陳 亮，雷國輝，趙仲輝

(1.河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇南京 210098;2.河海大學(xué)巖土工程科學(xué)研究所，江蘇南京 210098;3.長江新能源開發(fā)有限公司，上海 200001)

長條形土工織物管袋充泥筑堤、圍埝及護岸技術(shù)在水利和海岸工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用［1-6］，該技術(shù)已成功應(yīng)用于我國連云港［2］、黃驊港［7］和天津港［8-9］工程建設(shè)。在土工管袋設(shè)計中，管袋的拉力和變形形狀是需要考慮的重要因素［10］。針對土工管袋的受力和變形問題已經(jīng)提出了一些相對簡便實用的解析計算方法，通常是將其假設(shè)為剛性水平地基上的平面應(yīng)變問題，忽略管袋的自重和拉伸變形，在已知管袋橫截面周長和底部或頂部壓力的條件下，通過平衡方程和幾何約束條件，采用不同的數(shù)學(xué)方法或考慮不同的工況，求解管袋的拉力、充填高度和形狀［10-22］。通過文獻分析發(fā)現(xiàn)，管袋受力和變形問題的支配方程是非線性偏微分方程，管袋拉力將隨充填過程中管袋的變形而非線性增長，而現(xiàn)有的解析計算方法主要給出了在特定泵壓充填壓力條件下管袋拉力和變形的解答，對于在充填過程中，充填壓力隨充填速率或充填時間變化情況下管袋拉力和變形變化規(guī)律的分析尚欠深入。為此，筆者針對剛性水平地基上的充泥土工織物管袋，采用Plaut等［13］運用無量綱化方法建立的特定泵壓充填壓力條件下的支配方程，考慮充填過程中充填壓力隨充填速率的變化，以及自由充填工況，推導(dǎo)了充填過程中管袋受力和變形的解析解答，分析管袋拉力和形狀在充填過程的變化規(guī)律，并探討不同管袋橫截面周長情況下的合理充填體積或充填高度問題。

圖1 剛性水平地基上的管袋示意圖Fig.1 Sketch of a geosynthetic tube on rigid horizontal foundation

1 管袋的受力和變形解答

1.1 假設(shè)條件與控制方程

為推求剛性水平地基上充泥管袋的受力和變形解答，考慮問題的復(fù)雜性和求解難度，進行如下假設(shè):(a)所研究問題為平面應(yīng)變問題;(b)管袋不可拉伸、無彎曲剛度、不計自重，在充填過程中不透水;(c)管袋內(nèi)部充填泥漿，且在充填過程中保持為液態(tài);(d)管袋與泥漿、地基之間的摩擦力忽略不計。

建立坐標系如圖1所示，坐標原點設(shè)置于管袋與地基接觸和分離的臨界點位置(圖中H為管袋高度，L為管袋橫截面周長，C為管袋與地基的接觸長度，S為管袋與地基非接觸部分即自由變形部分的弧長，θ為管袋任意一點切線方向與X軸正向的夾角)。

圖2 管袋任一微段的受力分析示意圖Fig.2 Force diagram of geosynthetic tube at an arbitrary infinitesimal segment

如圖2所示，取垂直于橫截面的縱向單位長度管袋上任一微段做受力分析。圖2中T為管袋橫截面的周向拉力，PA為管袋上任一微段處所受內(nèi)部泥漿壓力，則PA=P-ρgY，P為管袋底部與地基接觸部分受到的泥漿壓力，ρ為管袋內(nèi)部充填泥漿的密度，g為重力加速度。

根據(jù)受力平衡PAdS=2Tsin(dθ/2)=Tdθ，得

另由幾何關(guān)系可知管袋受力和變形的控制方程為

參考Plaut等［13］的方法，引入下列無量綱參數(shù):

式中:p——管袋底部壓強的無量綱數(shù);τ——管袋周向拉力的無量綱數(shù);V——垂直于管袋橫截面方向即縱向單位長度管袋的體積。

控制方程(1)～(3)可轉(zhuǎn)換為

值得注意的是，式(5)僅在p＞y即P＞ρgY時才有意義。由于管袋充填時Y的最大值為充填高度H，因此式(5)要求p＞h即P＞ρgH，這種工況對應(yīng)于泵壓充填即管袋頂部壓力不為零的工況。而管袋在充填過程中，初期將在泥漿自重作用下使其膨脹，此時對應(yīng)于自由充填即管袋頂部壓力為零的工況，式(5)及其現(xiàn)有的相應(yīng)解答并不適用;充填后期當管袋膨脹到一定高度后，只有增加泵壓即對應(yīng)于管袋頂部壓力不為零的工況，才能使管袋繼續(xù)充填和膨脹，此時式(5)方才適用。為此，以下將區(qū)分這2種工況分別對管袋的受力和變形進行求解。

1.2 管袋頂部壓力不為零即泵壓充填時解答

將管袋劃分為足夠小的微段，求解式(5)～(7)可以得到任一微段的形狀方程為

式中:α、β——各微段的始末端。

令式(9)中 θα=0，θβ=π，此時的y值即為管袋高度h，則

令式(8)中θα=0，θβ=2π，此時x的絕對值為管袋底部與地基的接觸長度c，即

由管袋的整體受力平衡，即管袋底部與地基接觸面上的法向壓力與充填泥漿的重力相等，可得ρgV=PC，則根據(jù)式(4)可得v=pc，將式(12)代入后即可求出單位長度管袋的體積為

由圖1可知，當θα=0、θβ=2π時，s為管袋與地基非接觸部分的弧長，c為管袋底部與地基接觸部分的長度，因此，根據(jù)管袋周長的無量綱值為1可得此時s+c=1。將式(10)和式(12)代入后可得

設(shè)泥漿充填速率為qf，充填時間為t，則V=qft，由式(4)可得v=qft/L2，則由式(13)可得

某一時刻t，對于給定的管袋周長及qf，聯(lián)立式(14)和(15)即可組成含有2個未知數(shù)p和τ的方程組。求解此方程組即可得到p和τ，進而分別由式(11)～(13)可得到h、c、v。將求得的p和τ代入式(8)～(10)即可求得管袋在此充填時刻的形狀。

1.3 管袋頂部壓力為零即自由充填時解答

由式(11)可知，只有當τ＜p2/4時才可用式(14)和式(15)進行求解。對于充填初期管袋頂部壓力為零的工況，此時p=h即τ=p2/4，管袋的受力和變形需另行求解。在這種狀態(tài)下，管袋為扁平狀，頂部基本水平，橫截面形狀近似如圖3所示。為簡便起見，假設(shè)管袋的形狀為矩形，根據(jù)管袋周長的無量綱數(shù)為1可知

此時 2h+2c=1，即

由p=h可得

由v=pc可得

再由v=qft/L2可得

圖3 充填初期管袋的形狀Fig.3 Shape of geosynthetic tube at early stage of filling

另外，根據(jù)式(20)可知，對于給定的管袋周長和充填速率，由式(19)可求出管袋頂部壓力為零時任意充填時刻的p，再由式(16)、式(17)和式(20)可求出對應(yīng)的h、c以及τ。

1.4 臨界充填高度及求解方法

從管袋充填時刻t=0起，管袋高度逐漸增加，將分別經(jīng)歷管袋頂部壓力為零即p=h階段以及管袋頂部壓力不為零即p＞h階段。定義管袋在泥漿充填過程中從h=p達到h＜p時的h值為臨界充填高度hc。筆者采用Mathematica軟件來確定hc值，方法如下:(a)假設(shè)某一p值，由式(14)求解τ;(b)若 τ-p2/4/τ＞10-4，則重新選取較小的p值，代入式(14)求解τ;(c)重復(fù)上述步驟直至 τ-p2/4/τ≤ 10-4，并記錄p值。

計算結(jié)果如圖 4所示，可以看出:當p=0.1時，

τ-p2/4/τ=0.98×10-4，即式(14)與式(20)這2 種求解管袋拉力方法的結(jié)果相對誤差小于10-4。因此，此時的管袋高度即為臨界高度，其無量綱值hc=p=0.1，由式(20)可知對應(yīng)的管袋周向拉力的無量綱數(shù)τc=0.0025，由式(18)可知對應(yīng)的管袋充填體積vc=0.04，由式(19)可求出給定管袋周長和充填速率下達到臨界充填高度的充填時間tc=0.04L2/qf。

綜上可知，當t≤tc時h=p，管袋的受力和變形按1.3節(jié)的解答進行求解;當t＞tc時h＜p，管袋的受力和變形按1.2節(jié)的解答進行求解。將求得的無量綱解答v、p、t、h、c代入式(4)中，即可求出對應(yīng)的有量綱的解答。

圖4 τ與p2/4的相對誤差隨底部壓強的變化Fig.4 Variation curve of relative error between τand p2/4 against p during filling process

2 計算結(jié)果及分析

采用Mathematica軟件進行求解計算。假定土粒相對密度Gs=2.65，充填泥漿含水率w=190%，則袋內(nèi)充填泥漿的飽和密度ρs=1273 kg/m3，假定泥漿充填速率qf=0.145 m3/min，選取2種不同橫截面周長的管袋L=8 m和L=10 m，對其受力與變形情況進行對比分析。

2.1 充填過程中管袋的形狀

充填過程中管袋的變形形狀如圖5所示。由圖5可見，采用本文解答可以模擬充填過程中管袋的形狀變化。充填初期，管袋為扁平狀;充填后期，隨著泥漿的持續(xù)充入，管袋最終將變?yōu)閳A柱狀(因為在相同的橫截面周長情況下，圓形的橫截面積最大)。然而，管袋從扁平狀變化到圓柱狀需要充填壓力作為保障，即需要增加泵壓才能實現(xiàn)。

2.2 充填過程中管袋的受力和變形

圖6所示為泥漿充填速率qf=0.145m3/min、管袋橫截面周長為L=8m和L=10m時，充填過程中管袋底部壓力P、管袋拉力T、管袋底部與地基接觸長度C以及管袋高度H隨時間的變化過程。圖中實心圓點代表p=h=0.1(即管袋達到其臨界充填高度hc)對應(yīng)的值。

圖6 充填過程中管袋的受力與變形Fig.6 Force and deformation of geosynthetic tube during filling process

從圖6可以看出，管袋在達到臨界高度前，P、H、C基本都隨著充填時間線性變化。而當管袋達到臨界充填高度之后繼續(xù)充填時，所需的P將隨著充填時間非線性增長，增長速率迅速增大，但H的增長卻相對緩慢。顯然，在管袋達到臨界高度后，只有大幅度增加泵壓才能使管袋繼續(xù)充填，但充填高度的增長卻相對有限。

同時可以看出:T在整個充填過程中都隨著充填時間非線性增長，管袋在達到臨界高度前T增長相對緩慢;當管袋達到臨界高度后，繼續(xù)充填則T將顯著增大。不同的qf及不同L的管袋均表現(xiàn)出與上述情況類似的變化特征。管袋材料選型時，可根據(jù)管袋拉力的計算值確定滿足抗拉強度要求的土工織物材料。

由上述分析可知，在實際工程中通過增加泵壓以增加充填體積將大幅度增加施工成本，而充填體積的增加卻是有限的，性價比差。因此，hc可為管袋的設(shè)計提供參考。根據(jù)無量綱化方法確定的結(jié)果可知，h=hc=0.1(即H=0.1L)時，τ=0.0025，即T=0.0025ρgL2，對應(yīng)的v=0.04，即V=0.04L2。

3 結(jié) 語

a.考慮充填速率和充填時間的作用影響，推導(dǎo)了管袋在整個充填過程中從自由充填到泵壓充填情況下的拉力、充填高度、形狀和體積的求解方法。

b.確定了從自由充填到泵壓充填的臨界充填高度為0.1倍的管袋周長L，對應(yīng)的管袋拉力為0.0025ρgL2，單位長度充填體積為0.04L2，充填時間為0.04L2/qf。

c.在自由充填階段，管袋拉力增長緩慢。但在管袋充填達到臨界充填高度之后需要顯著增加泵壓才能使管袋繼續(xù)充填，而充填高度和充填體積的增加卻不明顯;充填高度和充填體積與充填壓力之比顯著減小，充填效率明顯降低。

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