周 叮 孫 昊 劉偉慶 李枝軍

(南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 211816)

廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)

周 叮 孫 昊 劉偉慶 李枝軍

(南京工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 211816)

研究了廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)的動力學(xué)特性．利用2段連續(xù)的直桿模擬靜立人體,將廣義人體和結(jié)構(gòu)均簡化為單自由度,并與懸掛于結(jié)構(gòu)下部的TMD共同組成一個三自由度的振動系統(tǒng)．推導(dǎo)出廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的無阻尼固有頻率、位移反應(yīng)譜和加速度反應(yīng)譜,并將結(jié)果與二自由度的結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)進行對比．結(jié)果表明,廣義人體對系統(tǒng)的動力學(xué)特性具有一定的影響．當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻為人體基頻的2倍時,這2個系統(tǒng)的無阻尼固有頻率差別較小;當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻與人體基頻接近時,這2個系統(tǒng)的無阻尼固有頻率差別明顯．

廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng);人體模型;耦合振動;動力學(xué)特性

隨著現(xiàn)代結(jié)構(gòu)形式的不斷創(chuàng)新和高性能建筑材料的廣泛使用,人行橋、樓蓋正向著大跨、輕質(zhì)、低阻尼的方向發(fā)展,結(jié)構(gòu)更易受人群活動的影響而產(chǎn)生激振．因此,在進行結(jié)構(gòu)設(shè)計時,應(yīng)盡量避免結(jié)構(gòu)的基頻落在人體運動激勵頻率的范圍內(nèi)[1]．采用TMD技術(shù)抑制人行橋或樓蓋的振動是有效的解決方法之一[2-4]．

現(xiàn)實中,常會遇到部分人靜立于結(jié)構(gòu)上而另一部分人在結(jié)構(gòu)上行走或跳躍的情況,如人行橋上游客駐足觀光而行人則來去匆匆,歌舞廳中觀賞者靜立觀望而演員則跳舞演奏等．靜立人群會改變結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性,行走人群則會激發(fā)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動．已有研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)有人駐留于結(jié)構(gòu)上時,系統(tǒng)的阻尼會相應(yīng)增加,系統(tǒng)的基本頻率則有可能增加也有可能減少[5]．然而,目前使用的TMD減振設(shè)計規(guī)范并未考慮人體彈性對結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能的影響．

實驗研究和現(xiàn)場測試均表明,人體可等效為單自由度系統(tǒng)[6]．設(shè)計TMD時,人行橋和樓蓋等結(jié)構(gòu)可簡化為單自由度系統(tǒng),故靜立在結(jié)構(gòu)上的人群、結(jié)構(gòu)以及TMD一起構(gòu)成了一個三自由度系統(tǒng)[7]．本文依據(jù)生物力學(xué)知識,使用2段連續(xù)的直桿模擬靜立人體,采用解析法研究人體彈性對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響．

1 耦合系統(tǒng)的微分方程

僅考慮人行橋或樓蓋的基階模態(tài),利用能量等效原理,可將結(jié)構(gòu)上的靜立人群等效為靜立在人行橋或樓蓋跨中處的廣義人體,從而得到用單自由度表述的人群簡化模型．

圖1為廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng).圖中,m(x),k(x),c(x)分別為廣義人體模型的分布質(zhì)量、分布剛度和分布阻尼;h為人體高度．廣義人體靜立于單自由度結(jié)構(gòu)上,結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼分別為MS,KS,CS．結(jié)構(gòu)受激勵力PS(t)作用,結(jié)構(gòu)下部附有質(zhì)量為MT、剛度為KT、阻尼為CT的單自由度TMD．僅考慮廣義人體的基階模態(tài),忽略人體腳部彈性和阻尼的影響,即可得到具有三自由度的振動系統(tǒng)．

圖1 廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)

設(shè)結(jié)構(gòu)位移為uS(t),廣義人體的基階模態(tài)坐標(biāo)為uHR(t),TMD位移為uTMD(t),其中t為時間．

廣義人體位移uH(x,t)可表示為

uH(x,t)=uS(t)+uR(x,t)=uS(t)+uHR(t)φ(x)

(1)

設(shè)結(jié)構(gòu)、廣義人體和TMD的勢能分別為US,UH,UTMD,動能分別為TS,TH,TTMD,阻尼耗能分別為RS,RH,RTMD,則廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的勢能U、動能T和阻尼耗能R分別為

(2a)

(2b)

(2c)

激勵力所做的功為

W=PS(t)uS(t)

(2d)

系統(tǒng)受迫振動的拉格朗日方程為

(3)

將式(2)代入式(3),可得廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的微分方程為

(4)

式中

式中,MH0,MH,KH,CH分別為廣義人體總質(zhì)量、基階模態(tài)質(zhì)量、基階模態(tài)剛度和基階模態(tài)阻尼;MH1為廣義人體與結(jié)構(gòu)的耦合質(zhì)量．

若不考慮TMD對結(jié)構(gòu)的作用,可將式(4)轉(zhuǎn)化為人體-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的微分方程[8]．若不考慮廣義人體對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響,則將式(4)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的微分方程,即

(5)

引入如下無量綱參數(shù):

由此可將式(4)可改寫為

(6)

式(5)可改寫為

(7)

2 廣義人體的模態(tài)參數(shù)

根據(jù)生物力學(xué)知識,人體可用分段的連續(xù)直桿來模擬[6]．如圖2所示,本文使用簡單的2段連續(xù)直桿模型,并設(shè)每段人體的質(zhì)量和剛度平均分布．圖中,mi,ki,xi,oi分別為第i(i=1,2)段直桿的質(zhì)量、軸向剛度、坐標(biāo)和坐標(biāo)原點．

圖2 人體豎直方向的振動模型

[6,8],可得廣義人體的等效質(zhì)量和參數(shù)為:MH1=0.765 9MH0,MH=0.666 7MH0,η=1.149,γ1=1.500α．

3 廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的無阻尼固有頻率

令ξS=ξH=ξT=PS(t)=0,由式(6)可得廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的無阻尼固有頻率特征方程為

(8)

類似地,令ξS=ξT=PS(t)=0,由式(7)可得結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的無阻尼固有頻率方程為

l=1,2

(9)

當(dāng)α=0.05時,廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的無阻尼固有頻率曲線見圖3．由圖可知,當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻為人體基頻的2倍(即β1=0.5)時,結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第1頻率與廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第2頻率接近,結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第2頻率則與廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第3頻率接近．當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻與人體基頻相近(即β1=1.0)時,這2種系統(tǒng)的無阻尼固有頻率差別明顯．

(a) β1=0.5,γ2=0.02

(b) β1=1.0,γ2=0.02

(c) β1=0.5,γ2=0.05

(d) β1=1.0,γ2=0.05

已知人體的基頻約為5 Hz[9],對比表1發(fā)現(xiàn),隨著β2的增加,結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第1頻率與廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第1頻率差別逐漸增大,而結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第2頻率與廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的第3頻率的差別則逐漸減?。甌MD的減振效果僅在窄帶頻率范圍內(nèi)較明顯．在此頻率范圍內(nèi),雖然人體彈性對系統(tǒng)基階頻率的影響較小,但TMD的減振效果仍會被減弱．

表1 不同情況下靜立人體彈性對頻率的影響(α=0.05,β1=1.0,γ2=0.05,ωS=ωH=10π)

4 廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的頻譜響應(yīng)

對式(6)進行傅里葉變換可得

(10)

復(fù)頻反應(yīng)函數(shù)為

(11)

式中

由此可得廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和TMD的位移頻譜函數(shù)分別為

(12a)

(12b)

其結(jié)構(gòu)的加速度頻譜函數(shù)為

(12c)

式中

E(λ)=2ξTβ2λ

F(λ)=2ξHβ1λ

N(λ)=-λ2

對式(7)進行傅里葉變換,可得結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和TMD的位移頻譜函數(shù)分別為

(13a)

(13b)

其結(jié)構(gòu)的加速度頻譜函數(shù)為

(13c)

當(dāng)β2=1.0,α=0.05,γ2=0.02,ξS=0.02,ξH=0.4,ξT=0.03時,廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的頻域值比較見表2．由表可知,當(dāng)β1=0.5,λ≤0.80時,廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和TMD的響應(yīng)均大于結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的響應(yīng);當(dāng)β1=0.5,λ≥0.84時,結(jié)果則正好相反．當(dāng)β1=1.0,λ≤0.88時,廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和TMD的響應(yīng)明顯大于結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的響應(yīng);當(dāng)β1=1.0,λ≥0.92時,結(jié)果則正好相反．

5 結(jié)論

1) 當(dāng)β1=0.5時,考慮和不考慮靜立人體的2個系統(tǒng)的無阻尼固有頻率接近．當(dāng)β1=1.0時,2個系統(tǒng)的頻率差別較明顯．

2) 當(dāng)β1=0.5,λ≤0.80時,廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和TMD的響應(yīng)均大于結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的響應(yīng);當(dāng)β1=0.5,λ≥0.84時,結(jié)果則正好相反．當(dāng)β1=1.0,λ≤0.88時,廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)和TMD的響應(yīng)明顯大于結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的響應(yīng);當(dāng)β1=1.0,λ≥0.92時,結(jié)果則正好相反．

表2 廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的頻域值

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Generalized human-structure-TMD coupled system

Zhou Ding Sun Hao Liu Weiqing Li Zhijun

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

The dynamic characteristics of the generalized human-structure-TMD (tuned mass damper) coupled system were studied. A continuous straight bar with two segments was used to model the static body. The generalized human and the structure were simplified as single-degree-of-freedom, and were combined with the TMD suspended under the structure to form a 3DOF (three-degree-of-freedom) vibration system. The undamped natural frequency, the displacement spectra and the acceleration spectra of the generalized human-structure-TMD system were derived. The comparison results between the 3DOF vibration system and the 2DOF (two-degree-of-freedom) structure-TMD system show that the generalized human-body has some effects on the dynamic characteristics of the system. When the fundamental frequency of the structure is twice that of the body, the difference of the undamped nature frequencies of these two systems is small. When the fundamental frequency of the structure is close to that of the body, the difference is considerable.

generalized human-structure-TMD (tuned mass damper) system; body model; coupled vibration; dynamic characteristics

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.026

2014-08-11. 作者簡介: 周叮(1957—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，dingzhou57@yahoo.com.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11372127).

周叮,孫昊,劉偉慶，等.廣義人體-結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)[J].東南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,45(2):348-353.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.026

TU399

A

1001-0505(2015)02-0348-06