胡正東，唐雪梅，王月平

(復(fù)雜地面系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100012)

?

以特殊角度攻擊地面固定目標(biāo)的圓周導(dǎo)引律①

胡正東，唐雪梅，王月平

(復(fù)雜地面系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100012)

針對(duì)某些導(dǎo)彈以特殊角度攻擊地面固定目標(biāo)的任務(wù)要求，提出了一種僅利用視線(xiàn)角測(cè)量信息就能實(shí)現(xiàn)末速方向控制的圓周導(dǎo)引律。該導(dǎo)引律的基本思想在于控制導(dǎo)彈沿著一系列由導(dǎo)彈和目標(biāo)的實(shí)時(shí)位置及要求的命中點(diǎn)角度所確定的圓弧飛行。利用簡(jiǎn)單的幾何原理即可快速解算出各時(shí)刻所需要的速度傾角，并將其轉(zhuǎn)換成制導(dǎo)指令。仿真結(jié)果表明，與典型的最優(yōu)導(dǎo)引律相比，圓周導(dǎo)引律更適合于過(guò)頂迂回攻擊的情況，且受制導(dǎo)周期的影響較小，但受制導(dǎo)指令時(shí)延的影響較大。

末速方向控制；圓周導(dǎo)引律；幾何原理；最優(yōu)導(dǎo)引律；過(guò)頂迂回攻擊

0 引言

對(duì)某些精確制導(dǎo)武器，不僅希望獲得最小脫靶量，還希望能以特定的速度方向命中目標(biāo)，從而最大限度地發(fā)揮戰(zhàn)斗部效能，取得最佳毀傷效果，這就對(duì)導(dǎo)引任務(wù)的實(shí)現(xiàn)增加了終端落角約束。顯然，經(jīng)典的比例導(dǎo)引律難以滿(mǎn)足這一要求。

自從Kim和Grider首次在機(jī)動(dòng)彈頭再入制導(dǎo)的研究中引入落角約束問(wèn)題以來(lái)，一些學(xué)者針對(duì)不同的應(yīng)用背景，根據(jù)不同的理論方法提出了多種具有終端角度約束的導(dǎo)引律。利用線(xiàn)性二次最優(yōu)控制理論，文獻(xiàn)[1]推出了具有角速率反饋形式的最優(yōu)導(dǎo)引律，文獻(xiàn)[2]推出了具有角度反饋形式的最優(yōu)導(dǎo)引律，兩種導(dǎo)引律都能滿(mǎn)足落角約束，但前者精度更高；文獻(xiàn)[3]通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)出一種帶落角限制的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引律；文獻(xiàn)[4]利用線(xiàn)性化近似，將具有角度約束的平面交會(huì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)值控制問(wèn)題，落角約束作為懲罰函數(shù)來(lái)處理；文獻(xiàn)[5]在經(jīng)典比例導(dǎo)引律基礎(chǔ)上通過(guò)增加時(shí)變偏差項(xiàng)來(lái)處理角度約束，但前提是導(dǎo)彈速度為常值；文獻(xiàn)[6-9]則討論了變結(jié)構(gòu)控制理論在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[10]將最優(yōu)導(dǎo)引律和變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律相結(jié)合推出一種復(fù)合導(dǎo)引律，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)增益系數(shù)有效地避免了純變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律中的制導(dǎo)指令抖振問(wèn)題。

目前絕大多數(shù)具有終端角度約束的導(dǎo)引律都要求導(dǎo)引頭能提供視線(xiàn)距離、視線(xiàn)角速率等信息，這極大限制了導(dǎo)引頭的選取范圍。本文給出一種打擊地面固定目標(biāo)的圓周導(dǎo)引律，在無(wú)線(xiàn)性化假設(shè)和速度恒定要求的前提下，該導(dǎo)引律僅利用視線(xiàn)角測(cè)量信息就能實(shí)現(xiàn)末速方向控制，而且其彈道的幾何曲線(xiàn)特性使得導(dǎo)彈非常適合對(duì)敵方反斜面目標(biāo)實(shí)施過(guò)頂迂回攻擊。

1 導(dǎo)引段數(shù)學(xué)模型

導(dǎo)引段定義為導(dǎo)彈在制導(dǎo)系統(tǒng)作用下飛向目標(biāo)直至落地的全過(guò)程。為方便研究，本文僅考慮縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，故無(wú)推力作用的導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為[1]

(1)

(2)

(3)

(4)

式中υ為導(dǎo)彈速度；θ為速度傾角；x和y分別為導(dǎo)彈相對(duì)目標(biāo)的水平位置和高度；m為導(dǎo)彈質(zhì)量；g為引力加速度；D和Y分別表示阻力和升力，它們是速度υ和攻角α的函數(shù)。

2 圓周導(dǎo)引律

圓周導(dǎo)引律基本思想：假定在每一時(shí)刻，導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置均處在同一個(gè)圓上，且所需的終端速度方向位于目標(biāo)點(diǎn)的切線(xiàn)上(則每一時(shí)刻均可確定唯一的圓)，因此只要控制導(dǎo)彈沿著這一系列圓弧飛行，即可在命中目標(biāo)的同時(shí)滿(mǎn)足撞擊角度要求。

理想情況下，若導(dǎo)彈速度大小恒定且機(jī)動(dòng)能力足夠強(qiáng)，不難推斷出該圓的形狀基本保持不變，導(dǎo)彈的飛行軌跡具有良好的幾何特性。但實(shí)際上由于外力的作用和控制能力的限制，圓弧的形狀在飛行過(guò)程中必然發(fā)生變化，導(dǎo)彈此時(shí)的彈道特性如何、能否滿(mǎn)足命中點(diǎn)參數(shù)的要求將是本文研究的重點(diǎn)。

本節(jié)首先推導(dǎo)圓周導(dǎo)引律的數(shù)學(xué)公式，分迎面攻擊和過(guò)頂迂回攻擊2種情況進(jìn)行討論。

2.1 迎面攻擊

迎面攻擊是指導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中不出現(xiàn)飛過(guò)目標(biāo)的情況。根據(jù)彈道幾何特性，導(dǎo)彈的飛行階段可能為“升弧段→降弧段”或僅存在“降弧段”。

2.1.1 升弧段

迎面攻擊的升弧段示意圖如圖1所示。圖中，P、T分別表示導(dǎo)彈位置和目標(biāo)位置；θf(wàn)為給定的末速方向(-90°≤θf(wàn)<0)；O表示由P、T和θf(wàn)確定的圓心；q為視線(xiàn)角；θR為制導(dǎo)所需的速度傾角；υR和υf分別為沿θR和θf(wàn)方向的速度矢量，且均為圓弧的切線(xiàn)。顯然，對(duì)于升弧段有θR≥0。

圖1 迎面攻擊的升弧段示意圖Fig.1 Ascending section in head-on attack

由OT⊥υf，可知∠GTO=90°-|θf(wàn)|，則

∠OGT=180°-∠GTO-∠TOG

=90°+|θf(wàn)|-φ

(5)

又OP⊥υR，且∠GPQ=∠OGT，故

θR=90°-∠GPQ=φ-|θf(wàn)|

(6)

在等腰ΔPOT中存在如下關(guān)系：

(90°-|θf(wàn)|+q)×2=180°-φ

(7)

整理可得

φ=2|θf(wàn)|-2q

(8)

將上式代入式(6)，并注意到θf(wàn)<0，即有

θR=-(2q+θf(wàn))

(9)

2.1.2 降弧段

降弧段對(duì)應(yīng)于彈道中θR<0的部分，如圖2所示。

圖2 迎面攻擊的降弧段示意圖Fig.2 Descending section in head-on attack

顯然，與升弧段的推導(dǎo)類(lèi)似，有

∠GPQ=∠OGT=90°+|θf(wàn)|-φ

(10)

φ=2|θf(wàn)|-2q

(11)

由OP⊥υR，可知

|θR|=∠GPQ-90°

(12)

綜合以上各式，且注意到θf(wàn)<0，θR<0，不難得到

θR=-(2q+|θf(wàn)|)

(13)

2.2 過(guò)頂迂回攻擊

過(guò)頂迂回攻擊是指導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中繞到目標(biāo)后方再下壓攻擊目標(biāo)的情況。與迎面攻擊相比，過(guò)點(diǎn)迂回攻擊提高了打擊的突然性，且有效增加了對(duì)敵方反斜面目標(biāo)的打擊能力，如圖3所示。

根據(jù)彈道的幾何特性，導(dǎo)彈的飛行階段可能為“升弧段→降弧段→瞄準(zhǔn)段”或“降弧段→瞄準(zhǔn)段”。

圖3 過(guò)頂迂回攻擊反斜面目標(biāo)的情況Fig.3 Overhead-attack on back-slope target

2.2.1 升弧段

升弧段對(duì)應(yīng)于彈道中θR≥0的部分，如圖4所示。注意對(duì)于過(guò)頂迂回攻擊情況，有-180°<θf(wàn)<-90°。

圖4 過(guò)頂迂回攻擊的升弧段示意圖Fig.4 Ascending section in overhead-attack

由OT⊥υf，不難得到

|θf(wàn)|=(q-∠OTP)+90°

(14)

在等腰ΔPOT中，顯然有

∠OTP=∠OPT=(180°-φ)/2

(15)

將上式代入式(14)，可得

φ=2|θf(wàn)|-2q

(16)

由于OP⊥υR，故

∠OPT+∠TPQ+θR=90°

(17)

注意到∠TPQ=∠PTG=q，θf(wàn)<0，故由式(15)～式(17)可推得

θR=-(2q+θf(wàn))

(18)

2.2.2 降弧段

降弧段對(duì)應(yīng)于彈道中-90°≤θR<0的部分，如圖5所示。

圖5 過(guò)頂迂回攻擊的降弧段示意圖Fig.5 Descending section in overhead-attack

在四邊形POGT中，由OP⊥PG和OT⊥TG可知

∠PGT=180°-φ

(19)

由于PG和GT均為切線(xiàn)段，故可知PG=GT，從而在等腰ΔPGT中：

∠GPT=(180°-∠PGT)/2=φ/2

(20)

注意到∠TPQ=q，從而不難得到

|θR|=∠TPQ-∠TPG=q-φ/2

(21)

又由于∠OTP=(180°-|θf(wàn)|)+q-90°，故在等腰ΔPOT中：

φ=180°-2×∠OTP=2|θf(wàn)|-2q

(22)

將上式代入式(21)，并注意到θf(wàn)<0，θR<0，最終可得

θR=-(2q+θf(wàn))

(23)

2.2.3 瞄準(zhǔn)段

瞄準(zhǔn)段對(duì)應(yīng)于彈道中θR<-90°的部分，如圖6所示。

顯然，瞄準(zhǔn)段θR的推導(dǎo)過(guò)程與降弧段的情況完全一致，因此可直接寫(xiě)出：

θR=-(2q+θf(wàn))

(24)

2.3 制導(dǎo)指令生成

從迎面攻擊與過(guò)頂迂回攻擊兩類(lèi)情況的討論可以看出，為保證導(dǎo)彈沿給定的末速方向命中目標(biāo)，始終需要滿(mǎn)足：

θR=-(2q+θf(wàn))

(25)

可以看出，圓周導(dǎo)引律所需的制導(dǎo)信息僅包括視線(xiàn)角q。理想情況下，導(dǎo)彈在每個(gè)制導(dǎo)時(shí)刻調(diào)整自身的速度傾角θ=θR，從而保證精確命中目標(biāo)；但實(shí)際上飛行狀態(tài)并不可能瞬時(shí)改變，它需要根據(jù)誤差信號(hào)產(chǎn)生制導(dǎo)指令、并經(jīng)控制系統(tǒng)作用最終由彈上的執(zhí)行機(jī)構(gòu)調(diào)整飛行姿態(tài)來(lái)完成。

在各制導(dǎo)時(shí)刻令Δθ=θR-θ(此處θ為實(shí)際飛行參數(shù))，Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，則由式(2)近似可得

(26)

于是，由上式即可解出滿(mǎn)足速度傾角修正要求的攻角α′；在考慮過(guò)載限制和最大攻角限制后，即可獲得實(shí)時(shí)的制導(dǎo)指令αcom。

圖6 過(guò)頂迂回攻擊的瞄準(zhǔn)段示意圖Fig.6 Targeting section in overhead-attack

3 仿真分析

3.1 制導(dǎo)性能初步驗(yàn)證擊

下面首先通過(guò)仿真來(lái)驗(yàn)證圓周導(dǎo)引律的基本性能。設(shè)導(dǎo)彈初始時(shí)刻位置為x0= 15 km，y0= 15 km，初始速度為υ0= 1 km/s，最大攻角為20°，最大法向過(guò)載為15，彈道仿真步長(zhǎng)取0.01 s。考慮以下4種情況：

情況A：θ0=20°，θf(wàn)=-60°；

情況B：θ0=-20°，θf(wàn)=-60°；

情況C：θ0=20°，θf(wàn)=-120°；

情況D：θ0=-20°，θf(wàn)=-120°。

上述4種情況下圓周導(dǎo)引律的制導(dǎo)效果如表1所示，相應(yīng)的彈道曲線(xiàn)見(jiàn)圖7。

表1 不同情況下的制導(dǎo)效果Table 1 Guidance results in four cases

圖7 導(dǎo)引彈道曲線(xiàn)Fig.7 Guidance trajectory curves

從仿真結(jié)果可看出，圓周導(dǎo)引律能夠在保證較高命中精度的同時(shí)，滿(mǎn)足給定的終端速度方向約束，且彈道曲線(xiàn)較為光滑，未超出過(guò)載限制和機(jī)構(gòu)限制。此外，通過(guò)對(duì)比前2種情況與后2種情況的制導(dǎo)效果可知，在初始條件相同時(shí)，過(guò)頂迂回攻擊比迎面攻擊的彈道彎曲得多，飛行路徑的增加必然導(dǎo)致飛行時(shí)間的大幅增加和落點(diǎn)速度的顯著降低，但制導(dǎo)精度并無(wú)太大變化。

3.2 與最優(yōu)導(dǎo)引律的比較

文獻(xiàn)[1]給出的帶落角約束的最優(yōu)導(dǎo)引律形式為(僅考慮縱向平面)

(27)

下面分別從可能影響制導(dǎo)效果的幾個(gè)方面來(lái)比較圓周導(dǎo)引律(用G1表示)與上述最優(yōu)導(dǎo)引律(用G2表示)的性能。

3.2.1 末速方向的影響

取θ0=-20°，觀察不同末速方向約束對(duì)兩類(lèi)導(dǎo)引律制導(dǎo)效果的影響，見(jiàn)表2。

表2 不同末速方向下的制導(dǎo)效果Table 2 Guidance effect in different directions

由表2可知，兩類(lèi)導(dǎo)引律在終端速度傾角靠近-90°時(shí)均具有良好的制導(dǎo)性能，向其兩側(cè)變化則制導(dǎo)效果有所下降；但是對(duì)于大角度過(guò)頂迂回攻擊的情況，圓周導(dǎo)引律仍能保持較高的制導(dǎo)精度，而最優(yōu)導(dǎo)引律的制導(dǎo)性能則急劇惡化——圖8給出了惡化的原因，這是由于最優(yōu)導(dǎo)引律的攻角在大角度過(guò)頂迂回攻擊(θf(wàn)=-140°和θf(wàn)=-160°)時(shí)易出現(xiàn)飽和的緣故。

圖8 最優(yōu)導(dǎo)引律的攻角變化曲線(xiàn)Fig.8 Attack angle curve under optimal guidance law

3.2.2 制導(dǎo)周期的影響

根據(jù)前面的討論可知，最優(yōu)導(dǎo)引律在過(guò)頂迂回攻擊時(shí)的制導(dǎo)性能往往表現(xiàn)得不盡如人意，因此在以下的比較中均取θ0=-20°，θf(wàn)=-60°。制導(dǎo)周期影響指令更新頻率，表3給出了不同制導(dǎo)周期下的制導(dǎo)效果。

表3 不同制導(dǎo)周期下的制導(dǎo)效果Table 3 Guidance effect in different cycles

由表3可知，隨著制導(dǎo)周期的增加，2類(lèi)導(dǎo)引律的制導(dǎo)效果均出現(xiàn)下降趨勢(shì)，但最優(yōu)導(dǎo)引律相對(duì)更差。

3.2.3 制導(dǎo)指令時(shí)延的影響

表4 不同指令時(shí)延下的制導(dǎo)效果Table 4 Guidance effect in different delays

可以看出，在自然頻率為5～20 Hz的范圍內(nèi)，最優(yōu)導(dǎo)引律的制導(dǎo)效果幾乎不發(fā)生變化，而圓周導(dǎo)引律的變化則顯著得多，這表明制導(dǎo)指令時(shí)延對(duì)圓周導(dǎo)引律的影響要大一些。此外，隨著自然頻率的減小(即制導(dǎo)指令的響應(yīng)速率變慢、時(shí)延增加)，圓周導(dǎo)引律的制導(dǎo)效果總體上趨于變差——需要說(shuō)明的是，對(duì)于自然頻率為5 Hz的情況，由于存在控制量的抖振，如圖9所示，抖振會(huì)極大地降低控制系統(tǒng)的性能，甚至破壞控制器件，因此這并不能說(shuō)明自然頻率越小越好。綜上所述，圓周導(dǎo)引律對(duì)控制系統(tǒng)的靈敏性提出了更高的要求。

圖9 圓周導(dǎo)引律的攻角抖振曲線(xiàn)Fig.9 Buffeting curve of angle of attack

3.2.4 氣動(dòng)系數(shù)誤差的影響

氣動(dòng)系數(shù)誤差主要由制造工藝誤差及地面風(fēng)洞試驗(yàn)偏差造成，它會(huì)引起制導(dǎo)指令的計(jì)算誤差并給制導(dǎo)精度帶來(lái)一定的影響。取不同的氣動(dòng)系數(shù)誤差百分比，觀察制導(dǎo)效果變化情況，如表5所示。

由表5可知，在氣動(dòng)系數(shù)存在一定誤差的情況下，兩類(lèi)導(dǎo)引律仍能保持較高的制導(dǎo)精度，這主要是因?yàn)樗鼈兙捎昧碎]環(huán)制導(dǎo)方式，制導(dǎo)指令的實(shí)時(shí)修正削弱了氣動(dòng)系數(shù)誤差的影響。

表5 不同氣動(dòng)系數(shù)誤差下的制導(dǎo)效果Table 5 Guidance effect in different aerodynamic errors

3.2.5 水平風(fēng)的影響

不同水平風(fēng)速對(duì)制導(dǎo)效果的影響見(jiàn)表6。

表6 不同平均風(fēng)速下的制導(dǎo)效果Table 6 Guidance effect in different wind speed

可以看出，水平風(fēng)對(duì)2類(lèi)導(dǎo)引律制導(dǎo)效果的影響基本相當(dāng)；隨著風(fēng)速的增加，制導(dǎo)精度均出現(xiàn)下降趨勢(shì)——由于仿真中導(dǎo)彈速度較大且采用閉環(huán)制導(dǎo)修正，故此處制導(dǎo)精度變化并不是非常顯著。

4 結(jié)論

(1)圓周導(dǎo)引律能夠在保證較高命中精度的同時(shí)，滿(mǎn)足給定的終端速度方向約束。

(2)與典型的最優(yōu)導(dǎo)引律相比，圓周導(dǎo)引律更適合于過(guò)頂迂回攻擊的情況，且受制導(dǎo)周期的影響較小，但受制導(dǎo)指令時(shí)延的影響較大，至于氣動(dòng)系數(shù)誤差和水平風(fēng)的影響，兩者基本相當(dāng)。

(3)從所需測(cè)量信息的角度看，圓周導(dǎo)引律僅需視線(xiàn)角信號(hào)，而上述最優(yōu)導(dǎo)引律則需要視線(xiàn)角及其變化率、視線(xiàn)距離及其變化率，顯然，前者極大地?cái)U(kuò)展了導(dǎo)引頭的選取范圍。

[1] 趙漢元.飛行器再入動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)[M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,1997.

[2] 陳海東,余夢(mèng)倫,董利強(qiáng).具有終端角度約束的機(jī)動(dòng)再入飛行器的最優(yōu)制導(dǎo)律[J].航天控制,2002(1):6-11.

[3] 顧文錦,雷軍委,潘長(zhǎng)鵬.帶落角限制的虛擬目標(biāo)比例導(dǎo)引律設(shè)計(jì)[J].飛行力學(xué),2006,24(2):43-46.

[4] Song T L,Shin S J,Cho H.Impact angle control for planar engagements[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1999,35(4):1439-1444.

[5] Kim B S,Lee J G,Han H S.Biased PNG law for impact with angular constraint[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1998,34(1):277-288.

[6] 胡正東,張皓之,蔡洪.帶落角約束的再入機(jī)動(dòng)彈頭的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009,31(2):393-398.

[7] 宋建梅,張?zhí)鞓?帶末端落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J].彈道學(xué)報(bào),2001,13(1):16-20.

[8] 周荻.尋的導(dǎo)彈新型導(dǎo)引規(guī)律[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2002.

[9] 劉永善,賈慶忠,劉藻珍.電視制導(dǎo)侵徹炸彈落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J].彈道學(xué)報(bào),2006,18(2):9-14.

[10] 胡正東,郭才發(fā),蔡洪.帶落角約束的再入機(jī)動(dòng)彈頭的復(fù)合導(dǎo)引律[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008,30(2):21-26.

(編輯：呂耀輝)

Circular guidance law against stationary target with specified impact angle

HU Zheng-dong，TANG Xue-mei，WANG Yue-ping

(Science and Technology on Complex Land Systems Simulation Laboratory，Beijing 100012，China)

Aiming at the problem that impact on the ground stationary target with specified angle is required for some guided missiles,a circular guidance law which only uses the line-of-sight angle information for terminal velocity direction control was derived.The idea of this approach is to guide the missile following a series of circular arcs determined by the specified impact angle and the real-time position of the missile and the target.Based on the simple geometrical principle,the required velocity inclination angle can be quickly worked out,which is then used for guidance command generation.Simulation results show that compared with the typical optimal guidance law,the circular guidance law presented is more favorable to the case of overhead-attack and is less affected by guidance periods,but is more affected by guidance order delay.

terminal velocity direction control；circular guidance law；geometrical principle；optimal guidance law；overhead-attack

2013-01-21；

：2013-03-07。

863項(xiàng)目(2012AA0802)。

胡正東(1982—)，男，博士，研究方向武器裝備論證仿真。E-mail：waixitu@126.com

V448

A

1006-2793(2015)01-0001-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.01.001