☉內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 謝志強 羅仕明

試析一道推廣的高考試題所蘊含的數(shù)學思想

☉內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 謝志強 羅仕明

一、提出問題

題目（2012年江西高考數(shù)學文科第5題）觀察下列事實：|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為12，…，則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為（）.

A.76B.80C.86D.92

此題是關于數(shù)列的應用題.觀察可得不同整數(shù)解的個數(shù)可以構成一個首項為4，公差為4的等差數(shù)列，則所求為第20項，得到結果為80.即|x|+|y|=k的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為f（k）=4k.對于此問題，求解較為簡單，為了讓學生對認知的深化，開拓思維的視野，并能培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，本文對此問題進行變形推廣，得到一個關于絕對值不等式的整數(shù)解問題，通過分析發(fā)現(xiàn)此類問題蘊含著豐富的數(shù)學思想.下面提出問題：求解滿足不等式|x|+|y|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)？

二、解決問題

1.利用歸納的數(shù)學思想解決問題

（1）枚舉歸納.

數(shù)學歸納推理的目的在于尋找隱藏在特殊事例之中的量性模式，其中量性模式是指按照某種理想化的要求或實際可應用的標準，來反映或概括表現(xiàn)一類或一種事物關系結構的數(shù)學形式.［1］為了解決此類不等式，不妨以簡單的枚舉歸納法求解，依據(jù)某種屬性在部分同類對象中的不斷重復而沒有遇到反例，從而推出該類的所有對象都具有這種性質的歸納推理.

為了方便枚舉滿足不等式|x|+|y|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x，y），令f（k）表示整數(shù)解的個數(shù).枚舉如下：

當k=1時，整數(shù)解有（0，0），即f（1）=1.

當k=2時，整數(shù)解有（0，0）、（0，±1）、（±1，0），即f（2）=5.

當k=3時，整數(shù)解有（0，0）、（0，±1）、（±1，0）、（0，±2）、（±2，0）、（±1，±1），即f（3）=13.

當k=4時，整數(shù)解有（0，0）、（0，±1）、（±1，0）、（0，±2）、（±2，0）、（±1，±1）、（0，±3）、（±3，0）、（±1，±2）、（±2，±1），即f（4）=25等.

于是，可以歸納出滿足不等式|x|+|y|＜k的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為：f（k）=1+4×1+4×2+…+4（k－1）=1+2k（k－1）.

（2）要素歸納.

要素歸納模式是指通過探討所考慮對象的構成要素及其構成方式而發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思維方式，其核心是探尋具有一致性的量性結構.如果在平面直角坐標系上看待此類問題的解，由上面的枚舉歸納可得出組成不等式的整數(shù)解可以分成三類：原點、坐標軸上的點、象限內(nèi)的點.

此處以|x|+|y|＜4的整數(shù)解（x，y）為例進行分析，滿足此不等式的解可看作平面直角坐標系上的點，得到以下結論：原點個數(shù)有1個，即（0，0）；坐標軸上的點有12個，即（0，±1）、（±1，0）、（0，±2）、（±2，0）、（0，±3）、（±3，0）；象限內(nèi)的點有12個，即（±1，±1）、（±1，±2）、（±2，±1）.同理，可得到當k取不同值時，滿足不等式的解的不同討論情況，具體如表1.

表1 滿足不等式的整數(shù)解的討論情況表

（3）函數(shù)歸納.

函數(shù)歸納模式是指：將所考查的特殊事例的數(shù)量順次排列組成一個數(shù)列，把這些數(shù)量看作是某個關于正整數(shù)n的函數(shù)f（n）的函數(shù)值，然后通過分離常量與自變量n或聯(lián)想所熟知的函數(shù)而找到函數(shù)關系式的思維方式.于是，對表1中最后一列數(shù)據(jù)利用函數(shù)歸納模式，得到：f（1）=1=（1－1）2+12，f（2）=5=（2－1）2+22，f（3）=13=（3－1）2+32，f（4）=25=（4－1）2+42，f（5）=41=（5－1）2+52，f（6）=61=（6－1）2+ 62，…，由上面6個式子可以歸納為：f（k）=（k－1）2+k2.

（4）遞推歸納.

遞推歸納模式是指：在數(shù)列中，通過探討由已知項“生出”未知項的結構方式，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種思維方式，其核心是歸納出相鄰兩項間的遞推關系.［1］在具體運用中，最為有效的策略是考查相鄰兩項的差的特點，因為“差”在減小數(shù)值的同時往往也降低了所考查對象的“維度”.

對于此題，該整數(shù)解的個數(shù)構成的數(shù)列為1、5、13、25、41、61、85、…，則此題轉換為求該數(shù)列的通項.直接求此數(shù)列的通項較為復雜，但是考查相鄰兩項的差構成的數(shù)列為4、8、12、16、…，在重復地用后一項減去它前一項.將此數(shù)列寫出楊輝三角形式，便可得到以下三角形式.

在上述三角形式中可以看出第二行的數(shù)成等差數(shù)列，第三行是成常數(shù)列.由此可以推測出此問題的解的個數(shù)構成的數(shù)列為二階等差數(shù)列.若記此數(shù)列為｛（fk）｝（其中（f1）=1），易得到（fk）滿足遞推關系（fk）=（fk－1）+ 4（k－1），其中k≥2.采用疊加的方法便可得到（fk）=2k（k－1）+1.

2.利用化歸的數(shù)學思想解決問題

所謂“化歸”，是指把待解決的問題，通過轉化過程，歸結到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法.

首先，“以退為進”尋找解決方法.不妨這樣思考，對于“滿足不等式|x|＜k（k∈N+）的整數(shù)解”可以退化為“滿足x＜k（k∈N+）的非負整數(shù)解”.令（fk）表示解的個數(shù)，由于x＜k的非負整數(shù)解的個數(shù)為（fk）=C1k－1+1，則滿足不等式|x|＜k的整數(shù)解的個數(shù)為（fk）=2C1k－1+1.

然后，回歸到本題，本題是一個含有兩個未知數(shù)的絕對值不等式|x|+|y|＜k（k∈N+）.可以先不忙考慮絕對值，將問題退化為x+y＜k（k∈N+），然后再將問題轉化為x＜k－y.由于此不等式的非負整數(shù)解同上，于是可以得到|x|＜k－y的整數(shù)解的個數(shù)（fk）=2C2k+1.故|x|+|y|＜k的整數(shù)解的個數(shù)為（fk）=4C2k+1，與以上四種歸納模式所得的結果具有一致性.

3.利用演繹的數(shù)學思想解決問題

上述的所有結論都是通過合情推理而得到，其結果的正確性還沒有被驗證.故以下運用演繹的方法來證明.下面運用數(shù)學歸納法來進行證明所得到的結論：（fn）=1，證明過程如下：

首先，當n=1時，（f1）=1.當n=2時，易驗證結論成立.

故滿足不等式|x|+|y|＜k（k＞0）的整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為（fk）=

三、推廣問題

推廣1：求滿足不等式|x1|+|x2|+|x3|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x1，x2，x3）的個數(shù).

分析：運用類比的思維方式，由于在上述問題中含有兩個未知量是在平面直角坐標系中進行要素歸納，故三個未知量則要在空間直角坐標系中進行要素歸納，構成整數(shù)解（x1，x2，x3）的要素有：原點，坐標軸上的點，xOy、yOz、xOz平面上的點，象限內(nèi)的點.易歸納得到滿足不等式|x1|+|x2|+|x3|＜k（k∈N+）的整數(shù)解（x1，x2，x3）的個數(shù)為x2，…，xn）的個數(shù).

分析：利用遞推歸納法，|x1|＜k（k∈N+）的整數(shù)解的個

以此類推，只需找出其系數(shù)的遞推關系，得到以下“類楊輝三角形式”.令n為絕對值不等式中未知量的個數(shù)，得到：

記上述三角形中第n+1行中第r+1個數(shù)為Srn，受楊輝三角啟發(fā)，從三角形中易看有每一個數(shù)等于它左肩上與右肩上的數(shù)字之此啟發(fā)，可以得到類似的關r≤n-1），即滿足不等

對于推廣2和推廣3的具體證明這里略去，具體證明可以參閱文2.

四、結束語

對于上述幾個推廣的解答依次運用了歸納推理、類比推理和演繹推理比較完整地經(jīng)歷了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的全過程.先由歸納推測出結論，然后由類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后由演繹證明結論和規(guī)律.按照著名數(shù)學家陳省生提出的“好”數(shù)學的標準：“只有數(shù)學思想方法深刻，能進一步引身、推廣、發(fā)展的數(shù)學才是好的數(shù)學.”［3］上述幾個推廣尤其是推廣2就屬于“好”數(shù)學.此外，數(shù)學思想方法具有隱喻性的特點，它隱于知識內(nèi)部，特別是隱含在好的數(shù)學問題之中.應多層面、多角度地對數(shù)學問題進行深入挖掘，才能使所隱含的數(shù)學思想和方法顯性化.才能夠充分發(fā)揮數(shù)學問題在幫助學生學會數(shù)學地思考問題.

1.王新民.試析一道課本習題中所蘊含的數(shù)學思想［J］.中國數(shù)學教育（高中版），2013（9）.

2.徐利治.數(shù)學分析的方法及例題選講——分析學的思想、方法與技巧［M］.大連：大連理工大學出版社，2007.

3.涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學教學論［M］.上海：華東師范大學出版社，2006.F