陳雪平 陳絢青 盛永健 林金官

(1東南大學(xué)數(shù)學(xué)系, 南京 211189)(2江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,常州213001)

非正規(guī)正交設(shè)計的分辨度及其應(yīng)用

陳雪平1,2陳絢青2盛永健2林金官1

(1東南大學(xué)數(shù)學(xué)系, 南京 211189)(2江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,常州213001)

為實現(xiàn)非正規(guī)正交設(shè)計的最優(yōu)選擇,提出了一種基于矩陣象的廣義分辨度指標. 首先,定義了高階交互作用之間的混雜度量值, 其計算不依賴于水平數(shù)的選取,不僅適用于等水平正交設(shè)計, 還適用于混合水平正交設(shè)計;然后,替換廣義方差分析模型中的混雜度量值, 得到了一個非正規(guī)正交設(shè)計的廣義分辨度指標, 滿足水平置換不變性. 實例分析結(jié)果表明, 所提的廣義分辨度對非正規(guī)正交設(shè)計具有較好的區(qū)分能力, 可實現(xiàn)對非正規(guī)正交設(shè)計的排序和最優(yōu)選擇. 由不同水平上因子的投影頻數(shù)分布可知,該廣義分辨度能夠反映出設(shè)計點在整個空間中的均勻性, 從而建立了廣義分辨度準則和均勻性的聯(lián)系.

正交設(shè)計;工業(yè)設(shè)計;分辨度;混雜;矩陣象

試驗設(shè)計[1-3]、工業(yè)設(shè)計已廣泛應(yīng)用在工、農(nóng)、醫(yī)等多個領(lǐng)域. 一個好的設(shè)計方案可以起到提高產(chǎn)量、減少質(zhì)量波動、降低成本、延長產(chǎn)品壽命等作用. 正交設(shè)計(因析設(shè)計)是應(yīng)用較為成功的一類設(shè)計[2-3].根據(jù)因子水平數(shù), 正交設(shè)計可以分為等水平(對稱)和混合水平(非對稱)2類. 對于等水平情形,特別是當(dāng)水平數(shù)為素數(shù)冪時, 采用有限域等群論知識,可以有效解決在一定優(yōu)良性準則下的最優(yōu)設(shè)計問題.常用的優(yōu)良性準則有最大分辨度準則(maximum resolution)和最小低階混雜準則[3](minimum aberration criterion).而在非對稱 (非正規(guī)設(shè)計) 情形下,討論類似的優(yōu)良性準則是近年來的一個研究熱點.文獻[4-5]研究了二水平非正規(guī)設(shè)計問題. 對于多水平設(shè)計, 文獻[6]通過廣義方差分析模型, 借助編碼理論給出了一般最小低階混雜準則(generalized minimum aberration). 文獻[7]利用示性函數(shù)定義了最小雜合混雜(minimum hybrid aberration). 然而, 這些方法在適用范圍和計算上均存在缺陷. 例如, 對于某些非組合同構(gòu)的設(shè)計,利用最小低階混雜準則無法對數(shù)據(jù)進行準確區(qū)分;最小矩投影準則雖具有良好的區(qū)分能力, 但只適用于素數(shù)冪水平.

非正規(guī)設(shè)計存在復(fù)雜的部分混雜結(jié)構(gòu), 數(shù)據(jù)分析較為困難[8-10]. 本文利用矩陣象方法, 建立了一個非正規(guī)情形下的廣義分辨度指標, 其不僅適用于正規(guī)設(shè)計,而且適用于非正規(guī)設(shè)計.

1 矩陣象

矩陣象方法在正交設(shè)計的構(gòu)造中得到了廣泛應(yīng)用[11-12]. 該方法能夠處理混合水平正交設(shè)計的構(gòu)造.文獻[13]討論了強度為2的混合水平交互作用下的矩陣象定義,給出了相應(yīng)的混雜度量指標.

A?B=(aijB)1≤i≤n,1≤j≤m=(aijbuv)ns×mt

假設(shè)D表示一個強度為t的n行正交設(shè)計.該設(shè)計中含有m個因子,水平數(shù)分別為p1,p2,…,pm,對于任意t(t≤m)列, 所有水平組合出現(xiàn)的重復(fù)次數(shù)相同.

D至少是強度為1的正交設(shè)計, 即

D={a1,a2,…,am}={S1(1r1?p1),…,Sm(1rm?pm)}

n=rjpj

性質(zhì)1 對任意置換矩陣T和正交設(shè)計H, 有

W(T(H?1r))=T(W(H)?Pr)TT

W(T(1r?H))=T(Pr?W(H))TT

性質(zhì)2 如果D={a1,a2,…,am}表示一個強度為2的n行正交設(shè)計,那么任意2列交互作用的矩陣象為Aij=W(ai,aj)=nW(ai)°W(aj), 其中°表示普通矩陣的Hadamard積, 即A°B=(aijbij)n×m.

性質(zhì)3 如果D={a1,a2,…,am}表示一個強度為1的n行正交設(shè)計, 那么當(dāng)且僅當(dāng)任意2列矩陣象正交時D的強度為2，即AiAj=0(i≠j).

性質(zhì)1～性質(zhì)3給出了強度為2的正交設(shè)計矩陣象的正交性．由此可知,任意2個效應(yīng)之間的正交性等價于其矩陣象的正交性.因此,可以利用矩陣象的正交性來研究效應(yīng)之間的混雜情況.

假設(shè)D={a1,a2,…,am}表示一個強度為s的n行正交設(shè)計,Aj表示D中第j列aj的矩陣象,M表示{1,2,…,m}的一個子集,AM表示M的矩陣象. 關(guān)于矩陣象, 文獻[11-13]給出了如下性質(zhì):

2 非正規(guī)設(shè)計的分辨度

設(shè)d1,d2,…,dk為設(shè)計的列指標,di∈{1,2,…,m},i=1,2,…,k,k≤m. 記βk(d1,d2,…,dk)=tr(Ad1Ad2,d3,…,dk),且βk(d1,d2,…,dk)≤min{f(d1),f(d2),…,f(dk)},其中f(di)表示第di個因子的自由度. 由此可知,k階因子之間的混雜值不大于相應(yīng)k個因子的最小自由度.

設(shè)D表示強度為R-1的正交設(shè)計OA(n,p1,p2,…,pm,t),它既可以是多水平的,也可以是混合水平的.正交設(shè)計D的廣義分辨度為

式中,R為采用定義子群方法得到的分辨度.

由矩陣象的性質(zhì)可知,廣義分辨度R*滿足如下條件:

1)R*具有置換不變性, 即對于給定的正交設(shè)計, 當(dāng)相應(yīng)水平置換后,R*值不變.

2) 由于矩陣象的計算不依賴于水平數(shù)的選取, 故R*不僅適用于等水平情形,也適用于混合水平情形.

3)R*滿足R≤R*

下面給出一個廣義分辨度的應(yīng)用實例[14].在公路建設(shè)中,為了考察土壤固化劑NN對某種土地的固化穩(wěn)定作用,按照不同配比向土壤中摻和水泥、石灰、固化劑NN. 相應(yīng)的水平取值見表1.

表1 試驗因子的水平取值 %

試驗?zāi)康氖菍ふ易顑?yōu)水平組合以提高土壤的7 d浸水抗壓強度.試驗者采用了混合水平正交設(shè)計OA(18,2137,2)={a1,a2,…,a8}[2,6,9,14].3位工程師分別進行了如下試驗: 工程師A挑選正交設(shè)計D1={a2,a3,a6},工程師B挑選正交設(shè)計D2={a3,a4,a5},工程師C挑選正交設(shè)計D3={a2,a4,a5}.

混合水平正交設(shè)計OA(18,2137,2)的分辨度為3,故所有主效應(yīng)之間是不混雜的,但主效應(yīng)和二階交互效應(yīng)之間則部分混雜.3位工程師所選正交設(shè)計的廣義分辨度分別為

R*(D1)=4-1/2=3.5

R*(D2)=4-0.5/2=3.75

R*(D3)=4-2/2=3

從廣義分辨度的角度來看,正交設(shè)計D2優(yōu)于正交設(shè)計D1,正交設(shè)計D1優(yōu)于正交設(shè)計D3.在數(shù)據(jù)分析過程中,正交設(shè)計D2中各效應(yīng)之間的混雜程度最小,這一結(jié)論與文獻[8]一致.

表2給出了正交設(shè)計D1的投影頻數(shù)分布.為簡化記號,令設(shè)計因子ai(i=1,2,3)的3個水平分別記為ai(0),ai(1),ai(2). 于是,從因子a1,a2在a3的各個水平取值上的投影頻數(shù)分布可以發(fā)現(xiàn),正交設(shè)計D2最均勻, 即為最優(yōu)設(shè)計. 在a3的每個水平上,a1,a2的水平組合各不相同.而對于正交設(shè)計D1和D3,均勻性都較差.

對于正交設(shè)計D1,在a3的1水平下,a1,a2的水平組合各不相同,而在0水平和2水平下,a1,a2的水平組合出現(xiàn)重復(fù). 例如, 當(dāng)a3取0水平時,a1,a2出現(xiàn)了3次(1,2), 在a3取2水平時,a1,a2出現(xiàn)了2次(2,0).

對于正交設(shè)計D3,a1,a2的水平組合在a3的所有水平下都出現(xiàn)了重復(fù),故正交設(shè)計D3的均勻性最差. 這也從另一角度說明了廣義分辨度的合理性及其幾何意義.

3 結(jié)語

本文借助矩陣象理論, 建立了一類新的廣義分辨度指標, 該指標不要求水平數(shù)一定是素數(shù)冪的,并且具有水平置換不變性. 實例分析結(jié)果表明, 該廣義分辨度指標對混合水平正交設(shè)計有較好的區(qū)分能力, 并且計算方便.

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Resolution of nonregular design and its applications

Chen Xueping1,2Chen Xuanqing2Sheng Yongjian2Lin Jinguan1

(1Department of Mathematics, Southeast University, Nanjing 211189, China)(2School of Mathematics and Physics, Jiangsu University of Technology, Changzhou 213001, China)

To realize optimal selection for nonregular orthogonal designs, a generalized index of resolution based on matrix images is proposed. First, the measure of confounding between high-order interactions is defined. The confounding values do not depend on the numbers of levels. Hence, this measure can be applied to both the orthogonal designs with fixed-levels and those with mixed-levels. Then, by substituting the confounding values in generalized models of analysis of variance, a generalized index of resolution for nonregular orthogonal designs is obtained, which satisfies the property of coding invariant. The results of the real data analysis demonstrate that the proposed generalized resolution has good classification capacity and can be used for ranking and optimally selecting nonregular orthogonal designs. Moreover, from the distribution of the projected frequencies on different levels, it is shown that the generalized resolution can reflect the uniformity of the design points in overall space, thus the relationship between the generalized resolution criterion and uniformity is established.

orthogonal design; engineering design; resolution; confounding; matrix image

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.037

2014-10-08. 作者簡介: 陳雪平(1983—),男,博士生,講師;林金官(聯(lián)系人),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,jglin@seu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11301073,11401094)、教育部博士點專項基金資助項目(20120092110021)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20141326)、江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(2014KYZZ0068) 、東南大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文基金資助項目(YBJJ1444).

陳雪平,陳絢青,盛永健，等.非正規(guī)正交設(shè)計的分辨度及其應(yīng)用[J].東南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,45(2):413-416.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.02.037

O212.6; TP391

A

1001-0505(2015)02-0413-04