林 屹 嚴(yán)洪森 周 博

(1東南大學(xué)自動化學(xué)院,南京210096)(2東南大學(xué)復(fù)雜工程系統(tǒng)測量與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京210096)(3 南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院,南京210044)

基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)混沌時(shí)間序列多步預(yù)測

林 屹1,2,3嚴(yán)洪森1,2周 博1,2

(1東南大學(xué)自動化學(xué)院,南京210096)(2東南大學(xué)復(fù)雜工程系統(tǒng)測量與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京210096)(3南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院,南京210044)

提出了一種新的混沌時(shí)間序列預(yù)測方法——多維泰勒網(wǎng)方法.該方法不以相空間重構(gòu)方法中嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的選取為前提,無需系統(tǒng)的先驗(yàn)知識和機(jī)理,僅根據(jù)已知的時(shí)間序列樣本,通過多維泰勒網(wǎng)模型獲得n元一階多項(xiàng)式差分方程組,進(jìn)而得到能反映非線性系統(tǒng)動力學(xué)特性的多維泰勒網(wǎng)動態(tài)模型.在此基礎(chǔ)上提出了基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)多步預(yù)測方法,通過數(shù)據(jù)窗口的滑動自適應(yīng)建模,實(shí)現(xiàn)對混沌時(shí)間序列的多步預(yù)測. 將該方法應(yīng)用于Lorenz混沌時(shí)間序列的一步和多步預(yù)測,均方誤差分別達(dá)到2.56×10-5和2.76×10-3.仿真結(jié)果表明，該方法可以對混沌時(shí)間進(jìn)行有效預(yù)測，且具有較高的預(yù)測精度.

混沌時(shí)間序列;多維泰勒網(wǎng);預(yù)測

混沌是自然界普遍存在的一種現(xiàn)象,具有貌似隨機(jī)發(fā)生,且對初始條件敏感以及難以長期預(yù)測的特點(diǎn).由于混沌理論在經(jīng)濟(jì)、信號處理、工程等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-5],因此對于混沌時(shí)間序列的建模和預(yù)測具有重要的理論意義以及廣泛的應(yīng)用前景.

目前,各種非線性系統(tǒng)建模方法已被用于混沌時(shí)間序列的預(yù)測與建模中,并取得了較豐富的研究成果,如基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法[6-7]、基于支持向量機(jī)方法[8-9]、自適應(yīng)濾波器方法[10-11]等. 然而,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法存在初始權(quán)值、閾值難以確定和泛化能力差等問題.支持向量機(jī)方法同樣存在核函數(shù)確定、優(yōu)質(zhì)有限小樣本選取等難點(diǎn).自適應(yīng)濾波器方法在進(jìn)行混沌時(shí)間序列預(yù)測時(shí)，一般要先進(jìn)行相空間重構(gòu),而在進(jìn)行相空間重構(gòu)時(shí),存在選取嵌入維數(shù)m和時(shí)間延遲τ的難點(diǎn)，這2個(gè)參數(shù)若選取不當(dāng),均無法實(shí)現(xiàn)對混沌時(shí)間序列的準(zhǔn)確預(yù)測.

本文提出了一種基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)混沌時(shí)間序列多步預(yù)測方法.該方法不以嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲的選取為前提,在無需系統(tǒng)的先驗(yàn)知識和機(jī)理的情況下,僅利用時(shí)間序列的樣本數(shù)據(jù),建立多維泰勒網(wǎng)模型,實(shí)現(xiàn)對混沌時(shí)間序列的預(yù)測,并且可以根據(jù)時(shí)間序列的變化自動地調(diào)整模型參數(shù)以適應(yīng)其變化.同時(shí),由于多維泰勒網(wǎng)中的多項(xiàng)式函數(shù)由若干線性和非線性項(xiàng)組成,因而,多維泰勒網(wǎng)模型可以表示一般意義下的狀態(tài)動力學(xué)特性,從而獲得系統(tǒng)行為的顯性描述.本文最后將該方法應(yīng)用于Lorenz系統(tǒng)混沌時(shí)間序列預(yù)測,仿真結(jié)果表明運(yùn)用該方法建立的多維泰勒網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)預(yù)測模型可以有效地進(jìn)行混沌時(shí)間序列的一步和多步預(yù)測,并且獲得了較高的預(yù)測精度.

1 多維泰勒網(wǎng)

多維泰勒網(wǎng)絡(luò)(multi-dimensional Taylor network, MTN)采用前向單中間層結(jié)構(gòu),包括輸入層、中間層和輸出層.設(shè)輸入層為n個(gè)節(jié)點(diǎn),x(k)={x1(k),x2(k),…,xn(k)}T∈Rn,輸出層為x(k+1)={x1(k+1),x2(k+1),…,xn(k+1)}T∈Rn,中間層為網(wǎng)絡(luò)處理層,各輸入變量在該層中實(shí)現(xiàn)在各冪次乘積項(xiàng)單元的加權(quán)求和.中間層由各冪次乘積項(xiàng)單元以及相應(yīng)連接權(quán)值向量λl組成,其中λl={λl,1,λl,2,…,λl,w},l=1,2,…,n,表示連接中間層節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)輸出層第l個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出權(quán)值向量.多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示[12].

多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型可用如下數(shù)學(xué)表達(dá)式表示:

(1)

圖1 多維泰勒網(wǎng)模型

式中,n為輸入層和輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù);w為中間層的節(jié)點(diǎn)總數(shù);λl,q為第q個(gè)乘積項(xiàng)之前的權(quán)值;σq,i為各輸出節(jié)點(diǎn)的第q個(gè)乘積項(xiàng)中變量xi(k)的冪次.

在式(1)所示的多維泰勒輸出中，所有乘積項(xiàng)的組成及排列見圖2.

圖2 逼近展開式中乘積項(xiàng)組成和排列示意圖

(2)

根據(jù)圖2中的乘積項(xiàng)組成及排列關(guān)系,可以得到

(3)

初始值為

(4)

定理1 多維泰勒網(wǎng)的輸入取為差分形式,即

(5)

若展開式中變量xn(k)的系數(shù)不為零,則x1(k),x2(k),…,xn(k)為可以完整表征某一系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的一組狀態(tài)變量.

證明 若多維泰勒網(wǎng)的輸入為x(k)={x1(k),x2(k),…,xn(k)}T∈Rn,其中

x1(k)=x1(k)

x2(k)=x1(k)-x1(k-1)

?

xn(k)=xn-1(k)-xn-1(k-1)

則該多維泰勒網(wǎng)的相應(yīng)輸出為x(k+1)={x1(k+1),x2(k+1),…,xn(k+1)}T∈Rn,由式(1)可知

(6)

則有

x1(k+1)=a1x1(k)+a2x2(k)+…+

anxn(k)+R(k)

式中,a1,a2,…,an為式(6)等號右邊展開式中x1(k),x2(k),…,xn(k)項(xiàng)的具體權(quán)值；R(k)為式(6)等號右邊展開式中的余項(xiàng).

由式(5)可得

x1(k+1)=a1x1(k)+a2x2(k)+…+anxn(k)+R(k)

x2(k+1)=x1(k+1)-x1(k)=

(a1-1)x1(k)+a2x2(k)+…+anxn(k)+R(k)

?

xn(k+1)=xn-1(k+1)-xn-1(k)=

(a1-1)x1(k)+(a2-1)x2(k)+…+(an-1-

1)xn-1(k)+anxn(k)+R(k)

即

x(k+1)=

(7)

令

由于an≠0,系數(shù)矩陣A滿秩,x1(k),x2(k),…,xn(k)相互獨(dú)立,因此多維泰勒網(wǎng)的輸入x1(k),x2(k),…,xn(k)可以完整表征某一系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的一組狀態(tài)變量.

證畢.

系統(tǒng)動力學(xué)方程一般可描述為

(8)

式中,x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;y為系統(tǒng)的輸出向量;C為輸出矩陣.

由定理1可知,多維泰勒網(wǎng)的輸入可以完整表征某一系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的一組狀態(tài)變量x1(k),x2(k),…,xn(k),當(dāng)多維泰勒網(wǎng)絡(luò)參數(shù)確定后,將式(1)代入式(8),便可以在僅依賴于系統(tǒng)數(shù)據(jù)的情況下,將系統(tǒng)一般意義下的狀態(tài)動力學(xué)特性以顯性方式加以描述,這是多維泰勒網(wǎng)方法的一大特點(diǎn).

2 基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)多步預(yù)測模型

時(shí)間序列預(yù)測就是根據(jù)已知數(shù)據(jù)信息,建立相應(yīng)的模型,實(shí)現(xiàn)對未來未知數(shù)據(jù)的預(yù)測.根據(jù)混沌時(shí)間序列{x(k)}的歷史數(shù)據(jù)對未來的未知數(shù)據(jù){x(k+1),x(k+2),…,x(k+h)}進(jìn)行預(yù)測,稱為超前h步預(yù)測.若h=1,則稱為超前一步預(yù)測,即單步預(yù)測.

2.1 預(yù)測模型

由圖1的多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型可知,采用多維泰勒網(wǎng)絡(luò)根據(jù)混沌時(shí)間序列{x(k)}的歷史數(shù)據(jù)對未來的未知數(shù)據(jù){x(k+1),x(k+2),…,x(k+h)}進(jìn)行預(yù)測時(shí),首先需要確定輸入向量,即確定x(k)為{x1(k),x2(k),…,xn(k)}T.

設(shè)一級差分為

Δx(k)=x(k)-x(k-1)

二級差分為

Δ2x(k)=Δx(k)-Δx(k-1)=x(k)-x(k-1)-(x(k-1)-x(k-2))

?

n+1級差分為

Δn+1x(k)=Δ(Δnx(k))=Δnx(k)-Δnx(k-1)

記Δ0x(k)=x(k),Δ1x(k)=Δx(k).有

(9)

證明 當(dāng)n=0時(shí)，式(9)顯然成立.假定對于自然數(shù)n成立,則以n+1代替n，得

Δn+1x(k)=Δ(Δnx(k))=

故式(9)成立.

定義1 基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)多步預(yù)測模型的輸入向量x(k)={x1(k),x2(k),…,xn(k)}T,其中

x1(k)=Δ0x(k)=x(k)

x2(k)=Δ1x(k)=x(k)-x(k-1)

x3(k)=Δ2x(k)=x(k)-2x(k-1)+x(k-2)

?

則由式(9)可知

根據(jù)混沌時(shí)間序列{x(k)}的歷史數(shù)據(jù)對未來數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測時(shí),本文采用四元多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型,即輸入為x(k)={x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)}T,其中

(10)

相應(yīng)地,該四元多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型輸出為x(k+1)={x1(k+1),x2(k+1),x3(k+1),x4(k+1)}T,其中

超前一步預(yù)測值為

(11)

超前多步預(yù)測是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)得到未來連續(xù)多個(gè)時(shí)間點(diǎn)的預(yù)測值.多步預(yù)測的方法主要有直接預(yù)測和間接預(yù)測2種方法.本文采用間接多步迭代法進(jìn)行多步預(yù)測,即在一步預(yù)測的基礎(chǔ)上進(jìn)行多次迭代以實(shí)現(xiàn)對未來時(shí)刻數(shù)值的預(yù)測.采用迭代法進(jìn)行多步預(yù)測時(shí),往往會出現(xiàn)在多步迭代過程中上一步的預(yù)測誤差被帶入下一步預(yù)測,造成誤差累積,從而影響預(yù)測精度.因而,具有極高精度的一步預(yù)測模型是采用迭代法進(jìn)行多步預(yù)測減少誤差累積、保證多步預(yù)測精度的一種有效手段.此外,一般的迭代法進(jìn)行多步預(yù)測時(shí)采用固定的一步預(yù)測模型進(jìn)行多次迭代計(jì)算,這種固定的模型無法根據(jù)數(shù)據(jù)的變化自動地進(jìn)行參數(shù)調(diào)整,這也將進(jìn)一步惡化誤差累積對預(yù)測精度的影響.

本文以具有很高預(yù)測精度的多維泰勒網(wǎng)模型為基礎(chǔ),在多步迭代過程中采用滑動窗口法,這樣既能保證一步預(yù)測高精度,又能在多步迭代過程中引入未來數(shù)據(jù)的影響,不斷地將預(yù)測值加入到滑動窗口中,根據(jù)時(shí)間序列的變化而自動地調(diào)整預(yù)測模型的參數(shù)以適應(yīng)其變化.因而,這種具有自適應(yīng)預(yù)測特征的多維泰勒預(yù)測方法具有較高的多步預(yù)測精度.

2.2 滑動窗口多維泰勒網(wǎng)輸入輸出重構(gòu)

采用多維泰勒網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行混沌時(shí)間序列自適應(yīng)多步預(yù)測時(shí),需要將每一個(gè)時(shí)間序列滑動窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)處理為可對應(yīng)于多維泰勒網(wǎng)輸入輸出的向量形式,從而形成樣本集窗口. 每個(gè)樣本集窗口內(nèi)均有d個(gè)數(shù)據(jù),為區(qū)別不同窗口,以dl表示,其中l(wèi)表示窗口序號,l=1,2,…,h.

2.3 多維泰勒網(wǎng)學(xué)習(xí)算法

用迭代法進(jìn)行多步預(yù)測需要以一步預(yù)測為基礎(chǔ),進(jìn)行多次迭代從而達(dá)到多步預(yù)測的目的.由于本文采用了基于滑動窗口的迭代方式,在滑動窗口內(nèi)的迭代運(yùn)行過程中,每次進(jìn)行的一步預(yù)測均是基于多維泰勒網(wǎng)預(yù)測模型展開的,因此需要進(jìn)行多維泰勒網(wǎng)學(xué)習(xí),即通過訓(xùn)練獲得多維泰勒網(wǎng)模型參數(shù).

通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)得到多維泰勒網(wǎng)中間層中各冪次乘積項(xiàng)單元相應(yīng)連接權(quán)值.網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)多維泰勒網(wǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(12)

(13)

令

則式(13)可寫為

(14)

將式(14)代入誤差平方和函數(shù),則得到目標(biāo)函數(shù)為

對于該二次函數(shù)的無約束最優(yōu)化問題,可通過共軛梯度法求解得到多維泰勒網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù).

3 預(yù)測實(shí)驗(yàn)

多維泰勒網(wǎng)預(yù)測方法是一種基于數(shù)據(jù)的預(yù)測方法,通過對已知時(shí)間序列構(gòu)成的樣本集的訓(xùn)練,可獲得網(wǎng)絡(luò)參數(shù),在得到預(yù)測模型顯性表達(dá)式的同時(shí),實(shí)現(xiàn)對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測.這種預(yù)測模式特別適用于觀測序列已知而具體模型結(jié)構(gòu)未知的非線性系統(tǒng).

為了對基于多維泰勒網(wǎng)自適應(yīng)多步預(yù)測方法性能進(jìn)行驗(yàn)證,本文針對典型混沌系統(tǒng)Lorenz系統(tǒng)的x分量構(gòu)成的時(shí)間序列,根據(jù)其已知的數(shù)據(jù)對該混沌時(shí)間序列的未來數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)所需的已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)和用于評價(jià)預(yù)測性能的測試數(shù)據(jù)均通過求解Lorenz方程獲得.Lorenz系統(tǒng)方程可描述為[13]

(15)

取β=8/3,σ=10,ρ=28,用Runge-Kutta算法求其數(shù)值解. 本例中時(shí)間序列窗口大小d′取為1 003,即Lorenz系統(tǒng)x分量的前1 003個(gè)數(shù)據(jù)用于產(chǎn)生訓(xùn)練數(shù)據(jù)(生成與之相應(yīng)的樣本集窗口大小d為1 000),而后300個(gè)數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù).在使用x分量數(shù)據(jù)之前,需將數(shù)據(jù)歸一化,并進(jìn)行多維泰勒網(wǎng)輸入量重構(gòu). 由于本文采用的是四元多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型,故其輸入為x(k)={x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)}T,其中

x1(k)=Δ0x(k)=x(k)

將預(yù)測均方誤差EMSE和相對誤差EPERR作為模型性能的評價(jià)指標(biāo),分別定義為

(16)

(17)

式中,N為測試樣本數(shù).Lorenz系統(tǒng)x分量的1步預(yù)測結(jié)果與絕對預(yù)測誤差EAE以及6步預(yù)測結(jié)果與絕對預(yù)測誤差分別如圖3和圖4所示.

(a) 預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值

(b) 絕對預(yù)測誤差

圖3(a)為1步預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的對比,圖3(b)為絕對預(yù)測誤差.由圖3(a)預(yù)測結(jié)果計(jì)算所得的評價(jià)指標(biāo)EMSE=2.56×10-5,EPERR=8.19×10-5.

(a) 預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值

(b) 預(yù)測誤差

圖4(a)為6步預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的對比,圖4(b)為絕對預(yù)測誤差.由圖4(a)預(yù)測結(jié)果計(jì)算所得的評價(jià)指標(biāo)EMSE=2.76×10-3,EPERR=8.82×10-3.

對比6步預(yù)測時(shí)實(shí)際序列和預(yù)測序列的吸引子圖(見圖5)可以看出,基于本文所提出的多步預(yù)測方法對Lorenz系統(tǒng)的多步預(yù)測是可行和有效的.

在此基礎(chǔ)上,將本文方法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與同樣進(jìn)行Lorenz系統(tǒng)6步預(yù)測的二階Volterra自適應(yīng)濾波器方法[14]、少參數(shù)自適應(yīng)濾波器方法[15]以及GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行誤差指標(biāo)對比,結(jié)果見表1.

表1 6步預(yù)測誤差指標(biāo)對比

從表1可以看出,本文方法進(jìn)行多步預(yù)測時(shí)的預(yù)測精度比自適應(yīng)濾波器方法、GA-BP方法的預(yù)測結(jié)果有明顯提高.

(a) 實(shí)際序列吸引子

(b) 預(yù)測序列吸引子

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明,多維泰勒網(wǎng)預(yù)測方法具有極高的單步預(yù)測精度,能夠達(dá)到10-5數(shù)量級.在此高精度單步預(yù)測的前提下,由于采用具有自適應(yīng)能力的多步迭代方法,能夠根據(jù)數(shù)據(jù)變化自動調(diào)整模型參數(shù),從而使得本文方法在進(jìn)行混沌時(shí)間序列多步預(yù)測時(shí),能夠比其他多步預(yù)測方法具有更高的預(yù)測精度,6步預(yù)測仍能達(dá)到10-3數(shù)量級的預(yù)測精度.

此外,采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等基于數(shù)據(jù)的預(yù)測方法進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測時(shí),歷史數(shù)據(jù)x(k-n),…,x(k-2),x(k-1),x(k)對未來數(shù)據(jù)x(k+1)的影響,是無法通過具體明確的數(shù)學(xué)形式反應(yīng)的.然而,本文所提出的基于多維泰勒網(wǎng)的預(yù)測方法在這一方面具有優(yōu)勢,由于該方法可以得到n元一階多項(xiàng)式差分方程組這一顯性數(shù)學(xué)表達(dá)式,從而可以實(shí)現(xiàn)以精確的數(shù)學(xué)表達(dá)形式表達(dá)歷史數(shù)據(jù)對未知預(yù)測數(shù)據(jù)的影響.

4 結(jié)語

本文提出了一種新型的基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)混沌時(shí)間序列多步預(yù)測方法.該方法具有以下優(yōu)點(diǎn):建模時(shí)可以根據(jù)時(shí)間序列的變化自動地調(diào)整模型參數(shù)以適應(yīng)其變化;算法實(shí)現(xiàn)方便,預(yù)測精度高;進(jìn)行混沌時(shí)間序列預(yù)測無需提前進(jìn)行嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲的選取;多維泰勒網(wǎng)方法可以將歷史數(shù)據(jù)x(k-n),…,x(k-2),x(k-1),x(k)對未來數(shù)據(jù)x(k+1)的影響以精確數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式體現(xiàn).對Lorenz混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提方法可以對混沌時(shí)間序列進(jìn)行有效預(yù)測,并且具有較高的預(yù)測精度.

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Adaptive multi-step prediction of chaotic time series based on multi-dimensional Taylor network

Lin Yi1,2,3Yan Hongsen1,2Zhou Bo1,2

(1School of Automation, Southeast University, Nanjing 210096, China)(2Key Laboratory of Measurement and Control of CSE of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)(3College of Information and Control, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing 210044, China)

A new chaotic time series prediction method, the method based on multi-dimensional Taylor network, is proposed. In this method it is unnecessary to choose the embedding dimension and delay time which are referred to as two key parameters in the process of phase-space reconstruction. Without prior knowledge and mechanism of the system, the first ordern-variables polynomial difference equations can be obtained by the multi-dimensional Taylor network according to the known samples of the time series. Thus, the multi-dimensional Taylor network dynamics model is obtained, which can describe the dynamic characteristics of the nonlinear system. On this basis, an adaptive multi-step prediction method based on the multi-dimensional Taylor network is presented. The adaptive model realizes the multi-step prediction of chaotic time series by sliding the data window. Then the method is applied to single step and multi-step prediction of the Lorenz chaotic time series and the mean square errors are 2.56×10-5and 2.76×10-3, respectively. The simulation results indicate that the new method is valid in chaotic time series prediction with better predictive accuracy.

chaotic time series; multi-dimensional Taylor network; prediction

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.016

2014-09-29. 作者簡介: 林屹(1977—),女,博士生,講師;嚴(yán)洪森(聯(lián)系人),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,hsyan@seu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(60934008)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2242014K10031).

林屹，嚴(yán)洪森，周博.基于多維泰勒網(wǎng)的自適應(yīng)混沌時(shí)間序列多步預(yù)測[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,45(2):281-288.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.016

TP391

A

1001-0505(2015)02-0281-08