徐 德，王艷茹，冉錚惠

（中國工程物理研究院計(jì)量測試中心，四川 綿陽 621000）

0 引 言

數(shù)字波面干涉測量技術(shù)將光學(xué)干涉和數(shù)字計(jì)算技術(shù)相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)高精度、快速、非接觸式和自動化測量，在慣性約束聚變（ICF）、空間遙感探測以及極紫外光刻（EUVL）等大型超精密光學(xué)系統(tǒng)工程中應(yīng)用廣泛[1-4]。激光平面干涉測量結(jié)果的準(zhǔn)確性受參考平面面形精度的制約，為了得到平面光學(xué)元件絕對面形偏差，研究人員提出了多種解決方案，其中最常用且較容易實(shí)現(xiàn)的是G.Schulz和J.Schwider[5-6]提出的三平面互檢法。但該方法只能得到3個(gè)平面沿著軸線方向的面形偏差。Bernard S.Fritz[7]對該方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過增加一次旋轉(zhuǎn)測量，并利用Zernike多項(xiàng)式作為基函數(shù)進(jìn)行最小二乘法擬合，得到全面形偏差。Chiayu Ai和James C.Wyant[8-9]在三平面互檢算法方面開展了大量研究，提出利用奇偶函數(shù)法進(jìn)行任意平面全面形絕對測量的算法理論，該方法不需要進(jìn)行波面擬合，算法更加簡單，且計(jì)算速度更快。

影響三平面互檢結(jié)果準(zhǔn)確性的另一個(gè)重要因素是鏡片自身重力引起的面形變化[10]，而目前這方面的研究較少。本文通過有限元分析的方法對鏡片在不同夾持方式下的面形變化進(jìn)行了仿真分析，基于仿真分析結(jié)果對三平面互檢數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，最終得到3個(gè)平面的絕對面形偏差。

1 奇偶函數(shù)算法的基本原理

假設(shè) A、B、C 3 個(gè)面的面形分別用 FA（x，y），F(xiàn)B（x，y），F(xiàn)C（x，y）表示，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，對于任意非對稱二維函數(shù) F（x，y），有：

其中：

Fee、Foo、Feo、Foe分別代表 F（x，y）中的偶-偶、奇-奇、偶-奇、奇-偶分量。所以任意非對稱函數(shù)F（x，y）都可表示為上述4個(gè)分量之和。根據(jù)該原理，進(jìn)行圖1所示的8種組合干涉測量，即可實(shí)現(xiàn)上述4個(gè)分量的測量，從而得到全口徑面形F（x，y）。

圖1 基于8組干涉測量的三平面互檢校準(zhǔn)原理圖

8組干涉測量所對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，上標(biāo)x表示繞y軸翻轉(zhuǎn)，上標(biāo)角度θ表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度。首先求出Aoe+Aeo，Boe+Beo，Coe+Ceo分量：

設(shè)：

Aee、Bee、Cee3 個(gè)分量可由下式求出：

定義 A′、B′、C′為以上 3 個(gè)分量之和，即：

對于3個(gè)面的奇-奇分量，不能由前面表達(dá)式直接得到。分析可知，分布在同一圓周上的所有點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)若在直角坐標(biāo)系中為奇-奇函數(shù)，則將其轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)中后應(yīng)為關(guān)于角變量θ的奇函數(shù)，且函數(shù)周期為180°。因此，可將一奇-奇函數(shù)Foo（x，y）表示為下式所示的傅里葉正弦級數(shù)的形式：

通過進(jìn)一步的變換推導(dǎo)可求 Aoo、Boo、Coo，對于平滑表面，取級數(shù)前兩項(xiàng)即可。

先求取級數(shù)，第1項(xiàng)：

設(shè)：

可求得級數(shù)第2項(xiàng)為

最終全面形表達(dá)式為

2 重力變形的仿真分析

在進(jìn)行三平面互檢絕對測量過程中，需要將其中兩片平面鏡進(jìn)行多個(gè)角度的旋轉(zhuǎn)，在保證環(huán)境條件滿足測量要求的前提下，鏡片自身重力導(dǎo)致的鏡片形變將會對測量結(jié)果產(chǎn)生影響。為獲取大口徑光學(xué)元件因自重所引入的面形分量大小以及面形分布情況，針對不同的夾持方式（三爪工裝夾持、圓弧工裝夾持及180°柔性吊帶工裝夾持），采用ANSYS有限元分析軟件對大口徑光學(xué)元件面形分布進(jìn)行了仿真計(jì)算。

有限元分析參數(shù)設(shè)置如下：鏡片尺寸φ320mm×60mm，材料為石英玻璃，楊氏模量69GPa，泊松比為0.208，密度 2120 kg/m3，熱導(dǎo)率 1.7W/mK，熱膨脹系數(shù)5.5×10-7K-1，網(wǎng)格尺寸10mm，單元類型為solid45。

對于三爪工裝，實(shí)際只有下方兩個(gè)支撐點(diǎn)對鏡片產(chǎn)生應(yīng)力，上方的支撐點(diǎn)僅對鏡片起保護(hù)作用，圖中x和z坐標(biāo)軸在鏡片平面內(nèi)，y軸沿鏡片法線方向。因此，對下方兩個(gè)支撐點(diǎn)處沿x和z方向的位移約束為0。圖2為三爪工裝夾持的仿真結(jié)果，其表面變形的PV值為5.6nm。

圖2 三爪工裝夾持的受力變形仿真結(jié)果（單位：m）

為了改進(jìn)局部應(yīng)力集中的問題，在三爪工裝的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了不同幾何參數(shù)的圓弧式工裝夾具，即將線接觸改為與鏡片側(cè)面曲率相同的圓弧式面接觸夾持方式，并通過增加柔性材料以增大其接觸面。同樣利用有限元法仿真計(jì)算不同接觸面積的圓弧工裝對鏡片產(chǎn)生的應(yīng)力，約束條件與圖2中類似，即鏡片側(cè)面與圓弧支撐面接觸處沿x和z方向位移為0。圖3為圓弧張角為15°和30°的仿真計(jì)算結(jié)果，相應(yīng)的面形變化的PV值分別為2.7，1.84nm。由此可見，隨著支撐圓弧的面積增大，所產(chǎn)生的面形變化量也隨之減小。

此外，還對180°柔性吊帶工裝夾持情況下的鏡片表面面形變化進(jìn)行了仿真分析，使鏡片側(cè)面與吊帶支撐面接觸處沿x和z方向位移為0，仿真計(jì)算結(jié)果如圖4所示，其表面變形的PV值僅為0.41nm。

由上述仿真結(jié)果可知，與三爪工裝和圓弧工裝相比，采用柔性吊帶工裝進(jìn)行夾持時(shí)，鏡片沿法線方向的形變量大大減小，這是因?yàn)槿嵝缘鯉Чぱb與鏡片側(cè)面的接觸面增大，對局部應(yīng)力進(jìn)行勻化的結(jié)果。因此在實(shí)際測試中，對于大口徑光學(xué)元件垂直放置時(shí)，為了減小光學(xué)元件因自身重力所引入的面形誤差，推薦采用柔性吊帶支撐這種裝夾方式。

圖3 張角分別為15°和30°圓弧工裝夾持的受力變形結(jié)果（單位：m）

圖4 柔性吊帶工裝夾持的受力變形仿真結(jié)果（單位：m）

3 實(shí)驗(yàn)測量與數(shù)據(jù)處理

按照公式所表示的8種組合進(jìn)行測量，每種組合測量5組×10次=50次，剔除測量結(jié)果中受到振動和空氣擾動影響的數(shù)據(jù)，取有效測量結(jié)果的均值，作為每種組合的測量結(jié)果，進(jìn)一步計(jì)算處理，測量結(jié)果如表1所示。

表1 三平面互檢8組干涉測量結(jié)果1）

根據(jù)奇偶函數(shù)法的數(shù)學(xué)模型，編寫三平面互檢的數(shù)據(jù)處理程序，可得到最終A、B、C 3個(gè)平面的絕對面形信息。上述測量結(jié)果中包含旋轉(zhuǎn)角度誤差和橫向平移誤差，國外有研究機(jī)構(gòu)采用昂貴的精密八維調(diào)整架和特殊的中心對準(zhǔn)方法來解決該問題。本文利用圖像處理的方法，基于最小二乘法建立數(shù)學(xué)模型，通過優(yōu)化分析得到兩次測量之間的旋轉(zhuǎn)角度偏差及平移誤差，并對測量結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償。在不考慮鏡片應(yīng)力變形的情況下，最終測量結(jié)果如圖5所示。

通過計(jì)算得到，3個(gè)面的絕對面形數(shù)據(jù)分別為

A 面：PV_A=0.1041λ，rms_A=0.0194λ

B 面：PV_B=0.1010λ，rms_B=0.0136λ

C 面：PV_C=0.1282λ，rms_C=0.0195λ

若考慮應(yīng)力變形，需將實(shí)驗(yàn)測得的8組數(shù)據(jù)扣除應(yīng)力變形量之后再進(jìn)行計(jì)算。由于柔性吊帶工裝所產(chǎn)生的應(yīng)力變形量最小，因此，僅對該情況進(jìn)行分析。利用編寫的程序計(jì)算得到的面形分布情況如圖6所示。

圖5 未進(jìn)行應(yīng)力變形補(bǔ)償?shù)腁、B、C 3個(gè)平面面形的絕對測量結(jié)果

此時(shí)3個(gè)面的絕對面形數(shù)據(jù)分別為

圖6 應(yīng)力變形補(bǔ)償后A、B、C 3個(gè)面的絕對面形

A 面：PV_A=0.1038λ，rms_A=0.0194λ

B 面：PV_B=0.1009λ，rms_B=0.0136λ

C 面：PV_C=0.1281λ，rms_C=0.0195λ

由圖6可知，3個(gè)平面的面形偏差基本為環(huán)狀分布，這與8組干涉測量中的每次測量結(jié)果有區(qū)別。由于3片平面鏡的加工是利用環(huán)形拋光工藝完成的；因此，面形偏差按照環(huán)狀分布與最終測量的分布情況相吻合。此外，將圖5中未進(jìn)行應(yīng)力變形補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果與圖6進(jìn)行對比后可知，采用柔性吊帶支撐時(shí)，3個(gè)鏡片在應(yīng)力變形補(bǔ)償前后其面形偏差分布基本一致。由于重力和裝夾產(chǎn)生的面形變化PV值分別為0.0003λ，0.0001λ，0.0001λ，而 rms值則基本相同。因此，對于φ300mm口徑的石英玻璃鏡片而言，采用柔性吊帶工裝進(jìn)行夾持所造成的鏡片應(yīng)力變形量非常小，這對于較大口徑光學(xué)元件的高精度面形檢測是很有利的。

4 結(jié)束語

本文基于Chiayu Ai和James C.Wyant提出的奇偶函數(shù)法三平面互檢理論，通過8組干涉測量得到3個(gè)待測平面的面形數(shù)據(jù)。利用有限元分析的方法研究了不同工裝夾持方式下鏡片因重力所產(chǎn)生的變形情況，并基于有限元仿真計(jì)算結(jié)果對三平面互檢的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正和補(bǔ)償。研究結(jié)果表明，對于φ300mm口徑的石英玻璃鏡片，利用柔性吊帶工裝支撐時(shí)其面形變化量僅為0.0001λ量級，對測量結(jié)果的影響幾乎可以忽略。

[1]張蓉竹.ICF系統(tǒng)光學(xué)元件高精度波前檢測技術(shù)研究[D].四川：四川大學(xué)，2003.

[2]Burge J H，Davison W，Martin H M，et al.Development of surface metrology for the Giant Magellan Telescope primary mirror[C]∥Proc SPIE 7018，Advanced Optical and Mechanical Technologies in Telescopes and Instrumentation，701814，2008.

[3]張宇，金春水，馬冬梅，等.極紫外光刻物鏡系統(tǒng)波像差檢測技術(shù)研究[J].紅外與激光工程，2012（12）：1-8.

[4]Tejnil E，Kenneth A.Goldberg S H L.At-wavelength interferometry for extreme ultraviolet lithography[J].J Vac Sci Technol，1997，15（6）：2455-2461.

[5]Schulz G，Schwider J.Precisemeasurement of plainness[J].Appl Opt，1967，6（6）：1077-1084.

[6]Schulz G，Schwider J，Hiller C，et al.Establishing an optical flatness standard[J].ApplOpt，1971，10（4）：929-934.

[7]Fritz B S.Absolute calibration of an optical flat[J].Opt Eng，1984，23（4）：379-383.

[8]Ai C，Wyant J C.Absolute testing of flats decomposed to even and odd functions[C]∥SPIE，1992（1776）：73-83.

[9]Ai C，Wyant J C.Absolute testing of flats by using even and odd functions[J].Appl Opt，1993，32（25）：4698-4705.

[10]Malacara D.Optical shop testing（3rd edition）[M].New Jersey：John Wiley&sons Inc，1978：40-44.