吳朝彪,夏米西努爾阿布都熱合曼

(新疆大學數學與系統(tǒng)科學學院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

1 基本性質

本文在文獻[8]模型下做出一些改變,研究如下一般非線性病毒發(fā)病感染率的xyv模型,其中x(t),y(t),v(t)分別代表t時刻宿主體內未感染細胞數量、感染細胞數量和游離病毒的數量,則可得到帶有飽合發(fā)生率的病毒感染數學模型

其中參數λ表示未感染細胞在人體組織中的常數產生率；d表示未感染細胞的死亡率,α表示感染細胞的死亡率,u表示游離病毒的死亡率表示游離病毒接觸并成功感染未感染細胞的速率;k是指感染細胞釋放游離病毒的速率.

模型(1)的初始條件為

系統(tǒng)(1)有一個無感染平衡點令基本再生數取為

引理1若R0≥1,即則系統(tǒng)(1)存在唯一的持續(xù)帶毒平衡點其中

而v?滿足下面的方程(4)

引理2設(x(t),y(t),v(t))是模型(1)滿足初始條件(2)的解,則對任意的t≥0,解(x(t),y(t),v(t))是正的.

證明假設x(t)在(0,)內不恒大于0,則存在>0,使得(x(t)>0),t∈(0,)但是x()=0,對于t∈(0,),從而有令由于x(t)連續(xù),則

矛盾,所以x(t)>0,t>0,類似于x(t)正性的證明,可以得到y(tǒng)(t),v(t))的正性.

引理3對系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的任意解(x(t),y(t),v(t))是有界的.

證明令N(t)=x(t)+y(t),m=min(d,α),則故,x(t),y(t)有界,由系統(tǒng)(1)的第三個方程知v(t)也有界,即存在M使得

是系統(tǒng)(1)的正向不變集:

2 無感染平衡點的全局動力學

在本節(jié)中,假設R0≤1,并構造Lyapunov函數,得出模型(2)的無感染平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

定理1當R0<1時,系統(tǒng)(1)的無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

證明首先證明系統(tǒng)無病平衡點E0的局部穩(wěn)定性.系統(tǒng)(1)的Jacobian矩陣為

它有三個特征根分別為

故當時無病平衡點是局部穩(wěn)定的,當Ro>1時,是不穩(wěn)定的.

下面證明當R0<1時,是全局吸引的.構造Lyapunov函數如下

記：

容易看出,系統(tǒng)(1)在E中的最大不變集M只有唯一的點由LaSalle不變性原理及極限方程理論可知是全局吸引的,結合E0的局部穩(wěn)定性可知,當R0<1時,E0全局漸近穩(wěn)定.

3 持續(xù)帶毒平衡點的全局穩(wěn)定性

本部分利用Bendixson判據方法[9]分析持續(xù)帶毒平衡點的全局穩(wěn)定性.

設開集D?Rn,對x7→f(x)∈Rn是C1類函數,考慮微分方程

設x(t,x0)是方程(8)滿足條件x(t,x0)=x0的解.集合K被稱為方程(8)在D內的吸引集,若對每一個緊子集K1?D,當t充分大時,都有x(t,K1)?K.給出基本假設：

(H1)方程˙x=f(x)在D內存在一個緊吸引子集K?D,

(H2)方程˙x=f(x)在D內存在唯一平衡點ˉx?D.

有如下Bendixson判據定理,參看[9]的定理2.3.文獻[9]顯示,如果D是單連通的,條件q<0能排除系統(tǒng)出現任何閉軌道,包括周期軌道,同宿軌道和異宿軌道.

這里的Bendixson判據定義如下:設x→P(x)是一個矩陣函數,且對x∈D它是C1的,假設P?1(x)存在且x∈K上是連續(xù)的,K∈D是一個緊的吸引集,定義

這里是把矩陣P的每一個元素Pij,用Pij沿f的方向導數取代得到的矩陣,μ(B)是矩陣Lozinshil測度

定理2[9]若D是單連通區(qū)域,且條件(H1)和(H2)成立,則當q<0時,系統(tǒng)x˙=f(x)的唯一平衡點x?在D內是全局漸近穩(wěn)定的.

下面應用定理2來討論系統(tǒng)(1)持續(xù)帶毒平衡點E?=(x?,y?,v?)的穩(wěn)定性.

定理3若R0>1則E?=(x?,y?,v?)在Γ內是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由定理1可得到R0<1時,E0是全局漸近穩(wěn)定的,排除了持續(xù)性的任何可能性,由文獻[10]中定理4.3得到R0>1是一致待續(xù)的充分條件,當R0>1時,令x=R3且E=Γ,系統(tǒng)(1)滿足文獻[10]中定理4.3的所有條件,在邊界集?Γ上的最大不變集是點集{E0}且是孤立的,因此對系統(tǒng)(1)一致持續(xù)的充分條件等價于E0是不穩(wěn)定的,當且僅當R0>1時,E0是不穩(wěn)定的,故系統(tǒng)(1)在?T內是一致持續(xù)的,因此,在D內存在一個緊吸引子集K,故定理2的假設(H1)與(H2)成立.

注系統(tǒng)(1)在有界集內中的一致持續(xù)性等價于系統(tǒng)(1)在內部中存在一個緊吸引子集K?Γ.

下面驗證q<0.令,則p是C1且在內是非奇異的,令f表示系統(tǒng)(1)的向量域,則

系統(tǒng)(1)一般解X(t)=(x(t),y(t),v(t))的第二加性復合矩陣為：

令矩陣

其中

令(x,y,v)是R3中的一個向量,定義在R3中的向量模為

令μ為這個模的Lozinski.令

其中為L1模下的Lozinski測量值,則由上可得

下面計算μ(B22),把B22的每一列的非對角矩陣取絕對值,然后加到相對應列的對角元素上得

取的兩個對角元素的最大值即得μ(B22),則

m=min{d,α}因此,當t>t?時,

又因為

所以

由于

因此,g1

對t>t?從而

又因為

從而

因此定理2的全部條件滿足,故結論成立,可得到E?是全局穩(wěn)定的.即,若R0>1,則系統(tǒng)(1)的持續(xù)帶毒平衡點E?=(x?,y?,v?)是在?T內全局漸近穩(wěn)定的.

4 數值模擬

這一部分,對系統(tǒng)的平衡點E?=(x?,y?,v?)在R0>1時,取不同的p值進行數值模擬,數值仿真采用Matlab軟件.通過一些數值實例來說明結論的正確性和方法的有效性.如圖1～圖4,這里模型中的參數分別取為λ=1.2,d=0.4,β=0.6,k=0.4,α=0.5,u=0.3,p=13,9,7,3,x(0)=2,y(0)=5,v(0)=1,此時R0=1.6>1.

5 討論

這篇文章主要研究了模型(1)的動力學性質,通過建立新的Lyapunov函數并且利用微分方程中相關的穩(wěn)定性理論,在基本假設(H1)和(H2)下,得到模型(1)的全局漸近穩(wěn)定性.即無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的當且僅當基本再生數R0<1,持續(xù)帶毒平衡點是全局漸近穩(wěn)定的當且僅當基本再生數R0>1,我們討論的是模型發(fā)生率是當p≥2時的情形,可以看到應用的發(fā)生率比文獻[8]中的更一般些,同樣得到了持續(xù)帶毒平衡點是全局漸近穩(wěn)定的當且僅當基本再生數R0>1的結論.

圖1 x(t),y(t),v(t)的立體圖像

圖2 v(t)與參數p的圖像

圖3 y(t)與參數p的圖像

圖4 x(t)與參數p的圖像

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