柳青松

(揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

小型化、少齒數(shù)齒輪傳動最少齒數(shù)的研究

柳青松

(揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

存在范圍；嚙合界限點(diǎn)；變位系數(shù)；最少齒數(shù)；滾齒加工

小型化、高速化、小振動、低噪聲、高可靠性是齒輪傳動裝置的發(fā)展方向。在設(shè)計(jì)用途、彎曲承載能力、齒面的綜合曲率半徑、重合度、軸向力、齒面溫升以及齒輪制造工藝等因素確定后，要使齒輪傳動裝置小型化，就必須減小其傳動中心距a。由公式a=m(1+i)z1/2或a=mn(1+i)z1/ (2cosβ)(mn是斜齒輪的端面模數(shù)，i是傳動比)知，為使齒輪傳動小型化，減少小齒輪齒數(shù)z1最為合理。采用z1≤8的少齒數(shù)齒輪更有助于實(shí)現(xiàn)齒輪傳動小型化。

1 少齒數(shù)齒輪與少齒數(shù)齒輪傳動

若定義在齒輪傳動中齒數(shù)少于8的齒輪為少齒數(shù)齒輪，含有少齒數(shù)齒輪的齒輪傳動稱少齒數(shù)齒輪傳動，顯然研究少齒數(shù)齒輪傳動正是解決齒輪傳動小型化的突破口。本文通過對漸開線直齒、斜齒齒輪傳動可能的最少齒數(shù)進(jìn)行研究，給出少齒數(shù)齒輪設(shè)計(jì)及加工時(shí)可能的最少齒數(shù)[1]。

2 漸開線齒輪的最少齒數(shù)研究

2.1漸開線直齒齒輪傳動可能的最少齒數(shù)[1-3]

1)可能的最少齒數(shù)。

可能的最少齒數(shù)就是在實(shí)際使用中能夠進(jìn)行嚙合并能連續(xù)、平穩(wěn)地傳遞動力的最少齒輪齒數(shù)。

2)潛在重合度。

若定義給定直齒輪在充分利用其齒廓的漸開線部分進(jìn)行嚙合中可獲得的最大重合度為潛在重合度，那么任何齒輪副的重合度都不可能大于組成齒輪副的任一齒輪的潛在重合度。因此，研究直齒齒輪傳動可能的最少齒數(shù)問題就可以轉(zhuǎn)化為研究給定齒輪的潛在重合度以及如何充分利用其潛在重合度的問題了。

3)齒頂變尖。

設(shè)定漸開線圓柱齒輪任意圓上的齒厚齒輪任一點(diǎn)的齒頂厚度為sa1，如果齒頂厚度小于最小允許值，那么這樣的輪齒稱為齒頂變尖[4]，如圖1中的虛線所示。在理論極限情況下，齒頂變尖即當(dāng)sa1=0(即ξα=0°)且da1≠0時(shí)，齒頂圓的壓力角αa1為最大，故將此時(shí)的齒頂圓壓力角記作αa1 max且表示為

式中：x1為變位系數(shù)；α為分度圓壓力角。

4)齒槽變尖。

同樣，基圓上齒槽的中心角ηg用下式表示

當(dāng)ηg=0時(shí)，即當(dāng)基圓上的齒槽變尖時(shí)，如圖2所示，式(2)可寫成

此時(shí)假設(shè)分度圓壓力角α=20°，在基圓上的齒槽變尖時(shí)，根據(jù)式(1)、(3)可計(jì)算出不同齒數(shù)所對應(yīng)的變位系數(shù)x1和齒頂圓壓力角αa1，見表1。

因此，在極限情況下，可計(jì)算出齒頂變尖時(shí)的齒頂圓極限直徑da1。

5)嚙合下界點(diǎn)。

文獻(xiàn)[5]、[6]的研究成果表明，從齒頂圓到齒槽寬度等于零的點(diǎn)為漸開線齒廓的有效長度部分，齒槽寬度等于零的點(diǎn)即為漸開線齒輪理論嚙合部分的嚙合下界點(diǎn)，且齒間變尖點(diǎn)時(shí)的壓力角的漸開線函數(shù)invαm max可用式(4)表示：

眾所周知，為了避免齒輪根切，變位系數(shù)應(yīng)按下式計(jì)算

2.2漸開線直齒輪的可能重合度εmax

1)仿形加工直齒輪可能的最小齒數(shù)zmin。

文獻(xiàn)[7]指出，用分度圓壓力角為α、模數(shù)為m、頭數(shù)為z、容屑槽數(shù)為zk的滾刀加工齒數(shù)為z1的齒輪時(shí)，在形成一個(gè)完整的漸開線齒廓過程中，滾刀切削刃從齒輪根圓上某一有效點(diǎn)切割齒廓開始，到頂圓上一點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度和完整漸開線形成所需要的轉(zhuǎn)角相等，其表達(dá)式為：

式中：αi為齒輪的工作齒廓下界點(diǎn)壓力角；αa為齒頂圓壓力角。

因此，給定齒輪的可能重合度εmax，取決于齒輪齒廓可以參與嚙合傳動部分的長度及其邊界點(diǎn)的壓力角。一般齒輪滾刀的頭數(shù)為z=1，其表達(dá)式為：

式中：α上界點(diǎn)為嚙合上界點(diǎn)壓力角；α下界點(diǎn)為嚙合下界點(diǎn)壓力角。

在理論極限情況下，上界點(diǎn)按齒頂變尖，即按α上界點(diǎn)=αa1=αa1 max確定；而下界點(diǎn)按齒槽變尖，即按α下界點(diǎn)=αp=0°來確定。

結(jié)合表1相關(guān)參數(shù)，齒輪加工時(shí)不考慮干涉、且按齒頂變尖和齒槽變尖極限狀態(tài)計(jì)算,得到的直齒輪的潛在重合度見表3。

仿形加工或用齒頂變尖的專用刀具滾切加工直齒輪可能的最小齒數(shù)zmin=3。

2)標(biāo)準(zhǔn)齒條型刀具加工出的可能最少齒數(shù)zmin。

顯然，標(biāo)準(zhǔn)齒條型刀具加工出的可能最少齒數(shù)zmin。

zmin=5。

2.3含有少齒數(shù)的直齒輪傳動

對于含有少齒數(shù)齒輪的直齒外嚙合齒輪傳動來說，必須充分利用其齒廓的有效使用部分以提高重合度。直齒齒輪傳動的重合度公式為：

式中：z1，z2分別為齒輪傳動中兩齒輪的齒數(shù)；x1，x2分別是z1，z2對應(yīng)的變位系數(shù)；α＇為嚙合角。

齒輪的齒頂圓不是加工出來的，而是由設(shè)計(jì)資料決定的，齒頂圓的大小與選用的齒頂圓直徑計(jì)算方法密切相關(guān)。在諸多方法中選擇“按加工嚙合或使用嚙合中不發(fā)生干涉進(jìn)行計(jì)算的方法”，可使αa,αi分別達(dá)到αa max,αi min，求解齒頂圓直徑，使齒輪傳動獲得εmax。

1)用齒條型刀具加工的外齒輪，加工嚙合和使用嚙合不干涉的齒頂圓最大壓力角為αa max[8-9]。

2)齒頂圓直徑達(dá)到最大值da max，在αa1 max,αa2 max情況下，按照da=db/cosαa,da1,da2計(jì)算最大值da1 max,da2 max。

2.4少齒數(shù)漸開線斜齒圓柱齒輪[2]

眾所周知，斜齒圓柱齒輪不發(fā)生根切的最少齒數(shù)比直齒圓柱齒輪的最少齒數(shù)少且結(jié)構(gòu)緊湊，又具有軸向重合度，其最少齒數(shù)在理論上沒有限制。漸開線齒輪由于可以通過變位來增大齒輪齒根圓直徑，所以少齒數(shù)齒輪傳動最好采用漸開線斜齒圓柱齒輪。

所謂少齒數(shù)大齒數(shù)比斜齒輪，是指最小齒數(shù)小于8、單級齒數(shù)比大于8～10的斜齒輪副[10-13]。

這種少齒數(shù)大齒數(shù)比傳動裝置的設(shè)計(jì)與加工難度表現(xiàn)為易根切、易變尖、易干涉和難加工。要解決這些難題，可以采取下列措施：

1)為解決根切問題宜采用大徑向變位系數(shù)。

2)為使zmin減小宜采用大螺旋角β、短齒制。

3)為避免齒頂變尖和增大軸向重合度宜采用切向變位和大齒寬。

4)為提高齒輪的扭轉(zhuǎn)剛度,減小偏差,改善傳動品質(zhì)，宜采用齒輪軸結(jié)構(gòu)。

5)為減少工作時(shí)的沖擊和振動,應(yīng)進(jìn)行螺旋線修形。

3 少齒數(shù)大齒數(shù)比的斜齒輪設(shè)計(jì)與加工[2]

由于少齒數(shù)大齒數(shù)比斜齒輪的變位系數(shù)可行區(qū)域非常小，現(xiàn)行的變位系數(shù)求值方法不適應(yīng)采用計(jì)算機(jī)模擬求解，且計(jì)算過程很麻煩，所以筆者提出利用約束條件，在適當(dāng)?shù)挠?jì)算精度基礎(chǔ)上輔之以計(jì)算機(jī)手段，避免了當(dāng)量直齒輪的求解誤差，使得選取的變位系數(shù)更為合理。下面以齒根干涉限制條件為例說明計(jì)算原理和計(jì)算模塊的實(shí)現(xiàn)方法。

3.1齒根干涉限制曲線和數(shù)學(xué)表述[14-15]

小齒輪避免端面齒根干涉的限制條件是[8-9]：

將相關(guān)條件代入式(11)中整理后得出：

其中：

3.2少齒數(shù)大齒數(shù)比的斜齒輪加工

4 結(jié)束語

綜上所述，少齒數(shù)齒輪的存在范圍為:直齒圓柱齒輪的最少齒數(shù)為3個(gè)齒，斜齒圓柱齒輪的最少齒數(shù)為2個(gè)齒。小齒輪的齒根干涉限制條件數(shù)學(xué)模型與端面嚙合角經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)值域，對求解齒輪的變位系數(shù)起到了關(guān)鍵作用。計(jì)算設(shè)計(jì)了齒數(shù)為3的少齒數(shù)斜齒圓柱齒輪，在Y38滾齒機(jī)上使用標(biāo)準(zhǔn)滾刀、成批滾切加工了該齒輪，并能滿足工程使用要求。相信該研究成果會對其他的應(yīng)用起到推進(jìn)作用。

[1] 柳青松，劉曉斌，高瑞春．少齒數(shù)齒輪傳動[J]．蘭州工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1998(1)：1-4．

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[15] 吳序堂．齒輪嚙合原理[M]．西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.

Study on the minimum teeth with less teeth gear transmission

LIU Qingsong

(College of Mechanical Engineering, Yangzhou Polytechnic Institute, Jiangsu Yangzhou, 225127, China)

It introduces the existence scope and meshing boundary point on less teeth gear, derives the pressure angle and forms addendum to pointy in copying method processing, obtains the less teeth scope to spur gear in 3 and helical gear in 2. Based on pinion dedendum Interference, it simplifies the mathematical model for selecting modification coefficient with mathematical manipulation. With design experience and experience of machining operation and empirical data domain, it solves the transcendental equation and obtains the array of modification coefficient. The example shows that the hobbing process for the three teeth gear at Y38 machine tool has practical value.

existence scope；meshing boundary point；modification coefficient；minimum teeth；hobbing

10.3969/j.issn.2095-509X.2015.05.016

2015-03-31

柳青松(1964—)，男，陜西藍(lán)田人，揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)理論、教育基本理論。

TH12

A

2095-509X(2015)05-0068-05