☉廣東省廣州市真光中學(xué) 金明 葉東芳

數(shù)學(xué)教學(xué)要重視知識(shí)的形成過(guò)程
——以“極坐標(biāo)”教學(xué)為例

☉廣東省廣州市真光中學(xué) 金明 葉東芳

一、問(wèn)題提出

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受高考的影響，部分教師的教學(xué)還存在“急功近利”的思想，即高考考什么，我就教什么；不考的，就不教.在教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng)用，不重視它的形成與發(fā)展過(guò)程.學(xué)生學(xué)到的只是定理、公式等的應(yīng)用，認(rèn)為數(shù)學(xué)只是做題解題，體會(huì)不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.如廣東高考每年必考一道極坐標(biāo)與參數(shù)方程的選做題，而此題主要考查極坐標(biāo)的概念，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，為此一些老師上課時(shí)直入主題，只講什么是極坐標(biāo)系，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，然后通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)鞏固這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).至于為什么要構(gòu)建極坐標(biāo)系，怎樣構(gòu)建極坐標(biāo)系，為什么要進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化等都不提，只重視套公式做題，不重視知識(shí)的形成過(guò)程、知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.長(zhǎng)此下去，學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏后勁，不知數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源與發(fā)展；學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不能持續(xù)，學(xué)習(xí)缺乏動(dòng)力.為此，筆者以“極坐標(biāo)”教學(xué)為例，設(shè)計(jì)了一堂重視知識(shí)形成過(guò)程的課例.

二、教學(xué)實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，導(dǎo)出建立極坐標(biāo)系的必要性

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常出現(xiàn)要指明一個(gè)點(diǎn)的位置，如圖1（ppt展示），有人在教學(xué)樓A處問(wèn)你怎樣找到圖書(shū)館C，請(qǐng)你給他指引路線.如何設(shè)計(jì)？

師：為什么要這樣設(shè)計(jì)？依據(jù)是什么？

圖1

生1：如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（60，

圖2

生2：以A為起點(diǎn)，向東偏北60°的方向一直走120 m.

師：你的設(shè)計(jì)依據(jù)是什么呢？

生2：C在A的東偏北60°且距離A120 m處.

師：由生2的回答知：刻畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的位置，除了直角坐標(biāo)系，還有新的方法，這個(gè)方法需要什么呢？

生3：需要方向和長(zhǎng)度.

教學(xué)感悟：教學(xué)一開(kāi)始，由一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)出，指明刻畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的位置除了已學(xué)過(guò)的直角坐標(biāo)，還有新的方法.新方法到底是什么呢？它的理論依據(jù)又如何？為極坐標(biāo)系的建立作了鋪墊.同時(shí)，激起了學(xué)生探索新知識(shí)的興趣.

2.建構(gòu)知識(shí)：如何建立極坐標(biāo)系

師：能具體化嗎？需要什么方向？怎樣的長(zhǎng)度？

生3：方向是東偏北60°，長(zhǎng)度是距離A120 m.

師：一定要東偏北的方向嗎？一定要到A的距離嗎？

生4：方向也可以是東偏北30°，距離A120 m；一定要到A的距離.

師：物理學(xué)中我們學(xué)過(guò)參照系，刻畫(huà)C點(diǎn)的位置是否也要參照什么東西？

生5：以A點(diǎn)為參照點(diǎn)就行.

師：真的嗎？以A點(diǎn)為參照點(diǎn)怎樣刻畫(huà)C點(diǎn)的位置？

生5：距離A點(diǎn)120 m，哦，不對(duì)，還要有方向.

生6：以A點(diǎn)和直線AB作參照，能刻畫(huà)C點(diǎn)的位置：AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°且距離A120 m就行.

圖4

圖3

師：生6說(shuō)的很好，刻畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的位置，由一個(gè)點(diǎn)和一條直線作參照就可行，為此我們引進(jìn)一個(gè)新的坐標(biāo)系——極坐標(biāo)系.如圖3，在平面內(nèi)取一定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度（通常是弧度制）及它的方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，用θ表示Ox到OM的角度，θ叫做點(diǎn)M的極角，則有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就叫做M的極坐標(biāo).根據(jù)剛才的定義，圖1中如何建立極坐標(biāo)系？各點(diǎn)的極坐標(biāo)是什么呢？

師：對(duì)嗎？生眾：對(duì).師：特別說(shuō)明，A點(diǎn)為極點(diǎn)，其極徑ρ=0，極角θ可以取任意角.

教學(xué)感悟：極坐標(biāo)系是如何建立的？教師通過(guò)不斷追問(wèn)如何通過(guò)新方法刻畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的位置，為極坐標(biāo)系的建立奠定了基礎(chǔ).引導(dǎo)學(xué)生類比物理學(xué)中的參照系，使學(xué)生體會(huì)到建立極坐標(biāo)系要有極點(diǎn)與極軸.再講解極坐標(biāo)系中的有關(guān)概念：極點(diǎn)、極軸、極徑、極角.這樣學(xué)生就體會(huì)到知識(shí)的形成是自然的，不是教師強(qiáng)加的；學(xué)生就易于理解極坐標(biāo)的有關(guān)概念了，對(duì)新知識(shí)的構(gòu)建也找到理論依據(jù)了，激起了學(xué)生探索新知識(shí)的樂(lè)趣.

3.極坐標(biāo)系的應(yīng)用

圖5

生眾：這幾個(gè)點(diǎn)分別是：E、G、F、F.

問(wèn)題2：寫(xiě)出圖5中各點(diǎn)的極坐標(biāo)：A（），B（），C（），D（），E（）.

生9：有沒(méi)有別的表示方法？

（引起了大家的思考）

生8：沒(méi)有吧，極坐標(biāo)系已建立，是按逆時(shí)針?lè)较?生9：好像還有，你看問(wèn)題1中的兩個(gè)F點(diǎn).

師：生9能聯(lián)系上下題發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，很好.我們一起來(lái)討論下面的幾個(gè)問(wèn)題：

①平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？

②若不唯一，它的極坐標(biāo)有多少種表示方法？

③坐標(biāo)不唯一是由誰(shuí)引起的？不同的極坐標(biāo)是否可以寫(xiě)出統(tǒng)一表達(dá)式？

④提出怎樣的假設(shè)，能使一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)表示唯一呢？

（學(xué)生分小組討論，小組長(zhǎng)總結(jié)）

小組1：平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一.因?yàn)樾D(zhuǎn)方向不一致，旋轉(zhuǎn)角的大小不一樣.

小組2：同意小組1的結(jié)論，旋轉(zhuǎn)角可相差2kπ，一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示方法.

小組3：坐標(biāo)不唯一是由旋轉(zhuǎn)方向不一致和旋轉(zhuǎn)角的大小不一樣引起的.不同的極坐標(biāo)可以寫(xiě)出統(tǒng)一表達(dá)式（ρ，θ+2kπ），k∈Z.

小組4：只要旋轉(zhuǎn)方向規(guī)定為逆時(shí)針?lè)较?，旋轉(zhuǎn)角規(guī)定為（0，2π），則能使一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)表示唯一.

師：很好，同學(xué)們的討論很成功，以上4個(gè)小組的總結(jié)結(jié)論都是正確的.今后沒(méi)特別說(shuō)明，就按旋轉(zhuǎn)方向規(guī)定為逆時(shí)針?lè)较?，旋轉(zhuǎn)角規(guī)定為（0，2π）.

圖6

師：生10做得很好，她能建立極坐標(biāo)系，找出A、B的位置，再分析解答，建系找位置是我們剛學(xué)極坐標(biāo)系的難點(diǎn).

教學(xué)感悟：教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引起學(xué)生思考，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì)了探索與質(zhì)疑.問(wèn)題1和問(wèn)題2的解答為生9的質(zhì)疑作了鋪墊.教師根據(jù)生9的質(zhì)疑設(shè)計(jì)了4個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生分組討論，教師到各小組指導(dǎo)，最后小組代表作總結(jié)發(fā)言.學(xué)生做到了自主探索，合作交流，課堂教學(xué)充分地發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性.教師所設(shè)計(jì)的討論題是學(xué)生易誤解的，又是能通過(guò)討論解決的.通過(guò)討論激起了學(xué)生的思維碰撞，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力.學(xué)生在探索中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的必要性

師：我們?cè)賮?lái)思考一下問(wèn)題4.

生11：我先建系，找出點(diǎn)M、N，如圖7，下面就不知道怎么做了.

圖7

師：有人能幫幫生11嗎？

（生眾沉默）

師：在極坐標(biāo)系下求圓的方程沒(méi)有學(xué)過(guò)，故同學(xué)們不會(huì)求情有可原.如果知道M、N兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)，能求圓的方程嗎？

生眾：簡(jiǎn)單，只求圓心與半徑就行.

師：我們能否將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)呢？怎樣轉(zhuǎn)化呢？

教學(xué)感悟：?jiǎn)栴}4的設(shè)計(jì)引出了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的必要性，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)到：知識(shí)不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，而是客觀實(shí)際的需求，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為探討新知識(shí)做了鋪墊.

5.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)怎樣互化

生12：互化要有前提條件吧！

師：很好，互化確實(shí)需要前提條件：第一是坐標(biāo)系的建立要一致，第二是要取相同的單位長(zhǎng)度.如圖8，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立直角坐標(biāo)系.則M點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ρ，θ），M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（x，y）.能建立它們的聯(lián)系嗎？

圖8

師：對(duì)嗎？其理論依據(jù)是什么？生14：對(duì)，理論依據(jù)是直角三角形中的三角函數(shù).師：如圖9，若點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，還適用嗎？

圖9

生15：還適用，理論依據(jù)是三角函數(shù)的定義對(duì)任何象限都適用.

師：生15的回答很好，理論依據(jù)是三角函數(shù)的定義.

教學(xué)感悟：為什么能將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)？教師先設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生解答起來(lái)有點(diǎn)困難的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，說(shuō)明將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的必要性.怎樣轉(zhuǎn)化呢？轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)是什么？教師通過(guò)不斷追問(wèn)找到其中的原因，構(gòu)建了新、舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生尋根問(wèn)底的習(xí)慣，使之逐漸形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

師：請(qǐng)同學(xué)們思考問(wèn)題5.

師：對(duì)嗎？

師：由此可見(jiàn)，不能盲目地套用公式，要想準(zhǔn)確，先要畫(huà)圖確定位置.同學(xué)們思考一下剛才的問(wèn)題4，能解答嗎？

師：生19將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，求出了圓的方程.但是以這個(gè)方程作為問(wèn)題4的答案還是有點(diǎn)問(wèn)題，因?yàn)轭}目中給出的是極坐標(biāo)系，故所求方程還要化為極坐標(biāo)系下的方程.

教學(xué)感悟：通過(guò)一組解題訓(xùn)練，鞏固了知識(shí)：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)如何互化，體驗(yàn)了知識(shí)的應(yīng)用，構(gòu)建了知識(shí)體系.

三、教學(xué)反思

1.偏重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論而忽視數(shù)學(xué)過(guò)程，是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中長(zhǎng)期存在的問(wèn)題

從學(xué)生方面來(lái)講，同學(xué)間的相互交流僅是對(duì)答案，交流各自的解法，很少見(jiàn)到同學(xué)間有對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深層次討論和對(duì)解題方法的創(chuàng)造性研究.至于思維變式、問(wèn)題變式更難有涉及.從教師方面來(lái)講，也存在自覺(jué)不自覺(jué)地忽視數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程，忽視結(jié)論的形成過(guò)程，忽視解題方法的探索過(guò)程，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)一般也只看“結(jié)論”評(píng)分，很少顧及“數(shù)學(xué)過(guò)程”.應(yīng)試教育的弊端之一在于縮短了新授課中知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué)，使學(xué)生很難實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的有意義學(xué)習(xí)，只是對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念如定義、公式法則的機(jī)械記憶.而機(jī)械記憶的知識(shí)是很難產(chǎn)生廣泛的遷移的，缺乏遷移的知識(shí)是無(wú)法轉(zhuǎn)變成能力的.知識(shí)形成過(guò)程的新授課教學(xué)，應(yīng)是培養(yǎng)一般思維和數(shù)學(xué)特殊思維方法的重要時(shí)機(jī).因?yàn)樵谛轮R(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，必須運(yùn)用各種思維方法在新舊知識(shí)間進(jìn)行相互作用，才能建立起新、舊知識(shí)間非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，如果壓縮知識(shí)形成過(guò)程，其被壓縮的往往是學(xué)生既可學(xué)習(xí)思維方法，又可領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法的過(guò)程.學(xué)生將錯(cuò)過(guò)或失去思維發(fā)展和能力提高的機(jī)遇.

2.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視知識(shí)的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，其知識(shí)的系統(tǒng)性使知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系十分緊密.任何新知識(shí)或者因?yàn)槟撤N需要而產(chǎn)生，或者因?yàn)槟撤N需要，要將原有知識(shí)進(jìn)行延伸和發(fā)展.所以任何新知識(shí)都有它的發(fā)生、形成和發(fā)展過(guò)程.教學(xué)中，如果壓縮掉這種過(guò)程，就知識(shí)教知識(shí)，那么學(xué)生只能得到零散的、孤立的知識(shí)；只知其然，而不知其所以然；只能是知識(shí)的簡(jiǎn)單積累，而不能使學(xué)生原有的知識(shí)得到擴(kuò)充和改造.課堂上讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的作用，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的概念、定理中所蘊(yùn)含的獨(dú)特的理性精神與思想方法；激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好和興趣，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無(wú)限樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.這些知識(shí)如果只是靠老師的講解恐怕是不可能實(shí)現(xiàn)的，需要的就是注重過(guò)程的有效教學(xué)和學(xué)生的有效參與.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生知識(shí)的獲得是自然的，是注重過(guò)程的.如為什么要建立極坐標(biāo)系？是因?yàn)閷?shí)際需要（要刻畫(huà)一個(gè)點(diǎn)的位置）；怎樣建立極坐標(biāo)系呢？是類比物理學(xué)中的參照系和直角坐標(biāo)系建立的；為什么要進(jìn)行直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化等都是自然形成的.

3.揭示知識(shí)的形成，讓知識(shí)返璞歸真

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典例的分析和學(xué)生的自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的逐步形成過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).教材的學(xué)術(shù)形態(tài)給教師留下了廣闊的空間.教師通過(guò)對(duì)教材的精心創(chuàng)作，在課堂上還原“腳手架”，讓學(xué)生看清樓房是怎樣建構(gòu)起來(lái)的，讓知識(shí)的形成返璞歸真，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程.本節(jié)課在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生產(chǎn)生了建立極坐標(biāo)系的必要性，領(lǐng)悟了如何建立極坐標(biāo)系，體會(huì)到在極坐標(biāo)系下如何確定點(diǎn)的極坐標(biāo).在老師設(shè)計(jì)的問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生產(chǎn)生了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的化必要性；通過(guò)教師的追問(wèn)，學(xué)生探索出極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的方法.

1.錢衛(wèi)江.問(wèn)題引領(lǐng)：追求自然生成的概念教學(xué)——以函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）.

2.張松年.把學(xué)習(xí)過(guò)程中的思維空間讓給學(xué)生［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2009（10）.

3.白云峰.慢下來(lái)，課堂或許更精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（5）.

4.宮前長(zhǎng).新課程古典概型教學(xué)：困惑、解惑與感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（5）.A