齊 輝，蔡立明，羅廣龍，潘向南，楊 杰，王憲章，李國(guó)文，蔣敬江

(1.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，上海 201306； 3.中建一局總承包公司，北京 100070)

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雙相介質(zhì)半空間中圓孔對(duì)透射SH波的穩(wěn)態(tài)分析

齊 輝1，蔡立明1，羅廣龍1，潘向南1，楊 杰2，王憲章3，李國(guó)文1，蔣敬江1

(1.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，上海 201306； 3.中建一局總承包公司，北京 100070)

研究了平面SH波在半空間雙相彈性介質(zhì)中的傳播。通過(guò)Green函數(shù)和積分方程方法，按照復(fù)變函數(shù)描述，對(duì)透射波被圓孔散射的情況進(jìn)行穩(wěn)態(tài)分析。將雙相介質(zhì)半空間沿界面剖分為1/4空間介質(zhì)Ⅰ和含圓孔的1/4空間介質(zhì)Ⅱ，分別構(gòu)造了介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中反平面點(diǎn)源荷載的Green函數(shù)，按雙相介質(zhì)中平面SH波的處理方法，給出介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的平面位移波，兩種介質(zhì)之間的相互作用力與對(duì)應(yīng)Green函數(shù)的乘積沿界面的積分與平面位移波疊加得到介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的全部位移場(chǎng)。按照界面的位移連續(xù)條件，定解積分方程組，得到問(wèn)題的穩(wěn)態(tài)解，并給出圓孔位置和介質(zhì)參數(shù)對(duì)散射的影響。

固體力學(xué)；散射；Green函數(shù)；SH波；圓孔；雙相介質(zhì)半空間；振動(dòng)與波

彈性動(dòng)力學(xué)中將研究對(duì)象視為連續(xù)的彈性體，運(yùn)用數(shù)學(xué)物理的方法，解析地研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，不僅對(duì)數(shù)學(xué)物理的基礎(chǔ)科學(xué)研究具有重要意義，而且對(duì)巖土工程、地震工程等工程技術(shù)應(yīng)用具有很大的價(jià)值。彈性波的傳播及其在全空間中被一些特殊曲面散射的研究已經(jīng)日趨完善[1-4]。作為最簡(jiǎn)單的波動(dòng)模式，柱體在含復(fù)雜邊界介質(zhì)中的反平面散射研究取得了一定的進(jìn)展[5-6]。研究人員陸續(xù)研究了無(wú)限大彈性半空間、1/4空間中圓柱孔洞、夾雜、襯砌對(duì)SH平面波的穩(wěn)態(tài)散射[7-12]。雙相介質(zhì)半空間中SH波對(duì)圓柱孔洞、夾雜和界面裂紋的散射問(wèn)題也得到了一定的研究[13-18]。這些研究中主要考慮入射波與孔洞或夾雜在同一介質(zhì)內(nèi)的散射問(wèn)題，對(duì)于平面SH波從介質(zhì)I穿過(guò)界面折射進(jìn)入介質(zhì)II，透射波對(duì)介質(zhì)II中圓孔的散射問(wèn)題的研究相對(duì)匱乏。本文中用Green函數(shù)和積分方程，按復(fù)變函數(shù)方法對(duì)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析，求解雙相介質(zhì)半空間中位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)的解析表達(dá)式，并采用數(shù)值方法計(jì)算算例中圓孔邊沿動(dòng)應(yīng)力集中因子和地表位移幅值的分布。

1 理論模型

如圖1所示，連續(xù)、均勻、各向同性的彈性半空間，由介質(zhì)Ⅰ和Ⅱ組成，其剪切模量分別為μ1和μ2，質(zhì)量密度分別為ρ1和ρ2，兩種介質(zhì)的分界為BV，這種雙相介質(zhì)半空間的邊界平面為BH。介質(zhì)Ⅱ中有一個(gè)圓形孔洞，其半徑為R，其圓心O1距離界面BV為d，距離邊界BH為h，定義平面直角坐標(biāo)系O1x1y1(圖1)，以出平面方向?yàn)閦軸正方向，x1軸、y1軸和z軸滿足右手關(guān)系。

在介質(zhì)Ⅰ中有穩(wěn)態(tài)SH平面波入射，其角頻率為ω。入射波與它在邊界BH上的反射和在界面BV的反射和透射，造成了介質(zhì)Ⅰ與介質(zhì)Ⅱ中質(zhì)點(diǎn)的反平面運(yùn)動(dòng)，其反平面運(yùn)動(dòng)的位移分別為wⅠ和wⅡ，滿足標(biāo)量波動(dòng)方程：

(1)

分離時(shí)間變量和空間變量，得到對(duì)應(yīng)的Helmholtz方程(介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中位移場(chǎng)的控制方程)：

(2)

位移場(chǎng)wⅠ和wⅡ在半空間邊界BH平面上產(chǎn)生的剪應(yīng)力都為0，滿足Neumann邊界條件；位移場(chǎng)wⅠ和對(duì)應(yīng)的應(yīng)力場(chǎng)τⅠ在界面BV上與位移場(chǎng)wⅡ和對(duì)應(yīng)的應(yīng)力場(chǎng)τⅡ相等，分別滿足Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件；應(yīng)力場(chǎng)τⅡ在圓形孔洞邊界上為0，滿足Neumann邊界條件。這4個(gè)邊界條件與介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的控制方程(2)組成本文的定解問(wèn)題。

2 等價(jià)問(wèn)題

圖2 等價(jià)問(wèn)題Fig.2 Equivalent issue

(3)

在介質(zhì)Ⅰ中有一對(duì)穩(wěn)態(tài)的SH平面波入射，其角頻率均為ω，初相位相等，入射角關(guān)于平面BH對(duì)稱，其位移wi1和wi2為：

(4)

這樣，本文中定解條件變成等價(jià)的邊值問(wèn)題，由BV界面上位移和應(yīng)力連續(xù)的Dirichlet和Neumann邊界條件，及介質(zhì)Ⅱ中圓形孔洞邊界B1和B2柱面上剪應(yīng)力自由的Neumann邊界條件組成。

介質(zhì)Ⅰ中的入射位移波wi1和wi2在界面BV將發(fā)生反射和折射，折射波將透射進(jìn)入介質(zhì)Ⅱ，在圓形孔洞的邊界B1和B2柱面發(fā)生散射，散射波也將在界面BV發(fā)生反射和折射，為了分析界面BV對(duì)散射波的反射和折射效應(yīng)，引入Green函數(shù)方法。

3 Green函數(shù)

按照Green函數(shù)方法，考慮點(diǎn)源荷載在界面BV上分別對(duì)介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)，其分離時(shí)間變量后，即為Green函數(shù)。

在介質(zhì)Ⅰ中，點(diǎn)源荷載δ(z-iy0)exp(-iωt)產(chǎn)生的Green函數(shù)GⅠ(z,iy0)是半空間中的基本解，表達(dá)式為

(5)

圖3 介質(zhì)Ⅱ中的Green函數(shù)Fig.3 Green function in medium Ⅱ

如圖3所示，在介質(zhì)Ⅱ中，點(diǎn)源荷載δ(z-iy0)exp(-iωt)產(chǎn)生的Green函數(shù)GⅡ(z,iy0)，按照疊加原理，有：

(6)

(7)

(8)

介質(zhì)Ⅱ?qū)?yīng)半空間中的基本解G(z,iy0)，位移波wG1和w′G1的矢量和，位移波wG2和w′G2的矢量和，它們的應(yīng)力場(chǎng)都滿足界面BV上的剪應(yīng)力自由條件。位移場(chǎng)GⅡ(z,iy0)的應(yīng)力場(chǎng)必須滿足圓形孔洞邊界B1和B2柱面上的剪應(yīng)力自由條件做Fourier展開(kāi)，得到等價(jià)的剪應(yīng)力自由條件，用于確定Fourier-Hankel波函數(shù)系數(shù)An和Bn，即定解條件。根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，得到和定解條件等價(jià)的兩組方程。截?cái)郌ourier-Hankel波函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)式，取對(duì)應(yīng)的方程，組成定解方程組，按Gauss消去法解得An和Bn的具體數(shù)值，這樣，就確定了介質(zhì)Ⅱ中Green函數(shù)GⅡ(z,iy0)位移場(chǎng)的具體表達(dá)式。

4 位移波場(chǎng)

圖4 位移波場(chǎng)的契合Fig.4 Conjunction of displacement wave field

介質(zhì)Ⅰ中的位移場(chǎng)wⅠ(z)由3部分組成：入射波的位移場(chǎng)、反射波的位移場(chǎng)、介質(zhì)Ⅱ?qū)橘|(zhì)Ⅰ的作用力f(y)產(chǎn)生的位移場(chǎng)，其表達(dá)式為：

(9)

式中：wi1(z)和wi2(z)是入射波的位移場(chǎng)，根據(jù)式(4)，略去時(shí)間諧和項(xiàng)exp(-iωt)，得到入射波位移場(chǎng)的表達(dá)式：

(10)

wr1(z)和wr2(z)是反射波的位移場(chǎng)，表達(dá)式為：

(11)

介質(zhì)Ⅱ中的位移場(chǎng)wⅡ(z)同樣由3部分組成：折射波的位移場(chǎng)、散射波的位移場(chǎng)，以及介質(zhì)Ⅰ對(duì)介質(zhì)Ⅱ的作用力-f(y)產(chǎn)生的位移場(chǎng)，表達(dá)式為：

(12)

wt1(z)和wt2(z)是折射波的位移場(chǎng)，表達(dá)式為：

(13)

式中：W2是折射波的振幅，β是折射波的角度(見(jiàn)圖4)。按照界面BV上位移和應(yīng)力的連續(xù)性條件，角度α和β滿足Snell定律：

k1sinα=k2sinβ

(14)

入射波振幅W0、反射波振幅W1和折射波振幅W2，滿足

(15)

ws1(z)和ws2(z)是介質(zhì)Ⅱ中圓形孔洞邊界B1和B2柱面對(duì)折射波的散射所產(chǎn)生的位移場(chǎng)，w′s1(z)和w′s2(z)是散射波ws1(z)和ws2(z)分別對(duì)界面BV反射產(chǎn)生的鏡像散射波的位移場(chǎng)，按照波函數(shù)展開(kāi)法，得到：

(16)

5 積分方程

由(9)和(12)式，按照界面BV上位移和應(yīng)力的連續(xù)條件，即契合條件，得到：

(17)

(18)

這是積分限為無(wú)窮的第一種Fredholm積分方程。在y軸上對(duì)界面BV取N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)yk，同樣地，對(duì)積分區(qū)間取N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)yl，按數(shù)值方法對(duì)(18)式進(jìn)行離散求解：

(19)

式中：Ql是求積系數(shù)，伴隨求積節(jié)點(diǎn)yl，取決于數(shù)值積分所采用的方法。按Gauss消去法，計(jì)算節(jié)點(diǎn)yl上f(yl)的數(shù)值，之后用Lagrange插值擬合界面BV上的分布力f(y)

6 算例分析

按照第4節(jié)中的討論，結(jié)合第5部分求得的界面BV上的分布力f(y)，分別按照(9)式和(12)式，得到介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中的位移場(chǎng)wⅠ(z)和wⅡ(z)，求得應(yīng)力場(chǎng)τⅠ(z)和τⅡ(z)，它們足以描述介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中全部質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(20)

(21)

為直觀的討論圓孔散射對(duì)水平邊界BH位移的影響，引入標(biāo)準(zhǔn)化的位移幅值W*(z)：

(22)

水平邊界BH平面的存在極大地影響了圓孔的散射，包括2部分：與圓孔到BH平面的距離h無(wú)關(guān)的鏡像透射位移波wt2(z)對(duì)圓孔的散射，以及隨著h的增大而衰減的鏡像散射波ws2(z)對(duì)圓孔的散射。水平邊界對(duì)圓孔散射的影響在彈性動(dòng)力學(xué)反平面半空間問(wèn)題中得到了廣泛的討論，相較而言，在雙相介質(zhì)半空間中，垂直界面BV對(duì)介質(zhì)Ⅱ中圓孔散射的作用更值得注意。

算例以圓孔半徑R為參考長(zhǎng)度，給定h=2R，d=2R，取入射角α=0，數(shù)值計(jì)算雙相介質(zhì)的不同波數(shù)、剪切模量對(duì)圓孔散射的具體影響，定義波數(shù)比k*=k1/k2，剪切模量比μ*=μ1/μ2。圖5和圖6分別給出由圓孔散射所造成的圓孔邊沿的動(dòng)應(yīng)力集中因子的分布和受其影響的水平邊界BH平面上標(biāo)準(zhǔn)化的位移幅值的分布。

圖5 動(dòng)應(yīng)力集中因子在圓孔邊沿的分布Fig.5 Distribution of dynamic stress concentrations factors around the cylindrical cavity

圖6 標(biāo)準(zhǔn)化位移幅值在水平邊界上的分布Fig.6 Distribution of normalized displacement amplitude along the horizontal bound

7 結(jié) 論

雙相介質(zhì)半空間中圓孔的反平面穩(wěn)態(tài)散射受到很多因素的影響，諸如，圓孔和邊界的距離、和界面的距離，雙相介質(zhì)的波數(shù)比、剪切模量比，平面SH波的入射角度、頻率，等等。不同的圓孔位置對(duì)散射的影響可以參照1/4空間圓孔問(wèn)題的研究，當(dāng)圓孔距離界面足夠遠(yuǎn)，界面另一側(cè)介質(zhì)的影響可以忽略，界面附近的圓孔，對(duì)穿過(guò)界面的透射平面SH波的散射受到界面另一側(cè)介質(zhì)的強(qiáng)烈影響，集中體現(xiàn)在介質(zhì)的波數(shù)和剪切模量。作為SH波在雙相介質(zhì)中傳播的問(wèn)題，應(yīng)充分考慮界面兩側(cè)介質(zhì)對(duì)平面SH波透射的影響，給定入射角度和頻率。

在相對(duì)低頻的透射波作用下，圓孔散射造成更大的動(dòng)應(yīng)力集中，在相對(duì)高頻的透射波作用下，圓孔散射造成的動(dòng)應(yīng)力分布受到界面另一側(cè)介質(zhì)的影響更大。在一定范圍內(nèi)，界面另一側(cè)介質(zhì)的剪切模量很大程度地決定著圓孔散射所造成的動(dòng)應(yīng)力的數(shù)值與分布，這種效應(yīng)隨著界面另一側(cè)介質(zhì)的質(zhì)量密度的增大而減小。在相對(duì)高頻的透射波作用下，圓孔散射造成局部更大的地表位移，也更受界面另一側(cè)介質(zhì)的影響，隨著界面另一側(cè)介質(zhì)波數(shù)的增大，圓孔散射所造成的局部地表位移的變化也越大，這種效應(yīng)隨著界面另一側(cè)介質(zhì)的剪切模量的增大也略微地增大。

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(責(zé)任編輯 王小飛)

Steady state analysis for circular cavity impacted by transmitted SH wave in a bi-material half space

Qi Hui1, Cai Li-ming1, Luo Guang-long1, Pan Xiang-nan1, Yang Jie2, Wang Xian-zhang3, Li Guo-wen1, Jiang Jing-jiang1

(1.CollegeofAerospaceandCivilEngineering,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,Heilongjiang,China; 2.SchoolofMechanicalEngineering,ShanghaiDianjiUniversity,Shanghai201306,China3.ChinaConstructionFirstEngineeringDivisionCorp.Ltd.,Beijing100070,China)

To study the way that the plane SH wave propagating in an elastic bi-material half space from medium Ⅰ to medium Ⅱ, the steady-state scattering of the transmitted wave by a circular cavity is analyzed by using Green function and integral equation methods on complex function description. The bi-material half space is divided into a quarter space medium Ⅰ and a quarter space medium Ⅱ with a circular cavity in it. Their Green functions are constructed as anti-plane point source response problem respectively. The total displacement fields of medium Ⅰ and medium Ⅱ are formulated as two parts’ vector sum. The first part is interfacial integral of interactive force multiplied by corresponding Green function. The second part is plane displacement field formed by omitting the circular cavity. Steady state solution is obtained by determining the integral equations along interface with displacement continuity. Numerical results are presented to reveal the effects of locations and material parameters on circular cavity scattering.

solid mechanics; scattering; Green function; SH wave; a circular cavity; a bi-material half space; vibration and wave

10.11883/1001-1455(2015)04-0591-08

2013-12-04；

2014-03-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51379048)

齊 輝(1963- )，男，博士，教授； 通訊作者： 潘向南，panxiangnan@hrbeu.edu.cn。

O343 國(guó)標(biāo)學(xué)科代碼： 13015

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