， 　， ， ， 孔祥

(1.燕山大學(xué) 河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室， 河北 秦皇島　066004；2. 燕山大學(xué) 先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室， 河北 秦皇島　066004；3.燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院， 河北 秦皇島　066004)

引言

軸向柱塞泵是液壓系統(tǒng)振動產(chǎn)生的主要根源之一，50%以上的液壓系統(tǒng)振動是由軸向柱塞泵工作產(chǎn)生的[1]。而且，隨著軸向柱塞泵向高壓、高速方向發(fā)展[2]，軸向柱塞泵的振動模態(tài)更為豐富，振動幅值更為寬泛[3]。機械運動是軸向柱塞泵振動產(chǎn)生的主要因素之一，尤其是其轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的高速旋轉(zhuǎn)運動，更會在泵體內(nèi)產(chǎn)生復(fù)雜振動。

軸向柱塞泵的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是其核心部件，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)運動使軸向柱塞泵完成機械能向液壓能的轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平穩(wěn)運動是引起軸向柱塞泵機械振動的主要原因。對于旋轉(zhuǎn)機械而言，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計必然會考慮動平衡問題。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)從低速開始增加旋轉(zhuǎn)速度到某個轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)軸會發(fā)生劇烈振動，該轉(zhuǎn)速稱為“臨界轉(zhuǎn)速”。計算轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)的重要研究內(nèi)容之一[4]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速同轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點、參數(shù)，如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸頸比、質(zhì)量分布、約束條件、材料剛度等有直接關(guān)系[5-8]。

提高軸向柱塞泵轉(zhuǎn)速，使其服務(wù)于功重比要求更高的液壓控制系統(tǒng)，已經(jīng)成為必然趨勢，例如，由于航空發(fā)動機轉(zhuǎn)速較高(某型航空發(fā)動機地面試車最大轉(zhuǎn)速達(dá)到了16000 r/min)，因此設(shè)計與其相匹配的高壓高速軸向柱塞泵是后續(xù)工作的前提[9]。國外很多航空液壓元件公司生產(chǎn)的電靜液驅(qū)動作動器動力源一般都是高速電機直接驅(qū)動液壓泵的方式，電機轉(zhuǎn)速非常高，很多可達(dá)到每分鐘上萬轉(zhuǎn)，因此要求軸向柱塞泵也有相應(yīng)的轉(zhuǎn)速[10]。據(jù)最新調(diào)研發(fā)現(xiàn)，我國某公司生產(chǎn)的一種型號的電靜液驅(qū)動作動器使用的軸向柱塞泵在實驗室的理想環(huán)境下，轉(zhuǎn)速只能達(dá)到9000 r/min； 而該公司生產(chǎn)的排量稍大的一種軸向柱塞泵在研制過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其轉(zhuǎn)速達(dá)到7500 r/min時，會發(fā)生明顯諧振。

轉(zhuǎn)子動力學(xué)是軸向柱塞泵臨界轉(zhuǎn)速研究的理論基礎(chǔ)[11]。傳遞矩陣法和有限元法是分析復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的主要手段。20世紀(jì)50年代，傳遞矩陣法被應(yīng)用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分析和臨界轉(zhuǎn)速計算，直到現(xiàn)在仍然是轉(zhuǎn)子動力學(xué)的主要分析手段之一。其優(yōu)點是矩陣階數(shù)不隨系統(tǒng)自由度增大而增加，因而編程簡單、內(nèi)存用量小、運算速度快；缺點是不便于分析周圍結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響。有限元法特別適用于由轉(zhuǎn)子和周圍結(jié)構(gòu)組成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分析，但會增大模型自由度，大量占用計算機資源。隨著計算機水平的提高，有限元法得到了更為廣泛的應(yīng)用[12]。

本研究針對某斜盤式軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行研究，通過傳遞矩陣法及有限元法分析其臨界轉(zhuǎn)速，并提出提高臨界轉(zhuǎn)速的有效方法，為軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)分析提供基礎(chǔ)。

1　軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集總參數(shù)建模

傳遞矩陣法要求把轉(zhuǎn)子簡化為具有若干個集總質(zhì)量的多自由度系統(tǒng)，利用集總參數(shù)法獲得集總參數(shù)模型[13]。

圖1所示為本研究的軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)三維模型，由于軸向柱塞泵缸體與轉(zhuǎn)軸之間為過盈連接，故在分析時，將缸體與轉(zhuǎn)軸視為一體，并忽略配流盤及柱塞的作用。將簡化后所得到的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)向23個結(jié)點集總，如圖2所示，其中結(jié)點9、11、23為軸承所在位置。

圖1　軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

圖2　軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)點分布圖

所劃分結(jié)點之間的軸段包含等截面軸段和不等截面軸段，針對等截面軸段，其質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量的集總公式如式(1)～式(3)所示：

(1)

(2)

(3)

其中,Mi、Jpi、Jdi分別為簡化到結(jié)點i處的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量和直徑轉(zhuǎn)動慣量。m、jp、jd和l分別為對應(yīng)軸段單位長的質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動慣量、直徑轉(zhuǎn)動慣量和長度。(ml)i即mili，其余表述方法與此相同。

不等截面情況下的集總公式為：

(4)

(5)

(6)

其中,mk—— 各軸段單位長的質(zhì)量

jpk—— 極轉(zhuǎn)動慣量

jdk—— 直徑轉(zhuǎn)動慣量

lk—— 軸段長度

ak—— 相應(yīng)質(zhì)心到左端面的距離

Li—— 全長

s—— 第i個軸段的不同尺寸截面?zhèn)€數(shù)

各結(jié)點的等效抗彎剛度(EI)i可按純彎時兩段截面的相對轉(zhuǎn)角不變來求得，即:

(7)

測量轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基本參數(shù)，并查閱相應(yīng)的材料密度ρ=7850 kg/m3、 彈性模量E=205 GPa， 進(jìn)而根據(jù)式(1)～式(7)可以得到軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集總參數(shù)模型中的參數(shù)如表1所示。

軸向柱塞泵的支撐軸承為滾動軸承，忽略阻尼影響，可以將其簡化為彈性支承，考慮軸向柱塞泵軸承實際工況，本研究取支撐剛度K為2×106N·m。得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集總參數(shù)模型如圖3所示。

圖3　轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集總參數(shù)模型

結(jié)點號軸段長度lk/mm軸段質(zhì)量mk/kg極轉(zhuǎn)動慣量Jpk/kg·cm2直徑轉(zhuǎn)動慣量Jdk/kg·cm2等效抗彎剛度/N·m1100.02770.0310.011163022100.05550.0620.022163023100.05550.0620.022163024100.05550.0620.022163025100.05550.0620.022163026110.06930.0950.035302027110.08310.1270.04730202880.06370.0890.034163029130.05760.0650.0211630210130.07070.0800.0211630211120.06730.0760.0211630212100.04680.0450.013471513100.02980.0180.004471514100.02980.0180.004471515100.02980.0180.004471516130.03370.0200.0034715176.50.16361.3190.64410506001880.33583.1561.548120690019100.47515.1222.493170940020160.73878.5094.014170940021201.0228125.319170940022191.1080135.68017094002300.76718.8374.0701709400

2　軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集總參數(shù)數(shù)學(xué)模型

2.1　傳遞矩陣法

傳遞矩陣法是把轉(zhuǎn)子系統(tǒng)根據(jù)結(jié)構(gòu)分為若干個典型部件，利用連續(xù)條件建立這些部件兩端截面狀態(tài)向量間的力學(xué)傳遞模型，并對滿足邊界條件的渦動頻率搜索，得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的各階臨界轉(zhuǎn)速[4]。對于編號為i和i+1的兩個相鄰部件，其狀態(tài)向量之間的關(guān)系為：

(8)

其中，Zi、Zi+1分別為兩個截面的狀態(tài)向量;yi、θi、Mi及Qi分別為截面i處的撓度、斜率、彎矩和剪力；[T]i為相鄰兩部件間的傳遞矩陣。

對劃分為n個部件的系統(tǒng)，由式(8)可得：

Z2=[T]1Z1

Z3=[T]2Z2=[T]2[T]1Z1

Zi=[T]i-1[T]i-2[T]i-3…[T]1Z1=Ai-1Z1(9)

其中，Ai-1=[T]i-1[T]I-2…[T]1

式(9)表達(dá)出各截面狀態(tài)向量中的元素都可以表為起始截面狀態(tài)向量中各元素的線性組合。因此，當(dāng)起始截面的狀態(tài)向量已知時，通過式(9)的遞推關(guān)系，就可求得各截面的狀態(tài)向量。

圖4所示為剛性薄圓盤剛性圓盤及和無質(zhì)量等截面彈性軸段組成的兩個相鄰部件。

圖4　圓盤與軸段組合結(jié)構(gòu)

對于圖4的模型，由邊界條件有：

M1=0;Q1=0

(10)

因此對于任一截面i，由式(9)有：

(11)

則對于末端截面由式(11)可得:

(12)

末端截面的邊界條件為:

Mn+1=0;Qn+1=0

(13)

令:

(14)

稱Δ(ω2)為剩余量。當(dāng)邊界條件滿足時，該齊次式有解的條件是Δ(ω2)為零，即:

Δ(ω2)=0

(15)

滿足式(15)的ω即為臨界角速度，可以通過自編程序求解。其大小與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支撐剛度和質(zhì)量有直接關(guān)系。

2.2　傳遞矩陣求解

采用MATLAB軟件，根據(jù)傳遞矩陣求解方法，編寫M文件，其主要程序如下:

while dw1*dw2>=0 %循環(huán)條件

T=1;

for i=23:-1:1

T=T*[1+l(i)^3*(m(i)*w^2-k(i))/(6*EI(i)),l(i)+l(i)^2*(Jp(i)-Jd(i))*w^2/(2*EI(i)),l(i)^2/(2*EI(i)),l(i)^3/(6*EI(i));l(i)^2*(m(i)*w^2-k(i))/(2*EI(i)),1+l(i)*(Jp(i)-Jd(i))*w^2/EI(i),l(i)/EI(i),l(i)^2/(2*EI(i));l(i)*(m(i)*w^2-k(i)),(Jp(i)-Jd(i))*w^2,1,l(i);m(i)*w^2-k(i),0,0,1];

end

dw1=T(3,1)*T(4,2)-T(4,1)*T(3,2);

求解dw2的程序與上述程序類似，此處不再贅述。求得的一階臨界轉(zhuǎn)速為7993.2 r/min。

3　軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速有限元分析

3.1　有限元模型建立

結(jié)合圖1，建立軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型，并根據(jù)以下原則進(jìn)行簡化。

(1) 忽略缸體與轉(zhuǎn)軸之間的相互作用，而且二者密度相同，則將二者看做一個整體；

(2) 忽略軸承油膜影響，將其簡化為彈性支撐；

(3) 認(rèn)為軸承只具有徑向剛度，且剛度值為定值，則將其進(jìn)一步簡化為彈簧單元；

在SolidWorks軟件中進(jìn)行三維建模，將模型倒入ANSYS中，設(shè)置材料屬性，進(jìn)入Model模塊采用四面體網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元尺寸設(shè)置為4 mm，共有154127個節(jié)點，107318個單元。如圖5所示。

圖5　軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元網(wǎng)格模型

3.2　接觸與約束條件設(shè)置

有限元模型中約束條件的設(shè)置對數(shù)值模態(tài)分析結(jié)果影響很大[14-16]。結(jié)合軸向柱塞泵的實際工作情況，在軸承安裝軸段的軸肩處(圖6中A所指示區(qū)域)設(shè)置位移約束，以約束軸段的軸向位移，并在軸承結(jié)點位置添加彈簧接觸。為獲得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，還需要對其施加一系列轉(zhuǎn)速(圖6中箭頭指向為旋轉(zhuǎn)方向)，本次分析，轉(zhuǎn)速范圍為2000～11000 r/min，步長為1000 r/min。模型的約束條件設(shè)置如圖6所示。

圖6　約束條件設(shè)置

3.3　泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速分析

實際轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)過程中，由于陀螺力矩的存在，使得轉(zhuǎn)子的固有頻率會隨著轉(zhuǎn)速而發(fā)生變化。坎貝爾圖是瞬態(tài)信號分析中最基本的方法，從中可以得到整個轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)轉(zhuǎn)子振動全部頻率分量的變化特征。其橫坐標(biāo)為轉(zhuǎn)速，縱坐標(biāo)為頻率，根據(jù)臨界轉(zhuǎn)速的定義，在坎貝爾圖中畫一條從原點出發(fā)的等頻線與各階固有頻率的交點即為臨界轉(zhuǎn)速。由于轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速一般是指同步正向渦動時的臨界轉(zhuǎn)速，因此只取等頻線與正進(jìn)動頻率的交點。求得的坎貝爾圖如圖7所示。

圖7　轉(zhuǎn)子系統(tǒng)坎貝爾圖

得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速為7710 r/min，對比MATLAB的分析結(jié)果，其相對誤差為3.5%，誤差很小，證實了有限元解法的正確性。

所求得的正進(jìn)動時前兩階振型如圖8所示。

圖8　泵轉(zhuǎn)子振型

從振型圖中可以看出，一階振型中缸體端部的位移最大，二階振型中軸輸入端的位移最大，出現(xiàn)此種振型的原因是由于軸承剛度較低。因此可以通過增加軸承剛度來提高轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，將缸體位置的彈簧剛度設(shè)置為5×106N·m，得到坎貝爾圖如圖9所示。

圖9　增加缸體位置彈簧剛度后的坎貝爾圖

可以看出，增加彈簧剛度后，臨界轉(zhuǎn)速提高了50%，說明軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速有很大影響。因此，提高軸承剛度是提高臨界轉(zhuǎn)速的有效方法。此外，由于缸體質(zhì)量占據(jù)了整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的很大比重，造成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)質(zhì)量分布不均勻。將缸體直徑減小2 mm，彈簧剛度與初次分析相同，再次求得其坎貝爾圖如圖10所示。在減小缸體直徑后臨界轉(zhuǎn)速提高了195 r/min，這是因為缸體直徑減小后，其質(zhì)量減小，所占轉(zhuǎn)子系統(tǒng)比重降低，軸向質(zhì)量分布更為均勻，因此提高了臨界轉(zhuǎn)速。

從以上分析可以看出，軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支撐剛度提高及缸體質(zhì)量降低均能夠提高其臨界轉(zhuǎn)速。

4　結(jié)論

針對軸向柱塞泵高速化發(fā)展的趨勢，采用轉(zhuǎn)速傳遞矩陣及有限元方法得到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第一階臨界轉(zhuǎn)速。并得出如下結(jié)論：

(1) 軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸承剛度對臨界轉(zhuǎn)速有很大影響，提高軸承剛度是提高臨界轉(zhuǎn)速的有效方法之一；

(2) 軸向柱塞泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向質(zhì)量分布對臨界轉(zhuǎn)

圖10　減小缸體直徑后的坎貝爾圖

速也有很大影響，缸體直徑減小，軸向質(zhì)量分布更加均勻時，能夠提高臨界轉(zhuǎn)速。

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