拜讀了馬先龍老師的《構造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口》（以下簡稱文[1]）一文后，深受啟發(fā)，特別對如何通過動靜結合、巧構圖形妙解中考幾何最值問題有了深入了解.但也有一些不同的想法，愿與馬老師商榷，更希望得到廣大同仁斧正.

1商榷之點

文[1]通過六個例題闡述了如何從構造三角形、對稱點、垂直于弦的直徑、相似三角形和全等三角形入手，尋找解決平面幾何最值問題的突破口.對此筆者不敢茍同，因為構造上述圖形只是表象，至于“如何構造”和“怎么想到這樣構造”，卻值得深入探究.

筆者竊以為，從知識轉化角度來分析，所有數(shù)學習題都是運用所學過的知識加以解決！因此，在初中階段與平面幾何最值有關的知識源才是解決此類問題的突破口，是打開解決平面幾何最值問題的思維通道.此類知識源主要有幾何類（“兩點之間線段最短”、“直線外一點與直線上各點連線中，垂線段最短”、“分別位于兩條平行線上的兩點之間的最短距離等于兩平行線間的距離”、“圓外一點與圓上各點連線中，到過該點和圓心的直線與圓的近交點距離最短、遠交點距離最長”等）和代數(shù)類（構造出待求量與某一變量的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)性質求解）.

2突破之處

2.1以“兩點之間線段最短”為突破口

例1（文[1]例2）如，在平面直角坐標系中，點P是直線y=x上的動點，A（1，0）、B（2，0）是x軸上兩點，則PA+PB的最小值為.

文[1]給出了的輔助線添法（限于篇幅，凡引用文[1]的例題，本文均不再附解答，詳細過程請查閱文[1]，下同），并認為“構造對稱點”是解決此類問題的突破口，那我們不禁要問：怎么想到構造點A關于直線y=x的對稱點A′的呢？

事實上，要求PA+PB的最小值就是求動點P到兩定點A、B距離之和的最小值，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，當點P位于線段AB上時，其和最小；又點P在直線y=x上，所以點P應是兩者的交點.但由于A、B位于直線y=x的同側，沒有交點，需利用線段的等量變換，把兩點轉化到直線的兩側.而常見的等量變換有“平移”、“翻折”和“旋轉”，結合條件和圖形特征，本題宜選擇“翻折”，即作點A關于直線y=x對稱點A′，從而使問題迎刃而解.

綜上所述，知識源“兩點之間線段最短”才是解決此類問題的突破口.

2.2以“圓外一點與圓上各點連線中，到過該點和圓心的直線與圓的近交點距離最短、遠交點距離最長”為突破口

例2（文[1]例1）如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是弧CD上一個動點，連接AP，則AP的最小值是.

本題考生若已知“圓外一點與圓上各點連線中，到過該點和圓心的直線與圓的近交點距離最短”這一知識源，作出的輔助線、證明和求值都是水到渠成之舉.但對于未學過這一知識源的考生來說，又如何能想到連接AO呢？

考慮到這是屬于動點到一定點的距離最短問題，易聯(lián)想到知識源“直線外一點與直線上各點連線中，垂線段最短”.可惜的是，點P在弧CD（非直線）上運動，且弧CD又無法轉化為直線，故只能把突破口放在知識源“兩點之間線段最短”上，即在弧CD與點A不同側的另一側找一定點，把問題轉化為動點P到兩定點距離之和最小，由圓的定義自然想到圓心O就是要找的最佳定點，因為無論點P如何運動，OP為定值.

由此可見，文[1]認為“構造如中的三角形是解題的突破口”的觀點有些牽強.另外，文[1]中的例3是綜合上述兩個知識源求解的，本文不再贅述.

2.3以“一次函數(shù)性質”為突破口

例3（文[1]例4）如，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積最大值是.

由于四邊形MANB是非特殊四邊形，所以其面積（設為S）需分割成△ABM和△ABN的面積之和.考慮到AB為兩三角形的公共邊且長度可求（值為22），故可以AB為底邊，過點M、N分別向其作高MC、ND，則S=12AB（MC+ND）.設MC+ND=h，則S=2h.又易知0

綜上可知，本題的突破口是如何求出四邊形MANB面積的函數(shù)表達式，然后再根據(jù)表達式確定解題方向，至于構不構造直徑，意義不大.

2.4以“二次函數(shù)性質”為突破口

例4（文[1]例5）如，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為點B，連接PA.設PA=x、PB=y，則（x-y）的最大值是.

文[1]認為：構造如的與△ABP相似的△CPA是解決此題的突破口，事實果真如此嗎？

首先，本題從x-y（即PA-PB）的幾何意義入手較為棘手，故考慮從構建函數(shù)角度打通思維之路.設t=x-y，因為表達式中除t外還有兩個變量x、y，所以代換其中之一已是必然選擇，即要利用相等關系找出y與x間的數(shù)量關系，代入消元.而平面幾何中與兩線段有關的相等關系主要有“線段間固有的數(shù)量關系（等角對等邊、全等三角形對應邊相等、三角形中位線定理等）”、“勾股定理”、“比例式（平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質）”和“等積式（圖形面積相等）”.本題結合條件和圖形特征定位在相似三角形，即通過證明△ABP∽△CPA和利用相似三角形對應邊成比例，求得y=18x2，則t=-18（x-4）2+2，故當x=4時，t=x-y的最大值為2.

其次，本題也可不用三角形相似處理.既然是建立t的函數(shù)關系式，變量就不一定要選擇線段，也可選擇角.如設∠PAC=∠APB=θ，則AP=ACcosθ=8cosθ、PB=APcosθ=8cos2θ，所以t=8cosθ-8cos2θ=-8（cosθ-12）2+2，也可得x-y的最大值為2.

由此可見，構造相似三角形未必是本題的突破口，而如何建立函數(shù)關系式才是突破思維障礙之所在.

3補全之筆

以上突破口都是文[1]例題所涉及到的，除此之外還有：

3.1以“分別位于兩條平行線上的兩點之間的最短距離等于兩平行線間的距離”為突破口

例5（2012年江蘇連云港市）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

問題1：如，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？

問題2：請問問題1中的平行四邊形PCQD的對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.（問題3、問題4略）

解析（問題1解答略）由于問題2中的P、Q兩點都是動點，宜考慮用“分別位于兩條平行線上的兩點之間的最短距離等于兩平行線間的距離”知識源求解，即證明P、Q兩點分別運動于兩條固定的平行線上.又點P在AB上運動，且AB⊥BC，于是聯(lián)想到“過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于點H”，下證直線QH為定直線并求出兩平行線QH和AB間的距離即可.易證Rt△ADP≌Rt△HCQ，得CH=AD=1，所以BH的長度為定值4，故PQ的長存在最小值，且為4.

3.2以“直線外一點與直線上各點連線中，垂線段最短”為突破口

其實，例5中的問題2用“直線外一點與直線上各點連線中，垂線段最短”知識源求解更簡捷.如，設對角線PQ與DC相交于點G，由PQ=2PG知，要求PQ的最小值只需求PG的最小值.顯然點G是CD的中點，即為定點，而P為AB上動點，故當PG垂直AB時最短.此時，AD∥PG∥BC，由梯形中位線定理易求PG=2，所以PQ的最小值為4.

4例6之思

例6（文[1]例6）如，正方形ABCD的邊長為1，M、N分別在BC、CD上，使得△CMN的周長為2，則△AMN的面積的最小值為.

文[1]通過構造與△AMN全等的△AEN，依據(jù)AD=1，從而把求△AMN的面積最小值轉化為求線段EN（即MN）的最小值.然后根據(jù)勾股定理構造出含有參數(shù)t（線段MN的長）且關于x（線段CN的長）的一元二次方程x2+（t-2）x+（2-2t）=0，利用Δ=t2+4t-4≥0，求得t的最小值為22-2，從而得△AMN的面積的最小值為2-1.

反思一怎么想到這樣添輔助線？其實，由條件可得MN=BM+DN，而對于三條線段間的數(shù)量關系，常?？赏ㄟ^“截長”或“補短”把它們轉化為兩條線段間的相等關系.

反思二還有其它方法求MN的最小值嗎？換言之，就是當Rt△CMN的周長為2時，何時其斜邊長MN最短？不妨設MN=c、∠CNM=θ，則c+ccosθ+csinθ=2，即c=21+sinθ+cosθ=21+2sin（θ+45°），易知當θ=45°，即△CMN為等腰直角三角形時，斜邊MN取得最小值22-2.由此可得結論：周長為定值的直角三角形，當兩直角邊相等時，斜邊長最短.

反思三一定要構造全等三角形嗎？其實，本題的突破口是如何建立△AMN面積（設為S）關于某一變量的函數(shù)關系式.由于直接作高不易求出△AMN的面積，故宜采用間接方法.除了象文[1]中利用全等三角形轉化外，還可以用割補法求解.設BM=m、DN=n，由S△AMN=S正方形ABCD-S△ABM-S△CMN-S△AND，得S=1-12m-12n-12（1-m）（1-n），即S=12-12mn.又由CM2+CN2=MN2，得（1-m）2+（1-n）2=（m+n）2，所以m=1-n1+n.則S=n2-n2（1+n）+12=（1+n）2-3（1+n）+22（1+n）+12=12（1+n+21+n）-1=12（n+1-2n+1）2+2-1，所以當n+1=2n+1，即當n=2-1時，S取得最小值2-1.

總之，數(shù)學解題教學不能拘泥于只注重技巧的“怎樣做”，而應基于知識轉化之下，通過追根溯源，著重講清“為什么這樣做”（即怎么想到這樣做）和“同一類型怎么做”.唯有如此，方能真正做到“以題會類”，從而把能力培養(yǎng)和“減負增效”落到實處.

參考文獻

[1]馬先龍.構造圖形打開解中考幾何最值問題的突破口[J].中學數(shù)學雜志，2014（10）：52-53.

作者簡介劉華為，男，1968年10月生，中學高級教師，區(qū)學科帶頭人.發(fā)表文章40余篇，并出版專著《中考壓軸題：怎樣解，為何這樣解》.