi(i≠j),可得Φ(AijAji)=Φ(Aij)Aji+AijΦ(Aji).證畢.

定理1設(shè)m和n是任意固定的非零整數(shù),且(m+n)(m-n)≠0,M是一個因子von Neumann代數(shù),δ是M上的一個映射(沒有可加性或連續(xù)性的假設(shè)),若對任意的算子A,B∈M都有式(1),則δ是一個可加導(dǎo)子.

證明:對任意的算子A,B∈M,設(shè)A=A11+A12+A21+A22,B=B11+B12+B21+B22,由引理4～引理6可得

即Φ是可加的.又由引理2、引理3、引理6和引理7可得

從而Φ是一個可加導(dǎo)子.由于Φ(A)=δ(A)-[A,T0],?A∈M,因此可得δ(A)=Φ(A)+[A,T0](?A∈M )是因子von Neumann代數(shù)M上的一個可加導(dǎo)子.證畢.

[1] Herstein I N.Jordan Derivations of Prime Rings [J].Proc Amer Math Soc,1957,8:1104-1110.

[2] Bre?ar M,Vukman J.Jordan Derivations on Prime Rings [J].Bull Austral Math Soc,1988,37:321-322.

[3] Cusack J M.Jordan Derivations on Rings [J].Proc Amer Math Soc,1975,53(2):321-324.

[4] Kadison R V.Derivations of Operator Algebras [J].Ann of Math,1966,83(2):280-293.

[5] Sakai S.Derivations ofW*-Algebras [J].Ann of Math,1966,83(2):273-279.

[6] Haagerup U.All NuclearC*-Algebras Are Amenable [J].Invent Math,1983,74:305-320.

[7] Upmeier H.Derivations of JordanC*-Algebras [J].Math Scand,1980,46:251-264.

[8] WU Jing.On Jordan All-Derivable Points of B(H )[J].Linear Algebra and Its Appl,2009,430(4):941-946.

[9] Vukman J.On (m,n)-Jordan Derivation and Commutativity of Prime Rings [J].Demonstratio Math,2008,ⅩLⅠ(4):773-778.

[10] SHEN Qihua,LI Jiankui,GUO Jianbin.On (m,n)-Derivations of Some Algebras [J].Demonstratio Math,2014,47(3):672-694.

[11] ZHU Jun,XIONG Changping.Derivable Mappings at Unit Operator on Nest Algebras [J].Linear Algebra and Its Appl,2007,442(2/3):721-735.

[12] JIAO Meiyan,HOU Jinchuan.Additive Maps Derivable or Jordan Derivable at Zero Point on Nest Algebras [J].Linear Algebra and Its Appl,2010,432(11):2984-2994.

[13] Bre?ar M.Jordan Mappings of Semiprime Rings [J].J Algebra,1989,127(1):218-228.

(責(zé)任編輯：趙立芹)

Nonlinear(m,n)DerivationsonFactorvonNeumannAlgebras

FEI Xiuhai,ZHANG Jianhua,WANG Zhonghua

(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

Letm,nbe non-zero integers with (m+n)(m-n)≠0,M be a factor von Neumann algebra andδbe a mapping from M into itself (without assumption of additivity or continuity),we can show that ifδsatisfiesmδ(AB)+nδ(BA)=mδ(A)B+mAδ(B)+nδ(B)A+nBδ(A)for allA,B∈M,thenδis an additive derivation using the method of decomposing matrix.

factor von Neumann algebras;(m,n)derivations;(m,n)Jordan derivations;derivations;inner derivations

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.14

2014-10-21.< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間

時間:2015-05-05.

費(fèi)秀海(1980—),男,白族,博士研究生,講師,從事算子理論與算子代數(shù)的研究,E-mail:xiuhaifei@snnu.edu.cn.通信作者:張建華(1965—),男,漢族,博士,教授,博士生導(dǎo)師,從事算子理論與算子代數(shù)的研究,E-mail:jhzhang@snnu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11371233;11471199)和教育部博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(批準(zhǔn)號:20110202110002).

http://www.cnki.net/kcms/detail/22.1340.O.20150505.1124.001.html.

O177.1

：A

：1671-5489(2015)03-0424-05